2024年广州市一模理科数学答案

则A?0,?2,0?，B??????2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3． ???????Pz 于是AP?0,1,3，PB???2,1,?3，PC?0,3,?3． ???????设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

??????n?PB?0,则????? ??n?PC?0.??2x?y?3z?0,即? ??3y?3z?0.AED

Cy

x

B取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………………………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

．…………………………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，…………………………………………………………………………………………………1分

则B?2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???Pz ????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．

????????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，

????AED????????所以BP?BC．

Cy

所以BP?BC．

（2）由（1）可得，A?0,?2,0?．

????????于是AP?0,1,3，PB?x

B所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

???????2,1,?3，PC?0,3,?3．

???设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

数学（理科）参考答案及评分标准 第6页（共12页）

???????n?PB?0,?2x?y?3z?0,则?????即? ??n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2．

所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………………………………………………12分

?设直线AP与平面PBC所成的角为?，

????AP?n????46则sin??cos?AP,n?????． ???32?6AP?n63所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

．…………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有

2a4?4a5?,??a3??a3?a4?2a5,即?……………………………………………………………………2分 2?2a?2a.?2?3?a?2a2.2?3234??a1q?a1q?2a1q,所以?………………………………………………………………………………3分

222??a1q?2a1q.?a1???由于a1?0，q?0，解之得??q???1?a?,?12或?2……………………………………………………5分 1?q??1..?2,121又a1?0,q?0，所以a1?12,q?，…………………………………………………………………6分

n?1?*所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．…………………………………………………7分

?2?（2）解：由（1），得bn?2n?5?2n?1??2n?3?1?an?2n?5?2n?1??2n?3?2?1n．………………………………8分

所以bn???2?2n?1??1??n 2n?3?2?1(2n?1)2n?1?1(2n?3)2n．…………………………………………………………………10分

数学（理科）参考答案及评分标准 第7页（共12页）

所以Sn?b1?b2?L?bn

1?1????35?2??1?11??1 ??L??????2?n?1n??2n?3?2???5?27?2???2n?1?2?13?1?2n?3?2n．

故数列?bn?的前n项和Sn?

13?1?2n?3?2n．………………………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．…………………………………………………………………1分

yb22设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，

因为双曲线的离心率为5，所以1?b12?5，即b?2．

所以双曲线C的方程为x?2y24……………………………………………………………………3分 ?1．

（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），

则直线AP的方程为y?k(x?1)，………………………………………………………………………4分 ?y?k?x?1?,?2联立方程组?………………………………………………………………………………5分 y2?1.?x??4整理，得?4?k2?x2?2k2x?k2?4?0，

4?k4?k2222解得x??1或x?．所以x2?4?k4?k22．…………………………………………………………6分

同理可得，x1?4?k4?k．…………………………………………………………………………………7分

所以x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分

数学（理科）参考答案及评分标准 第8页（共12页）

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则kAP?y1x1?1，kAT?y2x2?1y1?．…………………………………………………………………………4分

因为kAP?kAT，所以

y2x2?1x1?1，即

y122?x1?1??y222?x2?1?y142．……………………………………5分

因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x1?2?1，x2?2y242?1．

即y12?4?x12?1?，y22?4?1?x22?．…………………………………………………………………6分 所以

4?x1?1?2?x1?1?2?4?1?x222??x2?1?，即

x1?1x1?1?1?x2x2?1．……………………………………………………7分

所以x1?x2?1．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1x1?1(x?1)，………………………………………4分

y1?y??x?1?,?x?1?1联立方程组?…………………………………………………………………………5分

2?2yx??1.??422?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 整理，得?4(x?1)?y11??解得x??1或x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y12222．…………………………………………………………………6分

将y1?4x1?4代入x?224(x1?1)?y14(x1?1)?y12222，得x?1x1，即x2?1x1．

所以x1?x2?1．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），

????????则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．

????????222因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x1?y1?16．…………………………9分

