常微分与物理学

常微分方程与物理学

[摘 要] 微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一.本文通过普通物理学中力学、电磁学、热学方面的实际问题及相关知识归纳出它们与微分方程的关系,先建立微分方程,再讨论该方程解的性质,并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程.

[关键词] 常微分方程 导数 普通物理

引言

常微分方程在几百年的发展史上,在每个时期最新的技术科学中建立了自己的落脚点,得到了实际的应用,从而刺激它飞跃地发展,在完善理论的同时继续深入其它新兴技术学科领域.可以说凡采用无穷小分析方法研究物质世界运动状态的问题大抵都离不开微分方程[1].常微分方程是数学专业的一门重要基础课,也是理、工科高等数学的重要组成部分,随着我国现代化建设的飞速发展,医、农、工以至经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本理论与方法了.本文从普通工科生的角度出发,利用最简单基础的例子,归纳了普通物理学与常微分方程的一些联系,使初学者更易理解与掌握.

一、微分方程描述各物理现象

微分方程是高等数学的重要内容之一.借助微分方程的基本理论,解决诸如几何应用问题,物理应用问题,经济学应用问题等是多年来国家考研统考试卷常考重点题型.目的是检测学生对具体的实际问题,建立起相应的一阶或二阶微分方程,结合其它的相关知识, 从而最终解决问题的能力.故加强学生在这方面的训练,对综合解题的提高是十分有益的.

(一) 模型举例

有些完全无关的、本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述. 1.反映物体冷却过程的方程

dIdt?RLI?EIdudt2??k?u?ua?,和反映 R?L电路中电流变化规律的方程

都可以写成

dydt?Ky?B2,这里K、B是常数[2].

?ILC22.

2R?L?C电路的方程

gl1mldIdt2?RdILdt?Ide?t?Ldtdydt和数学摆的强迫微小振动的方程

d?dt2??d?mdt???F?t?都同一形式

dydt2?b?cy?f?t?,这里b、c是常数.

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3.

2L?C电路方程

d22Idt??0LCI和阻力系数

dydt22??0的数学摆的自由微小振动方程

d?dt2?gl??0均属于同样的数学模型

?ky?02这里k是常数.

不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实,正是现代许多应用数学和工程领域应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.

(二)一般步骤

1.应用微分方程解决实际问题,一般有三个步骤: (1) 建立微分方程;

(2) 求解微分方程(或由方程讨论解的性质); (3) 由所得的解或解的性质, 反过来解释该实际问题.

2.例 假设一块石头从一个建筑物的顶部竖直向上抛出,那么在t时刻石块相对于地面的位置S?t?是多少？ (1) 理解实际问题

问题是:确定t时刻石块相对于地面的位置是多少？ (2) 作出假设

(i)设初速度为V?0??V0建筑物的高度为S?0??S0.

(ii)石块相对于建筑物是很小的,可以记为一个点,这样石块距地面的距离就是这个点到地面的距离,而无须考虑石块的顶部还是底部的离地高度,以免问题复杂化. (iii)对于石块,空气阻力可忽略不计,因此可假设它只受到重力mg. (3) 建立模型 设石块的加速度a?dSdt22,又设竖直向上的方向为正方向,由牛顿运动第二定律得

dSdt22m??mg,

有

dSdt22??g.

再根据初始速度和建筑物的初始高度得到二阶微分方程初值问题

?dS??g,?2 ????dt?S?0??S,S'?0??V.00?第2页 共9页

2

(4) 模型求解

在???中第一个方程两边积分两次得

S?t???gt22?a1t?a2,

由S?0??S0,S'?0??V0得到a1?V0，a2?S0.所以

2 S?t???gt2?V0t?S0. ????

(5) 将数学结果与实际问题作对比检验 当t?0时S?0??S0，当t?V0?V0?2gS0g2时,S?0.因此当

t?V0?V0?2gS0g2,

石块落地.从式????看出,建筑物高度越高，即S0越大,S?t?也越大,即同样时间t内石块距地面越远.此外,V0越大,同样时间内S?t?也越大,即同样时间内石块距地面越远.这符合实际情况.

