2024精编初中数学中考模拟测试卷(含答案解析) (1)(4)

三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

26. 已知二次函数 为常数

若 ，求证该函数图象与x轴必有交点

求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上 当 时，y的最小值为 ，求m的值

【答案】 证明：令 ，则 ， ，

，

二次函数 的图象与x轴必有交点；

证明： 二次函数 ，

顶点坐标为 ， 令 ， ， ，

不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数 的图象上；

解：由 知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 当 时，由题意得：当 时，y最小值为 ，

代入抛物线解析式中得： ，即 舍 或 ， 当 时，由题意得：当 时，y最小值为 ，

代入抛物线解析式中得： ，即 ； 当 时，由题意得：当 时，y最小值为 ，

代入抛物线解析式中得： ，即 ，此方程无解；

综上，m的值是1或5．

【解析】 利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况； 先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；

利用抛物线的增减性，分三种情况讨论即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与x轴交点个数的判定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

27. 如图，在?ABCD中， ， ，∠ ，点E为CD上一动点，

经过A、C、E三点的 交BC于点F． 【操作与发现】

当E运动到 处，利用直尺与规作出点E与点F； 保留作图痕迹 在 的条件下，证明： ． 【探索与证明】

点E运动到任何一个位置时，求证： ； 【延伸与应用】

点E在运动的过程中求EF的最小值．

【答案】解： 如图1所示，

如图，易知AC为直径，则 ， 则 四边形 ，

如图，作 ， ，若E在DN之间

由 可知， 、F、C、E四点共圆， ∠ ∠ ， ∠ ∠ ， ∠ ∠ ， ∠ ∠

∽

若E在CN之间时，同理可证 、F、C、E四点共圆， ∠ ∠ ，

四边形ABCD为平行四边形，∠ ， ∠ ， ∠ ， ∠ ，

为等腰直角三角形，

，

与N重合时，FE最小， 此时 ，

在 中， ，则 由勾股定理可知： 此时EF最小值为

【解析】 当 ，此时AC是 的直径，作出AC的中点O后，以OA为半径作出 即可作出点E、F；

易知AC为直径，则 ， 四边形 ，从而得证；

如图，作 ， ，若E在DN之间，由 可知， ，然后再证明 ∽ ，从而可知 ，若E在CN之间时，同理可证； 由于A、F、C、E四点共圆，所以∠ ∠ ，由于四边形ABCD为平行四边形，∠ ，从而可证 为等腰直角三角形，所以 ，由于 ，所以E与N重合时，FE最小． 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，尺规作图等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

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