2024年山东省滨州市中考数学试卷(解析版)(4)

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°． ∵点D为BC的中点， ∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF；

（2）BE=AF，证明如下： 连接AD，如图②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB和△FDA中，∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF．

， ，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．

26．（14分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B． （1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 点A 的距离等于到 x轴 的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

【分析】（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；

（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；

（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；

（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可． 【解答】解：（1）由x=2，得到P（2，y），

连接AP，PB， ∵圆P与x轴相切， ∴PB⊥x轴，即PB=y， 由AP=PB，得到解得：y=， 则圆P的半径为；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2， 整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合； 故答案为：点A；x轴；

（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F， 设PE=a，则有EF=a+1，ED=∴D坐标为（1+

，a+1），

， =y，

代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+

或a=﹣2﹣

（舍去），即PE=﹣2+

，

在Rt△PED中，PE=则cos∠APD=

=

﹣2，PD=1， ﹣2．

【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．

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