2因为点P在双曲线上，则x1?y142?1，所以x1?4x1?4?16，即x1?4．

222因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．…………………………………………10分

数学（理科）参考答案及评分标准 第9页（共12页）

因为S1?12|AB||y2|?|y2|，S2?14212|OB||y1|?212|y1|，

22所以S12?S22?y22?y1??4?4x2???x21?1??5?x1?4x2．……………………………11分

由（2）知，x1?x2?1，即x2?设t?x12，则1?t?4，

S1?S2?5?t?4t221x1．

4t．

4t2设f?t??5?t?，则f??t???1???2?t??2?t?t2，

当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0， 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，

22所以当t?4，即x1?2时，?S1?S2?min?f?4??0．……………………………………………12分

当t?2，即x1?2时，?S1?S222?max?f?2??1．………………………………………………13分

22所以S1?S2的取值范围为?0,1?．……………………………………………………………………14分

说明：由S12?S22?5??x12?4x22??5?4x1x2?1，得?S1?S222?max?1，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

x（1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?e?x?1，

所以?1?(x)?e?1．………………………………………………………………………………………1分

x当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0．

即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分 因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0． 即f(x)?g1(x)≥0，

所以f(x)≥g1(x)．………………………………………………………………………………………3分

数学（理科）参考答案及评分标准 第10页（共12页）

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9．

433D B C A B D C A 10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62 15．2

3???2?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f????????tan????34?9???……………………………………………………………………………1分 ???tan?tan34…………………………………………………………………………3分 ???1?tantan34?3?11?3??2?3．………………………………………………………………………4分

（2）解：因为f????3???3?????tan????………………………………………………………………5分 ??4?44???tan?????……………………………………………………………………6分

?tan??2．……………………………………………………………………7分

所以

sin?cos?2?2，即sin??2cos?． ①

2因为sin??cos??1， ②

数学（理科）参考答案及评分标准 第1页（共12页）

由①、②解得cos2????15．………………………………………………………………………………9分

因为????,??5253??，所以，．…………………………………………10分 cos???sin????552????? ………………………………………………………11分 ?cos?cos?sin?sin?444?所以cos????25???????525?52?2310．……………………………………12分 ?????210?

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得?(87?89?96?96)?4114?(87?90?a?93?95)，……………………………1分

解得a?3.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分

2所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?1??87?92?2??93?92?2??93?92?2??95?92?2??9.

?4?……………………………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．……………6分

这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表： X 乙 甲 87 0 6 6 8 21631689 2 4 4 6 96 9 3 3 1 11611696 9 3 3 1 41621687 93 93 95 116216所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得P(X?0)?P(X?4)?，P(X?1)?，P(X?6)?，P(X?2)?，P(X?8)?，P(X?3)?，P(X?9)?， .

所以随机变量X的分布列为：

X P 0 1161 2164162 1163 4164 2163166 3161168 1169 216216 ……………………10分

随机变量X的数学期望为 EX?0??6816116??1?174216?2?116?3??4?216?6??8??9?…………………………11分

.…………………………………………………………………………………………12分

数学（理科）参考答案及评分标准 第2页（共12页）

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

PD?AC，（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，

所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE22??6?2?2?P22．………………3分

因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?所以PC?3，CD?3， PD?CD22??3??2?2?3?23．………4分

2连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?所以BD?BE?DE2222，DE?1， AEDB

?1?2C?3．…………5分

因为PD?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD． 在Rt△PBD中，因为PD?所以PB?PD?BD22

3，BD?223， ?6．…………………………………………………6分

??3???3?6，PB?在?PBC中，因为BC?所以BC2?PB2?PC2．

6，PC?23，

所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

PD?AC，证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面PAC， 所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE22???62?2?22．………………3分

o连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90，BE?2，DE?1，

所以BD?BE?DE22??2?2?1?23．………………………………………………………4分

在△BCD中，因为CD?3，BC?6，BD?3，

222所以BC?BD?CD，所以BC?BD．……………………………………………………………5分

因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC?PD．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD． 因为PB?平面PBD，所以BC?PB．

