青海省西宁市第四高级中学2024-2025学年高二数学下学期第一次月

西宁市第四高级中学15—16学年第二学期第一次月考

高二数学（文科）试卷

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数

i(i是虚数单位)的实部是（ ） 1+2i2112A．? B． C．? D．

55552．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=A．(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(?1,?4) D.(2,8)和(?1,?4)

4x-1，则p0点的坐标为（ ）

3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等。在以上三段论的推理中（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 4．已知函数( )

A．x+y－1=0 B．x－y－1=0 C．x+y+1=0 D．x－y+1=0 5．观察下列等式，13?23?32，13．若直线L过点(0，－1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线L的方程为

?23?33?62，13?23?33?43?102根据上述规律，

13?23?33?43?53?63? （ ）

A．192 B．202 C．212 D．222 6．复数1?2i的计算结果是（ ） 2?i33A.?i B.?i C.i D.i 55111117．设S(n)＝＋＋＋＋?＋2，则( )．

nn＋1n＋2n＋3n11A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋ 23111B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ 2341112

C．S(n)共有n－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ 234 1

1112

D．S(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ 2348．函数y?lnx的最大值为（ ）

xA．e?1 B．e C．e2 D．10 39．已知三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象如图所示，则f?(?3)?（ ）

f?(1)

A.-1 B.2 C.-5 D.-3 10．下列求导运算正确的是（ ）

111A．(x?)??1?2 B．(log2x)?? xxln2xC．(3x)??3x?log3e D．(x2cosx)???2sinx 11．函数y?x3?3x2?9x??2?x?2?有( ) A．极大值5，极小值?27 B．极大值5，极小值?11 C．极大值5，无极小值 D．极小值?27，无极大值 12．若函数

在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )

A．(0，3) B．(－∞，3) C．(0，+∞) D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13．已知自由下落物体的路程为s=

12gt，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 214．下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；

③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ (填序号) 15．函数y?x3?x2?5x?5的单调递增区间是___________________________.

16．已知2?aa223344若6??6（a，t均为正实数），?2,3??3,4??4,?，tt33881515则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= .

2

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．（本题满分12分）已知复数z?m(m?1)?(m2?2m?3)i, （1）当实数m取什么值时，复数z是： ①零； ②纯虚数；

③z?2?5i.

（2）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

18．（本题满分12分）已知函数f(x)=x3

-3x. (1)求函数f(x)的单调区间.

(2)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值.

19．（本题满分10分）用分析法证明不等式：

（a≥2）

20．（本题满分12分）设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

3

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．

21．（本题满分12分）观察下列三角形数表：

假设n行的第二个数为a*

n（n≥2，n∈N）． （1）依次写出第八行的所有数字；

（2）归纳出an+1与an之间的关系式，并求出an的通项公式．

22．（本题满分12分）已知函数f(x)?x2?2x?alnx(a?R). （Ⅰ）当a??4时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，求实数a的取值范围

4

2015-2016学年西宁四中第二学期月考卷

高二文科试卷答案

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

i(i是虚数单位)的实部是（ ） 1+2i2211A．? B． C．? D．

55551．复数【答案】B 【解析】因为

2ii(1?2i)21?22??i，所以其实部为，选B.

51+2i1+255考点： 复数的概念，复数的四则运算.

2．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ） A.(1,0) B.(2,8)

C.(1,0)和(?1,?4) D.(2,8)和(?1,?4) 【答案】C 【解析】

试题分析：由条件得f￠(x)=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解得x??1．当x?1时，f(x)?0；当x??1时，f(x)??4．∴切点P0的坐标为(1,0)或(?1,?4)，故造C． 考点：导数的几何意义．

3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等。在以上三段论的推理中（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 【答案】A 【解析】

试题分析：大前提，“菱形的对角线相等”， 小前提，正方形是菱形， 结论，所以正方形的对角线相等，

大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分． 以上三段论推理中错误的是：大前提，故选A．. 考点：演绎推理的基本方法. 4．已知函数( ) A．x+y－1=0 B．x－y－1=0

5

．若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为

C．x+y+1=0 D．x－y+1=0 【答案】B

【解析】f′(x)=lnx+1，x＞0，设切点坐标为

，则

，

切线的斜率为，所以，解得，

所以直线l的方程为x－y－1=0．

5．观察下列等式，13?23?32，13?23?33?62，13?23?33?43?102根据上述规律，

13?23?33?43?53?63? （ ）

22A．192 B．202 C．21 D．22

【答案】C 【解析】

1?22?33?44?5,3?,6?,10?，2222n?(n?1)26?723333]，所以13?23?33???63?()?212. 由此可猜想，1?2?3???n?[22试题分析：13?12.下面考查1，3，6，10的规律，由于1?考点：归纳推理.

