中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题(3)

第二部分 发散思考

【思考1】

如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B?60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿

A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、

Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点

和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；

Q从开始运动到停止的过程中，（2）点P、当△APQ是等边三角形时x的值是 秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将x运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X≤3，到3时刚好Q到B.第二阶段是3≤X≤6，Q从B返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.

【思考2】

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ； (2)探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.

yDEA OCxB

【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。

【思考3】

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿

AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线

段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形

MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN，所以此时MN刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N过AB中点之前，其次是N过中点之后同时M没有过中点，最后是M,N都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN是不变的，所以PM和QN的长度就成为了求面积S中变化的部分。

这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】 解：（1）6． （2）8．

P B

Q C A M N

（3）①当0≤x?3时，

A

Q1

B

P1 P2 E D

O Q3

C

P3

Q2

y?S△APQ?1311332AP·AQ·sin60??·x·2x·?x． 112222②当3≤x?6时，

y?S△APQ=12?1AP2?P2Q22

1AP2·CQ2·sin60?213?x·(12-2x·)22=?32x?33x. 2③当6≤x≤9时，设PQ33与AC交于点O． (解法一)

过Q3作Q3E∥CB,则△CQ3E为等边三角形．

?Q3E?CE?CQ3?2x?12.Q3E∥CB.?△COP3∽△EOQ3

?OCCP3x?61???,OEEQ32x?12211?OC?CE?(2x?12),33

y?S△AQP3?S△ACP3-S△COP311?CP3·AC·sin60°?OC·CP3·sin60°2213113． ?(x?6)·6???(2x?12)(x?6)?22232??3273x?x?153 62

（解法二）

如右图，过点O作OF?CP3于点F，OG?CQ3，于点G, 过点P3作P3H?DC交DC延长线于点H．

?ACB??ACD,

?OF?OG.又CP3?x?6,CQ3,?2x?12?2(x?6),

?S△CQP3?1S△COQ3 2Q3

D

G

C

H F

1?S△COP3?S△CP3Q3,311??·CQ3·P3H32113??(2x?12)(x?6)·322?O P3

A

B

3(x?6)2.61·AC·sin60° 又S△ACP3?CP3213?(x?6)?6?22

33?(x?6).2

?y?S△AOP3 ?S△ACP3?S△OCP3 3332?(x?6)?(x?6)26??

3273x?x?153. 62【思考2解析】 解：（1）5 , 24,

24 5yDPGAQB(图1) （2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.

如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得 △AQG∽△ABE,∴∴QG=∴S?QGQA?, BEBAEOCx4848t?, …………………………1分 525124245AP?QG??t2?t(≤t≤5).

22255……1分 ∵S??∴当t=

2455(t?)2?6(≤t≤5).（这个自变量的范围很重要）

22525时，S最大值为6. 2yPEAMFOCxD② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.

当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4. 以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.

如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点 F,则AM=

BQ1(图2)1AP?2.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 2

FMAM?Q1FCQ?OD?3, ∴FM?3, 1AO42∴Q331F?MQ1?FM?10. ∴CQ1=4221?tAPCQ1113QF=5.则k?t?CQ, ∴k?AP?10 . 1第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则

1?tAPCB?k?t?CB?BQ,∴k?BQ2?32. 2AP②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N， 由△ANP∽△AEB,得

ANAE?APAB. ∵AE=AB2?BE2?7285 , ∴AN＝25. ∴AQ3=2AN=565619425, ∴BC+BQ3=10-25?25 则1?tAPCB?BQ3k?t?CB?BQ.∴k??97. 3AP50

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