所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

数学（理科）参考答案及评分标准 第3页（共12页）

（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，

则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………………………………8分

由（1）知，△ABC的面积S?ABC?1312?AC?BE?22．…………………………………………9分

因为PD?3，所以VP?ABC??S?ABC?PD?13?22?3?263．…………………………10分

由（1）知?PBC为直角三角形，BC?所以△PBC的面积S?PBC?126，PB?12?6?6，

6?3．……………………………………11分

?BC?PB?因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC，

1263263即?3?AH?3，所以AH?．……………………………………………………………12分

在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD223，AD?1，

??3?32?2?1?2．………………………………………………………13分

226因为sin?APH?AHAP?63．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分

解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M，

则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分

P由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P，

M

所以BC?平面PBD． 因为BC?平面PBC，

所以平面PBC?平面PBD．

过点D作DN?PB于点N，连接MN， 则DN?平面PBC．

所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分 在Rt△PAD中，因为PD?所以AP?PD?AD22ADN BC

3，AD?1，

???3?CDCA2?1?2．………………………………………………………11分

2因为DM∥AP，所以由（1）知BD?DMAP，即

DM2?34，所以DM?32．………………………………12分

3，PB?3?66，且PD?3623，

所以DN?PD?BDPB??．……………………………………………………………13分

数学（理科）参考答案及评分标准 第4页（共12页）

6因为sin?DMN?DNDE?2?6， 33263所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…………………………………………………14分

解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，……………………………………8分 在△PCG中，PB?BG?BC?6，

P所以?CPG?90o，即CP?PG．

K 在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4，

AEDBC所以PA2?PC2?AC2， 所以CP?PA． 因为PAIPG?P， 过点A作AK?PG于点K， 因为AK?平面PAG， 所以CP?AK． 因为PGICP?P，

G

所以CP?平面PAG．…………………………………………………………………………………9分

所以AK?平面PCG．

所以?APK为直线AP与平面PBC所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC?PB， 所以PG?PC?23．

在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，

所以AG?2BE?22．………………………………………………………………………………12分 在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23，

222所以PA?AG?PG，即PA?AG．……………………………………………………………13分

因为sin?APK?AGPG?2223?63．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

63．…………………………………………………14分

解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，…………………………………………………………………………………………………8分

数学（理科）参考答案及评分标准 第5页（共12页）

（2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．………………………………………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)．

②假设当n?k（k?N*）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，…………………………………5分 令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，

??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．…………………………………………………………6分 即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0． 从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0． 即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．

这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)．

由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．

由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)． 令x?1，得gn?1??f?1?=e．

所以gn?1??e．……………………………………………………………………………………………9分

111?2??2??2??2??1?1?????再证对任意正整数n，1?????????????． ?g1??n?2!3!n!?2??3??4??n?1?123n1??要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ??n!?n?1??n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!???（*）成立．……………………………………10分

2??n2n以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．

2??数学（理科）参考答案及评分标准 第11页（共12页）

1②假设当n?k（k?N*）时，不等式（*）成立，

?k?1?即k!???．………………………………………………………………………………………11分

2??k?k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2??k?2????2??k?1????2?k?1kk?1．

因为

k?1?k?2?????k?1?k?11????1??k?1??k?1?C0k?1?C1k?11k?1???Ck?1k?1?1????k?1?k?1?2，…12分

?k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．……………………………………………………………13分

这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．

?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．

234n?1????????123n……………………………………14分

方法2（基本不等式法）： 因为n?1?n?122，……………………………………………………………………………………11分 ，

?n?1??2?n?12n?1……，

1?n?，

n?n?1?将以上n个不等式相乘，得n!???．……………………………………………………………13分

2??所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．

?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．

?2??3??4??n?1?123n……………………………………14分

数学（理科）参考答案及评分标准 第12页（共12页）

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