3.对于复杂的实际问题,要建立一个较准确的描述它的状态的微分方程是件很困难的事,因为它不仅涉及到多种数学概念与方法,而且还涉及到了该问题所属的实际学科的许多知识,有时甚至还要靠实验的帮助,才能建立起较能反映实际、而在数学上又有可能处理的方程来.但我们这里主要谈的是建立一阶常微分方程,讨论在某些理想化的条件下的问题，这样难度自然就大大降低了.然而,对于初学者来说,要顺利、准确地列出方程还是有个学习与摸索的过程[3].

二、分类应用举例

物理学研究的内容十分广泛,自然界发生的一切物理现象,诸如物理的位置变动,声、热、光、电、磁等现象,以及物质的结构、聚集状态和各种特性,都是物理学所要研究的.按照所研究的物质运动和具体对象的不同,普通物理学包括力学、热学、光学、电磁学、原子物理学.力学研究的是物体的机械运动规律;热学研究分子、原子、电子、光子等质点做不规则运动所引起的热现象极其热运动的的规律;电磁学研究电和磁现象及其电流、电磁辐射、电磁场等;光学研究光的本性,光的发射、传播和接收的规律,光和其他物质的互相作用比如有光的吸收、散射,光的机械作用和光的热、电、化学效应等及其应用[4].

(一)力学方面

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例 1 某飞机以匀速V沿y轴正向飞行,当飞机行到原点0时被发现,随即一导弹从x轴上点?x0,0?处发射追击飞机,其速度大小为常数2V,方向始终指向飞机. (1)试建立导弹运行轨迹所满足的微分方程及初始条件; (2)求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中飞机所需的时间.

分析 首先建立坐标系,设在t时刻,导弹的位置为A?x,y?,其速度方向恒指向飞机B, 位置为B?0,vt?,导弹运行轨迹在A处的切线斜率等于AB的斜率. 解 (1)设导弹运行轨迹方程为y?y?x?,在某t时刻,飞机的位置为B?0,vt?,导弹的位置

dydx为A?x,y?x??,因导弹的速度方向始终指向飞机,故在t时刻,导弹运行轨迹的切线斜率等于线段AB的斜率

vt?y0?x,得到一阶微分方程

xdydx?y?vt,

两端对x求导数,得

xdydx22??vdtdx.

又由已知导弹的速度大小为常数2V,得

2v??dx??dy???????dt??dt?22??dxdt?dy?1????dx?2, 有

dtdx??12v?dy?1????dx?2.

得到导弹轨迹满足的二阶Cauchy问题

2?dy1?dy?x?1??22?dx?dx??y?x0??0,y'?x0????,? 0.2(2)对上述可降价的微分方程令p?dydx,则有

1?dp2x?1?p,?2?dx?p?x??0,0?

解得

ln?p?1?p2??lnx0x?0.

又由

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?dy1?p??2?dx??y?x0??0,????xx0?x0??,x??

进一步解出导弹运行轨迹为

y?x??2323x0?x3xx0?xx0. y?0?V令x?0,即当导弹击中飞机,得y?0???x0,令VT?y?0??0,最后,T??2x03V,即导弹

自发射到击中飞机的飞行时间为T2x03V.

例2 一质点从离地很高的地方(作用力服从牛顿万有引力定律)由静止开始下落,设地球相对于质点是固定的,且忽略空气阻力等其它因素.试求质点的速度对距离的依赖关系;如果开始时质点离地心的距离为S0,问质点到达地面的时间是多少?

解 设取地心为原点,X为质点到地心的距离, m为质点地球的质量, M为地球的质量，作用在质点上的力按万有引力定律是FkM?Rg2?kmMx2,它在地面上就等于重力,即

kmMR2?mg或

,其中R是地球的平均半径.由牛顿第二定律

ma?m??x?F??kmMx2??Rmgx22,

dvdxRgx22x?即???Rgx22,设x?vx?,则??vdvdx, 代入上式得到所求一阶微分方程v2Rgx2??积分,得

速度与距离两者的依赖关系为v??c?. 2RgS02如果质点开始离地心距离为S0,则求出cdxdt1x1S0??,则V??2Rg21x?1S0为求到达

地面的时间,令

??2Rg2?,分离变量得

S0xS0?x2Rgdt??2dx,

两边取定积分得

2Rgt???2XS0S0xS0?xdx,

经代换、积分得

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