（Ⅱ）若a=3c，求c的值．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）利用正弦定理列出关系式，将已知等式与b的值代入即可求出B的大小； （Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a=3c，b，以及cosB的值代入求出c的值，判断即可得到结果．
解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得∵a=2∴sinB=
sinA，b=
=
，
=
，
=，
则在锐角△ABC中，B=60°；
222
（Ⅱ）由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB， 又a=3c，b=
2
2
，cosB=，
2
2
∴21=9c+c﹣3c，即c=3，
解得：c=，
=﹣
＜0，可得A＞90°，不符合题意，
经检验，由cosA=
则a=3c时，此三角形无解．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
16．（13分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（（Ⅰ）当⊥时，求x值的集合； （Ⅱ）当x∈[0，π]时，求|﹣|的最大值．
考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 平面向量及应用．
sinx，﹣sinx），=（﹣1，），其中x∈R．
分析： （Ⅰ）由⊥，可得=0，化为，即可得出；
（II）利用数量积性质与正弦函数的单调性即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）∵⊥， ∴∴由
∴x值的集合为（Ⅱ）
=
=
∵x∈[0，π]， ∴∴当
=∈
，
，即x=0时，|﹣|有最大值为
=2
．
=
，
=
﹣2sinx=， 或2x+
=
+2kπ（k∈Z），
．
2
=﹣1=0，
点评： 本题考查了向量的数量积运算性质、正弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（13分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式
，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．
考点： 函数模型的选择与应用；函数最值的应用． 专题： 计算题；应用题．
分析： （Ⅰ）根据每日的利润L=S﹣C建立函数关系，然后根据当x=2时，L=3可求出k的值；
（Ⅱ）当0＜x＜6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x≥6时利用函数单调性求出函数的最大值，比较两最大值即可得到所求．
解答： 解：（Ⅰ）由题意可得：L=因为x=2时，L=3 所以3=2×2+所以k=18
（Ⅱ）当0＜x＜6时，L=2x+所以L=2（x﹣8）+当且仅当2（8﹣x）=
+2
]+18≤﹣2
+2
+18=﹣[2（8﹣x）+即x=5时取等号
+18=6
当x≥6时，L=11﹣x≤5
所以当x=5时，L取得最大值6
所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6．
点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题． 18．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且
于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）． （Ⅰ）若
，求x2；
．将角α的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
考点： 两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据
（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，
得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 解答： （Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，因为 所以
（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，
，
．
依题意S1=2S2 得 2[sin2αcos
+cos2αsin
]=sin2α﹣
cos2α，
，即sin2α=﹣
，
，所以
．
． 所以
． ．
，利用两角和的余弦公式求得结果．
，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求
整理得 cos2α=0． 因为
，所以
，所以
，即
．
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣
，（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．
分析： （Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；
（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数
在[1，
e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分） 当a=1时，f（x）=x﹣lnx，
x （0，1） 1 （1，+∞） f\'（x） ﹣ 0 + f（x） 极小 （3分）
所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分） （Ⅱ）
，
，（2分）
（6分）
①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h\'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h\'（x）＞0， 所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分） ②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h\'（x）＞0， 所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）
（ III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即 在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0， 即函数
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