质量专业基础理论与实务 初级(2)

例如对例 1.1-2的轴直径数据，样本变异系数cv=0.0901/15.162=0.0059。

第二节概率基础知识

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一、事件与概率

(一)随机现象

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随机现象有两个特点:

(1)随机现象的结果至少有两个；

(2)至于哪一个出现，人们事先并不知道。

抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也并不知道。

〔例1.2-1]随机现象的例子:

(1)一天内进入某超市的顾客数；

(2)一顾客在超市中购买的商品数；

(3)一顾客在超市排队等候付款的时间；

(4)一颗麦穗上长着的麦粒个数；

(5)新产品在未来市场的占有率；

(6)一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；

(7)加工机械轴的直径尺寸；

(8)一罐午餐肉的重量。

随机现象在质量管理中到处可见。

认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是指今后的抽样单元，故又称样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。

“抛一枚硬币”的样本空间Ω={正面，反面}；

“掷一颗骰子”的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}；

“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间Ω={0，1，2，…}；

“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间Ω={t:t≥0}；

“测量某物理量的误差”的样本空间Ω={x:-∞

(二)随机事件

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随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示，如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A={1，3，5}。

1.随机事件的特征

从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征:

(1)任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间Ω，用其中一个圆(或其他几何图形)示意事件A，见1.2-1，这类图形称为维恩(Venn)图。

(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记ω1，ω2是Ω中的两个样本点(见图1.21):

当ω1发生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，则事件A发生；

当ω2发生，且ω2A(表示ω2不在A中)，则事件A不发生。

(3)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明确无误的。

(4)任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件。

(5)任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为φ。如掷一颗骰子，“出现7点”就是一个不可能事件。

[例1.2-2]若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。

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Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。

A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；

B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；

Ω=“至多有两件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；

φ=“有三件不合格品”。

现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间Ω含有23=8个样本点。

Ω={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}

下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。

A=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7个样本点}；

B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7个样本点}；

C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；

C2=“恰有两件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；

C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；

C0=“没有一件是不合格品”={(0，0，0)}；

2.随机事件之间的关系

实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。

(1)包含:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为A B，或B A，这时事件A的发生必导致事件B发生，如图1.2-2所示。如掷一颗骰子，事件A=“出现4点”必导致事件B=“出现偶数点”的发生，故A B。显然，对任一事件A ，有ΩAφ。

(2)互不相容:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时

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发生，如图1.2-3所示，如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，它们不可能同时发生。

两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容，例如在检查三个产品的例子(例1.2-2)中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有两件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“没有不合格品”是四个互不相容事件。

(3)相等:在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。如在掷两颗骰子的随机现象中，其样本点记为(x，y，其中x与y分别为第一与第二颗骰子出现的点数，定义如下两个事件:

A={(x，y):x+y=奇数}

B={(x，Y):x与y的奇偶性不同}可以验证A=B。

(三)事件的运算事件的运算有下列四种。

(1)对立事件，在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记为。图1.2-4上的阴影部分就表示A 的对立事件。可见就是“A不发生”，例如在检查一匹布中，事件“至少有一个疵点”的对立事件是“没有疵点”。对立事件是相互的，A 的对立事件是，的对立事件必是A。特别，必然事件Ω与不可能事件φ互为对立事件，即=φ，=Ω。

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14 (2)事件A 与B 的并，由事件A 与B 中所有样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为A 与B 的并，记为AUB 。如图1.2-2所示。并事件A ∪B 发生意味着“事件A 与B 中至少一个发生”。

(3)事件A 与B 的交，由事件A 与B 中公共的样本点组成的新事件称为事件A 与B 的交，记为A ∩B 或AB 。如图1.2-6所示，交事件AB 发生意味着“事件A 与

B 同时发生”。

事件的并和交可推广到更多个事件上去(见图

1.2-7)。

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(4)事件A对B的差，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B。如图1.1-8所示。

(四)概率——事件发生可能性大小的度量

随机事件的发生与否是带有偶然性的。但随机事件发生的可能性还是有大小之别，是可以设法度量的。而在生活、生产和经济活动中，人们很关心一个随机事件发生的可能性大小。例如:

(1)抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。足球裁判就是用抛硬币的方法让双方队长选择场地，以示机会均等。

(2)某厂试制成功一种新止痛片在未来市场的占有率是多少呢?市场占有率高，就应多生产，获得更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成积压，不仅影响资金周转，而且还要花钱去贮存与保管。

(3)购买彩券的中奖机会有多少呢?如1993年7月发行的青岛啤酒股票的认购券共出售287347740张，其中有180000张认购券会中签，中签率是万分之6.264(见1993年7月30日上海证券报)。

上述正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的废品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P(A)来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即: P(φ)=0，P(Ω)=1

二、概率的古典定义与统计定义

确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，相应于概率的两种定义，即古典定义及统计定义。

(一)古典定义

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用概率的古典定义确定概率方法的要点如下:

(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性是相同的(等可能性)；

(3)若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为:

〔例1.2-3]掷两颗骰子，其样本点可用数对(x，y表示，其中x与y 分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。

(1)定义事件A=“点数之和为2”={(1，1)}，它只含一个样本点，故P(A)=1/36。

(2)定义事件B=“点数之和为5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9。

(3)定义事件C=“点数之和超过9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6个样本点，故P(C)=6/36 =1/6。

(4)定义事件D=“点数之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，

1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，

2)，(5，1)}，它含有12个样本点，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。

用古典方法获得概率常需要排列与组合的公式。现概要介绍如下:

排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。

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(1)乘法原理:如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。

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