计算方法练习题与答案(2)

x 的系数为( ). (A) – (B) (C) 2 (D) -2

3．给定互异的节点01,,,,n x x x L )(x p 是以它们为插值节点的插值多项式，则

)(x p 是一个( ).

(A). n +1次多项式 (B). n 次多项式

(C). 次数小于n 的多项式 (D). 次数不超过n 的多项式

4．差商,7503)(699x x x x f -+-=(]2,,2,2,1[1002=Λf )

(A) 0 (B) -3 (C) 50 (D) -7

5．对于次数不超过n 的多项式为次插值多项式它的)(),(x p n x f ( ).

(A) 任意n 次多项式 (B) 任意不超过n 次的多项式

(C) )(x f 本身 (D) 无法确定

四、计算题

1.已知,4)2(,3)1(,2)1(-===-f f f 求)(x f 的牛顿插值多项式)(2x N ，及)5.1(f 的近似值，取三位小数。

2.证明：若f (x )二阶连续可微，则对于f (x )的以10,x x 为节点的一次插值多项式1()P x ，插值误差

012

101()()()()max 8x x x x x f x P x f x ≤≤-''-≤

3.设

12)(4-+=x x x f ，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。

4*．已知函数)(x f y =的数据010)1(,)2(,)1(m f y f y f ='==，用基函数法求 f

(x )的二次插值多项式)(2x H 使20212

0(1),(2),(1)H y H y H m '===.

5*

．要给出()x f x e =在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite 插值求的近似值x e ，要使误差不超过810-，问函数表的步长h 应为多少

6. 已知的f (x )函数表 1 1 4 2 4 5

(1)求f (x )(2)用反插值求x ，使f (x )=0。

练 习 题 六

一、判断题

1．在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )

2．向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( )

3．已知观察值),(i i y x (,2,1,0=i …,n )，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。 ( )

4．利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公式的类型。 ( )

5．数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。 ( )

二、填空题

1．已知某函数的二阶向前差分

12f ?为,则其二阶向后差分32f ?为_______。 2．利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t ，其计算公式为t =____________。

3．已知函数i i y x n b a x f y 处的函数值个节点上的在1],[)(+=，则其三次样条插值函数满足的条件为)(x s ________________________。

4．已知),(i i y x (,2,1=i …,30)，其线性拟合的正规方程组为_________。

5．用形如

b ax x

y +=的非线性拟合数据),(i i y x 做变换_____________后为线性拟合y =x b a +。

三．选择题

1. ( )是利用函数的值求自变量的值。

(A) 三次样条插值 (B) 反插值

(C) 分段插值 (D) 爱尔米特插值

2．记*

,1,2,,i i i y y i n δ=-=L ,最小二乘法原理要求下列哪个为最小 ( )

(A) i n i δ≤≤1max (B)∑=n i i 1δ (C) ∑=n i i

12δ (D)∑=n

i i

1δ

3．当线性方程组满足 ( )时称为超定方程组。

(A) (A)未知数的个数等于方程的个数

(B) (B)未知数的个数大于方程的个数

(C) (C)未知数的个数小于方程的个数

(D) (D)未知数的个数与方程的个数大小任意

4．*x 是超定方程组A =x b 的最小二乘解的充分必要条件是( ).

(A) *T T A A A =x x b 是的解 (B)*T T AA A =x x b 是的解

(C) *T T A =x x b 是的解 (D) 三者都不对

5．勒让德多项式21d ()[(1)]2!d n

n n n n P x x n x =-是 ( )

(A) 小于n 次的多项式 (B) 等于n 次的多项式

(C) 大于n 次的多项式 (D) 小于等于n 次的多项式

四、计算题

1．已知函数解答下列问题的函数表如下,)(x f y =

(2)分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；

(3)用三次插值多项式求)32.0()04.0(f f 和的近似值。

2．已知0.20)1.3(,5.18)4.2(,4.17)6.1(,8.14)3.1(====f f f f ，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。

3．求超定方程组 ?????=+=-=+1123

54223212121x x x x x x 的最小二乘解。

4．已知观察值 4321021012y y y y y y x i i -- 利用的二次拟合多项式)(x f )0(),(2f x p '求的近似值。 5．用形如b x a y +=ln 的函数拟合下列数据

一、填空题

1.已知(1) 1.1f =，(2) 1.2f =，(3) 1.5f =，则三点式高斯求积公式为31()d f x x ≈?

