中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题(2)

解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。 ∴PM＝DC＝12

A P D

1∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t

2（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，PQ2?t2?122，由PQ2＝BQ2

B M Q 图1

C

得 t2?122?(16?t)2，解得t＝

7； 2②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，BP2?(16?2t)2?122。由BP2＝BQ2 得：

(16?2t)2?122?(16?t)2 即3t2?32t?144?0。

由于Δ＝－704＜0

∴3t2?32t?144?0无解，∴PB≠BQ…

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得t2?122?(16?2t)2?122 整理，得3t2?64t?256?0。解得t1?量的取值范围是多少？）

综合上面的讨论可知：当t＝秒或t?角形。

（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，

16，t2?16（舍）（想想看为什么要舍？函数自变37216秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三3DCPE12t?得，即?。解得t＝9 BCEQ1612所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。 【例4】

A P E O B Q 图2

D C 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

D A

P C E Q B

【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解. 8解：（1）1，；

5B （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得

QFt4?．∴QF?t． 455Q D A F P 图3

B E Q A

D P 图4

C E C 14∴S?(3?t)?t，

2526即S??t2?t．

55（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得

AQAP?， ACABB t3?t9即?． 解得t?． 358Q D A

P 图5

B E C ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得

AQAP?， ABACt3?t15即?． 解得t?． 538

Q D A P 图6 （4）t?545或t?． 214G 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

C(E)

34PC?t，QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．

55345由PC?QC，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?．

55222B Q D A P C(E) 图7 G 方法二、由CQ?CP?AQ，得?QAC??QCA，进而可得

?B??BCQ，得CQ?BQ，∴AQ?BQ?5．∴t?5．

22②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7． 3445(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?

5514 【例5】

如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

B H Q

C

A D P R E

【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下. 解：（1）

?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2?DHB??A?90，?B??B． ?△BHD∽△BAC，

?DHBDBD312?AC??8?． ，?DH?ACBCBC105（2）

QR∥AB，??QRC??A?90．

△RQC∽△ABC， ?C??C，??RQQCy10?x?，??， ABBC6103x?6． 5即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A

?1??2?90，?C??2?90， ??1??C．

D P B 1 M 2 H Q

R E C

?cos?1?cosC?QM484?， ?，?QP51051?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?A D B H

P E Q R C 312x?6?， 55?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

B D H

A

E P R Q

C

11?CR?CE?AC?2．

24QRBAtanC??，

CRCA315?x?66?x?，．

?5?228

综上所述，当x为

1815或6或时，△PQR为等腰三角形． 52【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。

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