小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且PA =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =PB =1，PD 则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；
（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =2，PB =1，PF 则∠APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．
22．解：150? . …… 1分 （1）135°. …… 3分 （2）120° …… 5分
七. 圆中的计算与证明
1 (朝阳21).如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF =BF . （1）求证:BF 是⊙O 的切线; （2）若4
2（通州18）.如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆经过A ，C 两点，交AB 于点D ， 已知2∠A +∠B =90 ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若OA =6，BC =8，求BD 的长．
（1）证明：连结OC . ………… 1分；
西城区教育研修学院·初三数学研修活动 2013.3.7
∵??CD
CD =， ∴2COD A ∠=∠，
∵290A B ∠+∠=o ，
∴90COD B ∠+∠=o . ……………… 2分；
在△OCB 中，
∴90OCB ∠=o ，
∴BC 是⊙O 的切线 . ……………… 3分；
（2）解： 在⊙O 中，
∴OC =OA =OD =6， ……………… 4分； ∵90OCB ∠=o ，
∴222OB OC BC =+.
∴10OB =. ……………… 5分； ∴1064BD OB OD =-=-=. ……………… 6分.
3(燕山23)．如图，AB 是⊙O 的直径，直线AD 与⊙O 相切于点A ，
点C 在⊙O 上，∠DAC ＝∠ACD ，直线DC 与AB 的延长
线交于点E ．AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．
⑴ 求证：DE 是⊙O 的切线；
⑵ 已知⊙O 的半径是6cm ，EC ＝8cm ， 求GF 的长．
23．⑴ 证明：联结OC ．
∵AD 是⊙O 的切线，∴∠OAD =90°，
∴∠OAC +∠DAC =90°．
∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ．
∵∠DAC =∠ACD ，
∴∠OCA+∠ACD =90°，即∠OCD =90°，
∴AD 是⊙O 的切线．
⑵ 联结BG ，
∵OC =6cm ，EC =8cm ，
∴在Rt △CEO 中，OE =OC 2+EC 2=10 cm ．
第23题
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图 8
C ∴AE =OE +OA =16 cm ．
∵AF ⊥ED ，
∴∠AFE =∠OCE =90°，∠E =∠E ．
∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ．
∴
OC AF ＝OE
AE ， ∴AF =OE OC AE ?=10616?=9.6 cm ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB =90°，
∴BG ∥EF ，
∴
AF AG ＝AE
AB ， ∴AG =AE AF AB ?=166.912?=7.2 cm ， ∴GF =AF －AG =9.6－7.2=2.4cm ．
4(平谷23). 如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线．
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝3
2，求△ACF 的面积． 23．（1）证明：连接BO ……………….1分
∵ AB ＝AD ＝AO ，
∴ △ODB 是直角三角形． ∴ ∠OBD ＝90° ………………………………………………………..2分
∴ BD 是⊙O 的切线．……………………….…………………………...3分
（2）解：∵ ∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，
∴ △ACF ∽△BEF ． ……………4分
∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠ABC ＝90°．…………………5分
在Rt △BFA 中，∵ cos ∠BFA ＝32=AF BF ， ∴9
42=??? ??=??AF BF
S S ACF BEF ．………………………........................6分
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又∵ BEF S ?＝8，
∴ ACF S ?＝18 ． …………………………………………………7分
5(顺义22)．如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，以AC 为直径的O 与BC 交于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ． （1）求证：DE 是O 的切线；
（2）若O 的半径为2，1BE =，求cos A 的值． 22．（1）证明：连接AD 、OD ． ∵AC 是直径，
∴AD BC ⊥．－－－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分 ∵AB AC =， ∴D 是BC 的中点． 又∵O 是AC 的中点，
∴OD AB ∥．-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 ∵DE AB ⊥， ∴OD DE ⊥．
∴DE 是O 的切线．-－－－－－－－－－－－－3分 （2）由（1）知OD AE ∥，
∴
FO OD
FA AE =
， -－－－－－－－－－－－－－－－－－4分 ∴FC OC OD FC AC AB BE +=
+-， ∴22441
FC FC +=+-． 解得2FC =． ∴6AF = ∴411
cos 62
AE AB BE A AF AF --=
===．－－－－－－－－－－5分 6(顺义24)．（7分）如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交AB 于E ，交O 于D ．求弦AD CD ，的长及CE
DE
的值． 24. 解：连结BD
B
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AB 是直径，90ACB ∴∠= ．
在Rt ABC △
中，8BC ===（cm ）．－－－－－－－－－－－－1分 CD 平分ACB ∠，
AD BD
∴=，AD BD =．--－2分 在Rt ABD △中，
2
AD BD AB ==
=cm ）．-－－－－－－－－－－－3分 方法一 过A 作AM CD ⊥于M
在Rt ACM △
中，cos 4562
AM CM AC ==??=?=－－－－－－－－－－－4分 在Rt ADM △中
，DM ==5分
∴CD CM DM =+=cm ） --－6分
∵45EAD ACD ∠=∠=? ，ADE CDA ∠=∠
∴ADE ?∽CDA ? ∴AD DE CD AD
=
∴227AD DE CD ===
∴7
CE CD DE =-= ∴
2425
CE DE = --－－7分 方法二 过E 作EF AC ⊥于F ，EG BC ⊥于G ，F G ，是垂足，则四边形CFEG 是正方形．
设EF EG x ==，由三角形的面积公式，得111222
AC x BC x AC BC += ， 即1116868222x x ?+?=?? ，解得247
x =．
7
CE ∴==． --－－－－－－－－－4分
B
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由ADE CBE △∽△，得
DE AE AD BE CE BC ==
，即8
DE BE ==
， 解得307AE =
，3040
1077
BE AB AE =-=-=，
∴7
DE =
． --－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∴CD CE DE =+=
=cm ）．－－－－－－－－－－－6分
24
25
CE DE =
-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－7分 7（西城 20）．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线
与AB 的延长线交于点P ，∠COB =2∠PCB .
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ， 若MN · MC =8，求⊙O 的直径. （1）证明：∵OA =OC ， ∴∠A =∠ACO . ∴∠COB =2∠ACO .
又∵∠COB =2∠PCB ，
∴∠ACO =∠PCB . ......................................................................................... 1分
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACO +∠OCB =90° .
∴∠PCB +∠OCB =90°， 即OC ⊥CP . ∵OC 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线. ………………………2分
（2）解：连接MA 、MB .（如图6） ∵点M 是弧AB 的中点，
∴∠ACM =∠BAM . ∵∠AMC =∠AMN ，
∴△AMC ∽△NMA . …………………………3分
∴
AM MC
NM MA
=
. ∴2AM MC MN =?.
∵MC MN ?=8，
∴AM = ....................................................................................................... 4分
图
6
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