( )，用抛物线求积公式求得31

()d f x x ≈?（ ）。 2.已知()30=f ，()45.0=f ，()31=f ，则用三点式可求得

(0)f '≈（ ），(0.5)f '≈（ ），(1)f '≈（ ），且()f x ''≈（ ）。

3.复合梯形求积公式为()d b a f x x ≈?（ ），当2()[,]f x C a b ∈时,其余项=)(f R n ( )。

4.数值积分代数精确度的定义是（

）。

5.求积公式0()d ()

n b k k a k f x x A f x =≈∑?的代数精度以（ ）求积公式为最

高，具有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。

二、选择题

1.求积公式研究的误差为（ ） 。

A.观测误差

B.模型误差

C.舍入误差

D.截断误差

2.已知在[a ,b ]上，()2f x ''≤，且],[)(2b a C x f ∈，步长n a

b h -=，则复合梯形

求积公式的误差限为（ ）。 A.6)(3a b -- B. 6)(3

a b -- C. 26h a b - D. 63h

3.梯形公式、抛物线公式及n 阶C N -求积公式的代数精度分别至少为

（ ）。

A. 1,2,n

B. 2,3,n

C. 1,3,n

D. 1,4,n +1

4.数值微分的二点公式中，其误差限为（ ），其中01x x h -= 01x x ξ<<。

A ．)(2h O B. ()2h f ξ''-

C. ()2h f ξ''

D. 01max ()2x x x h f x <<''

5.已知]2,0[)(4C x f ∈，在[0，2]内1)()4(≤x f ，20()d f x x ?有两位整数，用复

合抛物线求积公式计算要保证有5位有效数字，步长最多应为（ ）。

A. 0.1

B. 0.2

C.

D.

三、判断题

1、高斯求积公式)

()(1k n k k b a x f A dx x f ∑?=≈的代数精度为2n +1。 ( )

2、梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )

3、在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。 ( )

4、n 越大，C N -求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性也越好。 ( )

5、具有n +1各节点的插值型求积公式至少具有n +1次代数精度。 ( )

四、计算题

1、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分dx x ?+1

041，[0，1]八等分，并估计误差。

2、n =4，用复合梯形公式求230

(2)d x x +?的近似值，取四位小数，并估计误差。

3、用复合抛物线公式计算 1.50

d x

e x ?，要使截断误差不超过41021-?，应至少将区间[0，]多少等份

4、设有求积公式20120

()d (0)2(1)3(2)f x x A f A f A f ≈++?，求210,,A A A 使代数

精度尽量高。

5、利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算2)1()(-+=x x f 在

1.0,1.1x =和

2.1处的导数值。

练 习 题 八

一、填空题

1.用Euler 方法解常微分方程初值问题 ???=++-='1)0(1y x y y ，步长1.0=h ，计

算格式为1+n y =（ ），1y =（ ）。

2.求解常微分方程初值问题 ???=='00)(),(y x y y x f y 改进的欧拉公式为

（ ）

3.常微分方程初值问题的数值解法一般分为（ ）法和（ ）法。

4.求解常微分方程初值问题的Adams 公式是（ ）步法。

5.求解常微分方程初值问题的四阶R-K 方法的局部截断误差为（ ）。

二、选择题

1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为)(2h O ，则该方法的

阶是（ ）。

A ．1

B ．2

C ．0

D ．3

2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（ ）步法。

A ．多

B ．2

C ．3

D ．1

3、梯形公式是求解常微分方程的（ ）阶方法。

A ．2

B ．4

C ．3

D ．5

4、四阶R-K 方法每步要计算（ ）次f 的值。

A ．4

B ．5

C ．2

D ．3

5、改进的Euler 公式的局部截断误差为（ ）。

A. )(2h O

B. )(3h O

C. )(4h O

D.

)(5h O 三、判断题

1、R-K 法是一类低精度的方法。 ( )

2、求解微分方程初值问题的二阶R-K 方法是多步法。 ( )

3、梯形方法是一种隐式的多步法。 ( )

4、求解微分方程初值问题的向后Euler 法是隐式方法。 ( )

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