浙大版概率论与数理统计答案 - 第三章

第三章 多维随机变量及其概率分布

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解 互换球后，红球的总数是不变的，即有X?Y?6，X的可能取值有：2，3，4，Y的取值为：2，3，4。则(X,Y)的联合分布律为：

P(X?2,Y?2)?P(X?2,Y?3)?P(X?3,Y?2)?P(X?3,Y?4)?P(X?4,Y?3)?P(X?4,Y?4)?0

P(X?2,Y?4)?P(X?4,Y?2)?P(X?3,Y?3)?223313 ????5555256251325625236 ??5525由于X?Y?6，计算X的边际分布律为：

P(X?2)?P(X?2,Y?4)?P(X?3)?P(X?3,Y?3)?P(X?4)?P(X?4,Y?2)?

2解：a?b?0.5?1 ?1? P?X?0??P?X?0,Y?0??P?X?0,Y?1??0.4?a p?X?Y?1??P?X?0,Y?1??P?X?1,Y?0??a?b

因事件?X?0?与事件?X?Y?1?相互独立，则 P?X?0,X?Y?1??P?X?0??P?X?Y?1?,即

a??0.4?a??a?b? ?2?

由?1?，?2?解得??a?0.4?b?0.1。

3、解 利用分布律的性质，由题意，得 a?0.1?0.1?b?0.1?0.1?c?1 P{Y?0|X?2)?P(Y?0,X?2)P(X?2)?P(Y?0,X?1)P(X?1)?a?0.1a?0.1?b?0.5

P{Y?1}?b?c?0.5

计算可得：a?c?0.2b?0.3 于是X的边际分布律为：

P(X?1)?a?0.1?b?0.6

P(X?2)?0.1?0.1?c?0.2?c?0.4 Y的边际分布律为

P(Y??1)?a?0.1?0.3，P(Y?0)?0.2 P(Y?1)?b?c?0.5

4解：（1）由已知p?X?0,Y?0??p?X?1,Y?2??0.1，则 p?X?0,Y?2??p?Y?2??p?X?1,Y?2??0.3?0.1?0.2， p?X?0,Y?1??p?X?0??p?X?0,Y?0??p?X?0,Y?2??0.1， p?X?1,Y?0??p?Y?0??p?X?0,Y?0??0.1，

p?X?1,Y?1??p?X?1??p?X?1,Y?0??p?X?1,Y?2??0.4。

?1?4,??1??,?4?1?2,?k?0,k?1, k?2.（2）p?Y?kX?0??p?X?0,Y?k?p?X?0?5、解 （1）每次抛硬币是正面的概率为0.5，且每次抛硬币是相互独立的。由题意知，X的可能取值有：3，2，1，0，Y的取值为：3，1。则(X,Y)的联合分布律为：

P(X?3,Y?1)?P(X?2,Y?3)?P(X?1,Y?3)?P(X?0,Y?1)?0

113?1?2?1?P(X?3,Y?3)????，P(X?2,Y?1)?C3????

8?2??2?2831?1?11?1?P(X?1,Y?1)?C3????，P(X?0,Y?3)????

2?2?88?2?X的边际分布律为：

23321?1?11P(X?0)????，P(X?1)?C382?2?33?1?????

8?2?21?1??1?13P(X?2)?C????，P(X?3)????

8?2??2?282323Y的边际分布律为：

P(Y?3)?P(X?0,Y?3)?P(X?3,Y?3)?P(Y?1)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?1)?3414

（2）在{Y?1}的条件下X的条件分布律为：

P(X?1,Y?1)P(Y?1)12P(X?0|Y?1)?0，P(X?1|Y?1)??

P(X?2|Y?1)?P(X?2,Y?1)P(Y?1)?12，P(X?3|Y?1)?0

6解：（１）p?X?0,Y?1??p?Y?1X?0?p?X?0??p?X?0,Y?2??p?Y?2X?0?p?X?0??p?X?0,Y?3??p?Y?3X?0?p?X?0??p?X?1,Y?1??p?Y?1X?1?p?X?1??7181181181130115115，

， ，

， ， 。

4190p?X?1,Y?2??p?Y?2X?1?p?X?1??p?X?1,Y?3??p?Y?3X?1?p?X?1??（２）p?Y?1??p?X?0,Y?1??p?X?1,Y?1??p?Y?2??p?X?0,Y?2??p?X?1,Y?2??p?Y?3??p?X?0,Y?3??p?X?1,Y?3??38901190，

， 。

（３）p?X?0Y?1??p?X?0,Y?1?p?Y?1??3541?641，

p?X?1Y?1??p?X?1,Y?1?p?Y?1?e??。

7、解 （1）已知P(X?m)??mm!，m?0,1,2,3?。由题意知，每次因超速引起的事

故是相互独立的，当m?0,1,2,3?时，

P(Y?n|X?m)?Cm(0.1)(0.9)nnm?n，n?0,1,2,?m。

于是(X,Y)的联合分布律为：

e??P(X?m,Y?n)?P(X?m)?P(Y?n|X?m)??mm!Cm(0.1)(0.9)nnm?n，

（n?0,1,2,?m；m?0,1,2,3?） （2）Y的边际分布律为：

????P(Y?n)??P(Xm?0?m,Y?n)??m?0e???mm!C(0.1)(0.9)nmnm?n?e?0.1?(0.1?)n!n，

(n?0,1,2,?)

即Y~?(0.1?)。

（该题与41页例3.1.4相似）

８解：（１）Y可取值为0，a，2a， p?X?0,Y?0??0.6，

p?X?0,Y?a??p?X?0,Y?2a??0， p?X?1,Y?0??0.3?1?p?，

p?X?1,Y?a??0.3p， p?X?1,Y?2a??0，

p?X?2,Y?0??0.1?1?p?，

2p?X?2,Y?a??0.2p?1?p?，

p?X?2,Y?2a??0.1p。

2（２）p?Y?0X?1???1?p?，

p?Y?aX?1??p， p?Y?2aX?1??0。

9、解 (1)由边际分布函数的定义，知 ?0,x?0?FX(x)?limF(x,y)??0.3,0?x?1

y????1,x?1??0,y?0?FY(y)?limF(x,y)??0.4,0?y?1

x????1,y?1?（2）从X和Y的分布函数，可以判断出X和Y都服从两点分布，则

X的边际分布律为：

X 0 1 P 0.3 0.7 Y的边际分布律为

Y 0 1 P 0.4 0.6

（3） 易判断出P(X?0,Y?0)?0.1，所以(X,Y)的联合分布律为：

P(X?0,Y?0)?0.1

P(X?0,Y?1)?P(X?0)?P(X?0,Y?0)?0.2 P(X?1,Y?0)?P(Y?0)?P(X?0,Y?0)?0.3 P(X?1,Y?1)?P(Y?1)?P(X?0,Y?1)?0.4。

１０解：(1)p?X?0,Y?1??p?Y?1X?0?p?X?0??pBApA?0.35， p?X?0,Y?0??p?X?0??p?X?0,Y?1??0.35，

p?X?1,Y?0??p?Y?0??p?X?0,Y?0??1?p?Y?1??p?X?0,Y?0??0.25， p?X?1,Y?1??p?X?1??p?X?1,Y?0??0.05。

????（2）当x?0或y?0时，F?x,y??0，

当0?x?1，0?y?1时，F(x,y)?p?X?0,Y?0??0.35，

当0?x?1，y?1时，F(x,y)?p?X?0,Y?0??p?X?0,Y?1??0.7，

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