1?2i的计算结果是（ ） 2?i33（A）?i （B）?i （C）i （D）i

556．复数【答案】（B） 【解析】 试题分析：由

1?2i1?2i(1?2i)(2?i)?5i????i.故选（B）.

2?i2?i(2?i)(2?i)5考点：复数的运算.

1111＋＋＋?＋2，则( )． n＋1n＋2n＋3n11A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋

23111B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋

2341112

C．S(n)共有n－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋

2341112

D．S(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋

2347．设S(n)＝＋【答案】D

【解析】从n到n共有n－n＋1个自然数，即S(n)共有n－n＋1项． 8．函数y?

2

2

2

1nlnx的最大值为（ ） x6

A．e?1 B．e C．e2 D．【答案】A 【解析】 试题分析：y??10 31?lnx,0?x?e时，y??0,x?e时，y??0,所以当x?1时，取得最大值，2xf?e??1e 考点：利用导数求最值

9．已知三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象如图所示，则

f?(?3)f?(1)?（ ）

A.-1 B.2 C.-5 D.-3 【答案】C 【解析】

试题分析：求导得：f’（x）=3ax2

+2bx+c，结合图象可得 x=-1，2为导函数的零点，即f’（-1）=f’（2）=0，

?故??3a?2b?c＝0，解得??a??c6故f?(?3)27a?6b?12a?4b?c＝0??f??1???c3a?2b?c??5，故答案为：-5. ??b?c4考点：导数的运算；函数的图象．. 10．下列求导运算正确的是（ ） A．(x?1x)??1?11x2 B．(log2x)??xln2 C．(3x)??3x?log23e D．(xcosx)???2sinx 【答案】B 【解析】 试题分析： A．（x+11x）′=1-x2，∴A错误． B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2

sinx，∴B错误． C．（3x

）′=3x

ln3，∴C错误． D．（log12x）′=xln2，正确． 故选：D.

7

考点：导数的运算．.

11．函数y?x3?3x2?9x??2?x?2?有( )

A．极大值5，极小值?27 B．极大值5，极小值?11 C．极大值5，无极小值 D．极小值?27，无极大值 【答案】C 【解析】

2试题分析：因为y??3x?6x?9?3(x?3)(x?1)，而?2?x?2，而当?2?x??1时，y??0，

函数单调递增；当?1?x?2时，y??0，函数单调递减，所以函数y?x3?3x2?9x??2?x?2?在x??1取得极大值(?1)?3?(?1)?9?5，没有极小值，故选答案C. 考点：函数的极值与导数. 12．若函数A．(0，3) B．(－∞，3) C．(0，+∞) D．

在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )

32【答案】D 【解析】∵

，且f(x)在(0，1)内有极小值．

∴．

13．已知自由下落物体的路程为s=【答案】gt0

14．下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；

③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ (填序号) 【答案】①,③

15．函数y?x3?x2?5x?5的单调递增区间是___________________________. 【答案】(??,【解析】

8

12gt，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 25?)和(1,??) 3

2试题分析：因为y??3x?2x?5?(3x?5)(，由y??0可得x?1或x??x?1)5，所以函数35y?x3?x2?5x?5的单调递增区间是(??,?)和(1,??).

3考点：函数的单调性与导数.

16．已知2?223344aa?2,3??3,4??4,?，若6??6（a，t均为正实33881515tt数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= . 【答案】41. 【解析】

试题分析：照此规律：a=6,t=a-1=35. 考点：推理证明.

17．已知复数z?m(m?1)?(m2?2m?3)i, （1）当实数m取什么值时，复数z是： ①零； ②纯虚数； ③z?2?5i.

