质量专业基础理论与实务 初级(3)

例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6条旅游线路。

(2)加法原理:如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法，在第二类方法中又有m2种完成方法，…，在第k类方法中又有m k种完成方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。

(3)排列:从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n-1)×…×(n-r+1)个，记为P＇n。若r=n，称为全排列，全排列数共有n!个，记为P n，即:

P＇n=n(n-1)…(n-r+1)，p n=n!

(4)重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有n＇个。注意，这里的r允许大于n。

例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为104。假如上述抽取不允许放回，列所得排列数为10×9×8×7=5040。

(5)组合:从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素并成一组(不考虑其间顺序)称为一个组合，此种组合数为:

规定0!=1，因而

=1。

17

质量专业理论与实务

18 例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为:

这是因为取出的4个产品的全排列有4!=24种。这24种排列在组合中只算一种。

〔例1.2-4]一批产品共有

N 个，其中不合格品有M 个，现从中随机取出n 个(n ≤N)，问事件A m

=“恰好有m 个不合格品”的概率是多少?

从N 个产品中随机抽取n 个共有

个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间Ω。其中“随机抽取”必导致这

个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可作同样理解。下面我们先计算事件A 0、A 1的概率，然后计算一般事件A m 的概率。

事件A 0=“恰好有0个不合格品”=“全是合格品”。要使取出的n 个

产品全是合格品，那必须从该批中N-M 个合格品中抽取，这有

种取法。故事件A 0的概率为

事件A 1=“恰好有1个不合格品”，要使取出的n 个产品只有一个不合格

品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从M 个不合格品中随机取出1个，共有

19 种取法；第二步从NM 个合格品中随机取出

n-1个，共有

种取法。依据乘法原则，事件A

1共含

个样本点。故事件A

1的概率为:

最后，要使事件A m 发生，必须从M 个不合格品中随机抽取m 个，而从

N-M

个合格品中随机抽取n-m

个。依据乘法原则，事件A m 共含有

个样

本点。故事件A

m 的概率是:

其中r=min(n ，M)是m 的最大取值，这是因为m 既不可能超过取出的产品数n ，也不可能超过不合格品总数M ，即m≤n 和m≤M。综合这两个不等式，可知m≤min(n，M)=r 。 假如给定N=10，M=2和n=4，下面来计算诸事件A m 的概率:

而A3，A4等都是不可能事件。因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的。

[例1.2-5](放回抽样)抽样有两种形式:不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽下一个，这相当于n 个同时取出。因此可不论其次序。放回抽样是抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件B m=“恰好有m个不合格品”的概率。

从N个产品中每次随机抽取一个，检查后放回再抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有N种可能，故在放回抽样的问题中共有N n种等可能的样本点。

事件B0=“全是合格品”发生必须从N-M个合格品中用放回抽样方式随机抽取n次，它共含有(N-M)n种取法，故事件B0的概率为:

事件B1=“恰好有一件不合格品”发生，必须从N-M个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从M个不合格品中抽一次。这样就有M(N-M)n-1种取法。再考虑到不合格品出现次序(不合格品可能在第一次抽样出现，也可能在第二次抽样中出现，…，也可能在第n次抽样中出现)故B1所含样本点的个数共有nM(N-M)n-1。故事件B1的概率为:

20

质量专业理论与实务 21 类似地，事件B m 共含有

个样本点。其中组合数

是由于考虑到m 个不合格品在n 次放回抽样中出现的次序所致，故B m 发生的概率为:

特别，当m=n 时，P(B n )=(M/N)n 。 假如给定

N=10，M=2，n=4，在放回抽样场合来计算诸B m

的概率。先计算:

这是在一次抽样中，抽出不合格品的概率；

这是在一次抽样中，抽出合格品的概率。

于是诸B m 发生的概率为:

P(B 0)=0.84=0.4096

P(B 1)=4×0.2×0.83=0.4096

P(B 4)=0.24=0.0016

可见，在放回抽样中，B 0和B 1发生的可能性最大，而B 4发生的可能性

很小，B 4在1000次中发生还不到二次。

(二)统计定义

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