北京十三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知锐角α终边上一点A的坐标是（2sin A．
2．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 3．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（） A． e
B． ﹣e
C．
D．﹣
B．
C．
，2cos
），则α的弧度数是（）
D．2
4．（5分）若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围
是（） A． （﹣1，0）∪（0，1） ∪（1，+∞） D．
5．（5分）函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣
，
B． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C． （﹣1，0）
（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
]的大致图象是（）
A． B．
C．
6．（5分）设函数x1，x2，则（）
D．
，的零点分别为
A． 0＜x1x2＜1 B． x1x2=1 C． 1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2 7．（5分）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
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则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x﹣1）；②f（x）=|2﹣1|；③
x
；④f（x）=e．其中存在“稳定区间”的函数有（）
x
A． ①③ B． ①②③④ C． ②④ D．①②③ 8．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对
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称，x，y满足不等式f（x﹣2x）+f（2y﹣y）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，
的取值范围为（）
D．[0，12]
A． [12，+∞] B． [0，3] C． [3，12]
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）若复数z=
（x∈R）为纯虚数，则x=．
10．（5分）若+=（﹣2，﹣1），﹣=（4，﹣3），则与的夹角为．
11．（5分）已知I={不超过5的正整数}，A={x|x﹣5x+q=0}，B={x|x+px+12=0}，且?IA∪B={1，3，4，5}，则p+q=． 12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω=，f（1）+f（2）+f（3）+…+f=．
2
2
13．（5分）（文）已知向量，满足?=0，||=1，||=2，则|2﹣|=．
14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设
=x
，
=y，对于函数y=f（x），给出以下
三个结论：
①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]； ②?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立； ③?a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（13分）在锐角△ABC中，a=2sinA且b=（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a=3c，求c的值．
16．（13分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（（Ⅰ）当⊥时，求x值的集合； （Ⅱ）当x∈[0，π]时，求|﹣|的最大值．
17．（13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式
，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值． 18．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且
于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）． （Ⅰ）若
，求x2；
．将角α的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆
．
sinx，﹣sinx），=（﹣1，），其中x∈R．
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
19．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣
，（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
20．（14分）已知f（x）=ax+bx+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性． （1）求 的取值范围；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （3）求|AC|的取值范围．
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北京十三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知锐角α终边上一点A的坐标是（2sin A．
B．
C．
，2cos
），则α的弧度数是（）
D．2
考点： 任意角的三角函数的定义；弧度制． 专题： 三角函数的求值．
分析： 利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．
解答： 解：由题意，点在第一象限（2sin，2cos），
∵tanα==tan，
∴角α的最小正值为．
故选：A．
点评： 本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．
2．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式． 专题： 简易逻辑．
分析： 因为“0＜ab＜1”?“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件． 解答： 解：∵a、b为实数，0＜ab＜1， ∴“0＜a＜”或“0＞b＞” ∴“0＜ab＜1”?“a＜”或“b＞”． “a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，
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