金山中学18年数学高考压轴题
（集有关信息编制，内部资料，仅供参考） 2018.5.28
1.设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝⑴求f(α)·f(β)的值；
⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；
（3）当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：⑴ f(α)f(β)＝－4
⑵设α≤x1 4x?a x2?1[4?a(x1?x2)?4x1x2](x1?x2) 2(x12?1)(x2?1)又∵2x12-ax1-2≤0, 2x22-ax2-2≤0,∴a(x1+x2)+4≥2(x12+x22) 得4+a(x1+x2)－4x1x2≥ 2(x12+x22) －4x1x 2=2(x1-x2)2>0，得f(x1) ∵|f(α)|·f|(β)|＝4，而f(β)－f(α)＝|f(β)|+|f(α)|≥4 符号在f(B)＝2时成立，即 ２ 8a?16?a2?2?a?0 2. 设曲线ｃ：ｙ＝ｘ（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x轴交于Q１，过Q１作平行于y轴的直线与曲线c交于P１（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c的切线交x轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y轴的直线与曲线c交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N) (Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程； (Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式； (Ⅲ)设Ｓｎ＝ｘ０＋ｘ１＋…＋ｘｎ，求limＳｎ. n??解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０ 4分 (Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过Pｎ的切线方程为 ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ） 6分 将Qｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得： ２ －ｘｎ＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ） ∴ｘｎ＋１＝ xnx1?n?1? 2xn2 8分 1的等比数列 21ｎ1ｎ－１ ∴ｘｎ＝f(n)=2·（），即f(n)＝（） 22故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为 10分 2(1?(Ⅲ)Ｓｎ＝ 1n?1211?2)?Sn?4(1?112 n?1) ∴limSn=lim4(1-n??n??2n?1)=4 14分 3.如图，A、B为函数△ABC边AC的中点。 图像上两点，且AB∥x，点M（1，m）（m>3）是 （I）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)； （II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。 解：（I）设B ，A ， ，M是△ABC边AC的中点 ∴ （II）∵ 4分 ，M是△ABC边AC的中点 ∴ ∴ 当 时， 当且仅当。 此时点C的坐标是 （） 8分 当m>9时，S=f(t)在区间（0，1]上是增函数，证明如下： 设 ∵ 又 ∴ ∴S=f(t)在（0，1]上为增函数， 11分 故t=1时， 。 13分 ， 22：设x1,x2?(??,0)，且x1?x2，则?x1,?x2?(0,??)，且?x1??x2。 ∵f(x)在[0,??)上是增函数，∴f(?x1)?f(?x2)又f(x)为奇函数，∴（Ⅱ）∵函数f(x)?f(x1)?f(x2)∴f(x1)?f(x2)。∴f(x)在(??,0)上也是增函数。在(??,0)和[0,??)上是增函数，且f(x)在R上是奇函数 ∵f(x)在(??,??)上是增函数。∵f(cos2??3)?f(2m?sin?)?0， ∴f(cos2??3)??f(2m?sin?)。 f(cos2??3)?f(sin??2m)， cos2??3?sin??2m，2m?2sin2??sin??2， 1?15?m??sin????。 4?16?11?15?∵当sin??1时，?sin????的最大值为2， 24?16?22 1时，不等式恒成立。 224.设二次函数f?x??x，对于任意?,?恒有f?sin?bx??c,bc??R???0， ∴当m?2f?2?cos???0． （1）求证：b?c??1且c?3． （2）若函数f?sin??的最大值为8，求b,c的值． 解：（1）由题可得：当x???1,1?时，f?x??0恒成立；当x??1,3?时，f?x??0恒成立。 所以，f?1??0，且f?3??0（9?3b?c?0）， 所以，b?c??1，2c??9?3b?c??2c?6，即c?3。 （2）f?x??x2?bx?1?b 函数f?sin??的最大值为8?当x???1,1?时，函数f?x?的最大值为8。 因为f?x?在［－1，1］上单调递减，所以，f??1??8。所以b??4。带入解得：c?3。 5.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假 2定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也 3越多，但总还有农药量残留在蔬菜上．设用x单位的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f?x?． （1）试规定f?0?的值，并说明其实际意义． （2）试根据假定写出函数f?x?应满足的条件和具有的性质． 1，现有a?a?0?单位量的水，可以清洗一次，也可以21?2x把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由． （3）设f?x??（1）f?0??1，表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持不变。 （2）函数f?x?应该满足的条件和具有的性质是：f?0??1;f?1??1；f?x?在3?0,???上单调递减；且0?f?x??1。 （3）仅清洗一次，残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为f1?1， 1?2a2将水平均分成两次后清洗两次，残留的农药量与清洗前相比为 ????14??f2??。 222??a???2?a?1?2?????2??? 2 2?a??4?1?2a2??14a4?4a2f1?f2???? 2222222221?2a?2?a??1?2a??2?a??1?2a??2?a?22于是，当a?2时，f1?f2，分两次清洗残留的农药量较少； a?2时，f1?f2，两种清洗方法效果相同； 0?a?2时，f1?f2，一次清洗残留的农药量较少。 6.（本题满分14分） 已知函数：f(x)?x?1?a(a?R且x?a)． a?x1,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； 2 （1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立； （2）当f(x)的定义域为[a+ （3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ． 解（1）证明：f(x)?2?f(2a?x)?x?1?a2a?x?1?a?2? a?xa?2a?xx?1?aa?x?1x?1?a?2a?2x?a?x?1??2???0． a?xx?aa?x?(a?x)?11??1? a?xa?x∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’ （2）证明：f(x)?当a?11?x?a?1时，?a?1??x??a?， 2211 ?2???1，?1?a?x??，
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