（2）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）?3?m?0

【解析】

试题分析：在复数a?bi中复数为0需满足a?b?0，为纯虚数需满足a?0,b?0，复数对应的点在第四象限需满足a?0,b?0 试题解析：（1）①中需满足?2

?m?m?1??0?m?2m?3?02?m?1

?m?m?1??0?m?0 ②中需满足?2m?2m?3?0?③中??m?m?1??2?m?2 2m?2m?3?5?（2）??m(m?1)?0 ??3?m?0 2?m?2m?3?03

考点：复数及相关概念 18．已知函数f(x)=x-3x. (1)求函数f(x)的单调区间.

(2)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值.

【答案】(1) (-1,1) (2) 当x=-3时, 最小值为-18。当x=-1或2时, 最大值为2

9

【解析】(1)∵f(x)=x3

-3x, ∴f'(x)=3x2

-3=3(x+1)(x-1). 令f'(x)=0,得x=-1或x=1.

若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f'(x)>0, 故f(x)的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),

若x∈(-1,1),则f'(x)<0,故f(x)的单调减区间为(-1,1). (2)∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2, ∴当x=-3时,f(x)在区间[-3,2]取到最小值为-18. ∴当x=-1或2时,f(x)在区间[-3,2]取到最大值为2. 19．用分析法证明不等式： （1）

（a≥2）

【答案】见解析 【解析】 证明：（1）﹣

=

=

=

，

同理可得，﹣=

，

由＞，

＞， 即+

＞+， 即有＜， 即为

﹣＜

﹣

；

考点：不等式的证明． 20．（1）a=-3,b=4

(2)c<-1或c>9 21．观察下列三角形数表：

假设n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*

）． （1）依次写出第八行的所有数字；

（2）归纳出an+1与an之间的关系式，并求出an的通项公式． 【答案】（1）第八行的数有，8，29，63，91，91，63，29，8． 10

（2）an=n﹣n+1 【解析】

试题分析：由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和为下一行的数，进而得到答案．

解：（1）由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和，

用列举的方法计算第六行的数有，6，16，25，25，16，6． 第七行的数有，7，22，41，50，41，22，7 第八行的数有，8，29，63，91，91，63，29，8． （2）由已知可得： 当n=2时，an+1﹣an=2； 当n=3时，an+1﹣an=3； 当n=4时，an+1﹣an=4； 当n=5时，an+1﹣an=5； 当n=6时，an+1﹣an=6； 当n=7时，an+1﹣an=7； ?

归纳可得：an+1﹣an=n，

相加的an﹣a2=（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+?+2=∴an=

考点：归纳推理．

22．（本题满分12分）已知函数f(x)?x2?2x?alnx(a?R). （Ⅰ）当a??4时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，求实数a的取值范围 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）???,?4???0,???

【解析】

试题分析： f(x)为混合型函数，求其最小值一定要通过对其进行求导，找到增减区间；函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，可以假设f(x)在区间是增函数和减函数进行讨论，同样需要进行求导，来找到a的取值范围。

2试题解析：（Ⅰ）已知函数的表达形式是f(x)?x?2x?4lnx.所以显然，x的取值范围是x?0；

2

，

+2=n﹣n+1

2

42x2?2x?4首先对f(x)进行求导得到f(x)?2x?2??，求最大值和最小值问题，需要求增

xx'减区间，那么令f(x)?0，得到f(x)的增区间为(1,??)；令f(x)?0，得到f(x)的减区间为（0,1），所以f(x)的最小值为f(x)min?f(1)?3。

11

''a2x2?2x?a（Ⅱ）首先对f(x)进行求导得到f(x)?2x?2??，因为x?0是x的定义域，

xx/所以只需对2x2?2x?a进行讨论。因为函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，那么即求

u?x??2x2?2x?a在区间（0,1）上或者恒大于0或者恒小于0；将u?x?配方得到

111u?x??2x2?2x?a?2(x?)2??a，所以u?x?的对称轴为x??，开口向上，在区间（0,1）

222上为增函数，那么若函数f(x)在区间（0,1）上为单调增函数，即u?x??0，只需要令u?0??0即可，解得x??0,???；若函数f(x)在区间（0,1）上为单调减函数，即只需令u?1??0即可，解得

x????,?4?，所以x????,?4???0,???。

考点：1．利用导数求最值的应用；2．二次函数的性质．

12

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