2024年四川省成都市中考数学试卷(含答案解析版)(4)

，则k= ﹣ ．

），

【解答】解：设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，B′（，∵AB=

∴b﹣a=2，即b=a+2．

∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上， ∴

解得：k=﹣． 故答案为：﹣．

，

），

=

=

（b﹣a）=2

，

25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．

【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′， ∵GF⊥AA′，

∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°， ∴∠MGF=∠KAC′， ∴△AKC′≌△GFM， ∴GF=AK，

∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N， ∴

=

，

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∴=，

∴C′K=1cm， 在Rt△AC′K中，AK=∴FG=AK=故答案为

cm， ．

=

cm，

26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站 A B C D E x（千米） 8 9 10 11.5 13 y1（分钟） 18 20 22 25 28 （1）求y1关于x的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间． 【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：

，

解得：

，

故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则 y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，

∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，

答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．

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27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是

=

=

；

迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD． ①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF． ①证明△CEF是等边三角形； ②若AE=5，CE=2，求BF的长．

【解答】迁移应用：①证明：如图②

∵∠BAC=∠DAE=120°， ∴∠DAB=∠CAE， 在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②解：结论：CD=AD+BD．

理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．

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∵△DAB≌△EAC， ∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=AD?cos30°=

AD，

∵AD=AE，AH⊥DE， ∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．

拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴△ABD，△BDC是等边三角形， ∴BA=BD=BC，

∵E、C关于BM对称， ∴BC=BE=BD=BA，FE=FC， ∴A、D、E、C四点共圆， ∴∠ADC=∠AEC=120°， ∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等边三角形，

②解：∵AE=5，EC=EF=2， ∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°， ∴

=cos30°，

=3

．

∴BF=

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28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2解析式为y=ax2+4， 把A（﹣2

，0）代入可得a=﹣，

，0），设抛物线的

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4， 由

，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点， 则有

，解得2＜m＜2

，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

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由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点M在y=﹣x2+4上， ∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=

﹣3或﹣

﹣3（舍弃），

∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），

∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=

﹣3或6．

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