黑龙江省哈尔滨市中考数学真题试题(含解析)(4)

（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．

的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶

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【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）利用数形结合的思想解决问题即可； 【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；

（2）如图△ABE即为所求；

【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图；

（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？

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【分析】（1）由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图； （3）用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷20%=120人；

（2）“书法”类人数为120﹣（24+40+16+8）=32人， 补全图形如下：

（3）估计该中学最喜爱国画的学生有960×

=320人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

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24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a，

则S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中，

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2

2

2

∵，

∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=AE?BE=?（2a）?2a=2a， S△ACE=CE?BE=?（2a）?2a=2a， S△BHG=HG?BE=?（a+a）?2a=2a，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．

25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．

（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；

（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？

【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；

（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．

【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：解得：

，

，

22

2

答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；

（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180， 解得：x≤35，

答：最多可以购买35个A型放大镜．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．

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26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在

上，连接BE、DE，点F在

上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF． （1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK； （3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．

【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长．

【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠F=∠A=90°， ∴∠F=∠ABC， ∵DA平分∠EDF， ∴∠ADE=∠ADF，

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∵△CEF是等边三角形， ∴∠CEF=60°，EC=CF，

∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°， ∴∠H=∠EFH， ∴EH=EF， ∴EC=EH，

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