中考试题北京市第四中学总复习：《圆》全章复习与巩固—知识讲解(2)

∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26．

【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组

成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，

然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △

OFD ，求CD 的长．

举一反三：

【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．

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【答案】由OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.

3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠

OCD = ．

【答案】65°.

【解析】连结OD ，则∠DOB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.

【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.

举一反三：

【变式】如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 是CA 延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD 等于( )

A.30°

B.60°

C.75°

D.90°

【答案】本题可先求出∠BAC 的度数，∠BAC 所对的弧是优弧

，则该弧所对的圆心角度数 为360°-120°=240°，所以

，因此，.

故选B. 类型三、与圆有关的位置关系

【高清ID 号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习

关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】

4．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，

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且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.

【答案与解析】

直线CE与⊙O相切

理由：连接OE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE

∵四边形ABCD是矩形

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB

∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC

又∠DCE=∠ACB

∴∠DEC+∠DAC=90°

∵OE=OA

∴∠OEA=∠DAC

∴∠DEC+∠OEA=90°

∴∠OEC=90°

∴OE⊥EC

∴直线CE与⊙O相切.

【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．

举一反三：

【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).

(1)求与直线相切时点P的坐标.

(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.

【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.

当点在直线右侧时，，得，

(5，7.5).

当点在直线左侧时，，得，

(，).

当与直线相切时，

点的坐标为(5，7.5)或(，).

(2)当时，与直线相交.

当或时，与直线相离.

类型四、圆中有关的计算

5．如图所示，已知正方形的边长为a，求阴影部分的面积．

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【答案与解析】

(几何方法)∵ 正方形边长为a ，

∴ 2S a =正方形，2

221112228a S R a πππ??=== ???半圆． ∵ 22S S S -=正方形半圆个空白处，

∴ 2222211284S a a a a ππ=-?=-个空白处．

∴ 22421222S S a a π==-

个空白处个空白处． ∴ 22222411222S S S a a a a a ππ?

?=-=--

=- ???阴影正方形个空白处． ∴ 阴影部分的总面积为221

2

a a π-． (代数解法)观察图形，可知2个“叶瓣”与1个空白组成1个半圆；4个“叶瓣”与4个空白组成一

个正方形．

设每个“叶瓣”面积为x ，每个空白面积为y ，则

2222,244,a x y x y a π???? ????+=???+=?①②

由①×4-②，得22142x a a π=

-，即为阴影部分的总面积． 【总结升华】比较以上两种方法，代数解法更加简捷，在运用此法时，不需把两个未知数求出来，只要求

出表示阴影部分面积的代数式的值即可．叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积，

则2

2221144222a S S S a a a ππ??=-=?-=- ???阴影正方形半圆． 也可以用正方形面积减去四个空白处面积．以上均为几何方法，还可以设每个“叶瓣”面积为x ，

每个空白面积为y ，列方程组解答．

类型五、圆与其他知识的综合运用

6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，

其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，?

AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．

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【答案与解析】

连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交?

AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是?

AB 的中点， ∴ 1232AE AB

==，EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．

在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)(23)R R =-+．

解得R ＝4．

∴ OE ＝2，12

OE AO =

，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ ?AB 的长为120481803

ππ?=(m)． ∴ 帆布的面积为8601603ππ?=(m 2)． 【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也

体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以?

AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出?

AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求?AB 的长． 举一反三：

【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，

如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

①请你补全这个输水管道的圆形截面图； ②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面

的半径.

【答案】①作法略.如图所示.

②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交

于C ，

∵ OC ⊥AB ，

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∴.

由题意可知，CD=4cm.

设半径为x cm ，则.

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴.

∴.

即这个圆形截面的半径为10cm. 初中数学试卷

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