《线性代数》第3章习题解答(rr)

《线性代数》第三章习题解答

1．已知向量：?1?[5,?1,3,2,4]T,3?1?4?2?[3,?7,17,?2,8]T, 求2?1?3?2 解:

1{[3,?7,17,?2,8]T?[15,?3,9,6,12]T} 41TT ??[?12,?4,8,?8,?4]?[3,1,?2,2,1]

4∵ ?2??∴ 2?1?3?2?[10,?2,6,4,8]?[9,3,?6,6,3]

TT?[19,1,0,10,11]T

2.设 ?1?[2,5,1,3]T,?2?[10,1,5,10]T,

?3?[4,1,?1,1]T,并且3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)?0 求 ?

解:

∵ 6??3?1?2?2?5?3

?[6,15,3,9]T?[20,2,10,20]T?[20,5,?5,5]TT?[6,12,18,24], ∴ ??[1,2,3,4]T.

3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 k1?k2???km?0时， k1?1?k2?2???km?m?0成立， 则向量组?1,?2,??m线性相关

解：不正确.如：?1??1,2?,?2??3,4?，虽然 0?1?0?2?0,但?1,?2线性无关。 (2) 如果存在m个不全为零的数k1,k2,?,km,使

TTk1?1?k2?2???km?m?0,则向量组?1,?2,?,?m线性无关。

解： 不正确. 如?1??1,2?,?1??2,4?,存在k1?1,k2?2,使

TT?1?2?2?0,但显然?1,?2线性相关.

(3) 如果向量组?1,?2,?,?m线性无关,则其中任何一个向量都

不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组?1,?2,?3线性相关，则?3一定可由?1,?2线性表示。

解：不正确。例如：?1??0,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?,向量组?1,?2,?3线性相关，但?3不能由?1,?2线性表示。

(5) 如果向量?可由向量?1,?2,?3线性表示，即：

TTT?1,?2,?,?m线

??k1?1?k2?2?k3?3,则表示系数

Tk1,k2,k3不全为零。

解：不正确。例如：???0,0,0?,?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,

TT?3??0,0,1?,??0?1?0?2?0?3，表示系数全为0。

(6) 若向量?1,?2线性相关，?1,?2线性无关，则?1,?2,?1,?2线性相关.

-1-

T《线性代数》第三章习题解答

解：正确。因?1,?2线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,使

k1?1?k2?2?0,从而k1?1?k2?2?0?1?0?2?0.因k1,k2,0,0不全为零，所以?1,?2,?1,?2线

性相关。

4.判断向量?能否由向量组?1,?2,?3,?4线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) ???1,1,2,2?,?1??1,1,0,0?,?2??2,2,0,0?,?3??0,0,1,1?，?4??0,0,?1,?1? 解：显然 (2)

TTTTT???1?2?3??1??3??4

TTTTT???1,?2,5?,?1??1,1,1?,?2??1,2,3?,?3??2,?1,1?，?4??0,0,0?. 解： 设???1?1??2?2??3?3,得到方程组

?x1?x2?2x3?1? ?x2?2x2?x3?5

?x?3x?x?523?3对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到：

?1121??1121??1054?r?rr?r21?12?A??12?1?2?01?3?3?01?3?3?

??r3?r1??r3?2r2????????????????????1315???02?14???00510??

?1054??100?6?r?5r3??01?3?3?2? 01031??r2?3r3??35r??????????????0012???0012??

故 x1??6,x2?3,x3?2?,???6?3?1?2(3)

TTTT .?2??0?34T???1,2,3,4?,?1??1,1,2,2?,?2??1,0,0,0?,

?3???1,?2,?2,?2?,?4??2,0,0,0?.

解: 设???1?1??2?2??3?3??4?4，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：

1000?1?2?2?220001??0r?r12?12??r3?2r2?3??0?r4?2r?2?4?????????0110?202022?1??0?102??r4?r3????001????????00??0110?202002?1?02???B 01??0?1??1?1A???2??2因阶梯形矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 ??不能由?1,?2,?3,?4线性表示. (4)

???5,?2,?2,0?,?1??1,1,2,3?,?2??1,2,?3,1?,

TTTTT?3??1,?1,?1,2?,?4??1,4,?5,11?.

解： 设???1?1??2?2??3?3??4?4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到：

?11115??1?12?14?2??0???A???2?3?1?5?2??0????312110??0

0100001001?02?? 03??1?1?-2-

《线性代数》第三章习题解答

?x1?1,x2?2,x3?3,x4??1,???1?2?2?3?3??4

5. 证明： 如果n维单位坐标向量组?1,?2,?,?n可由n维向量组?1,?2,?,?n线性表示，则向量组?1,?2,?,?n线性相关。

证：?向量组?1,?2,?,?n也可由?1,?2,?,?n线性表示,

?向量组?1,?2,?,?n 与向量组?1,?2,?,?n等价，所以向量组?1,?2,?,?n的秩为n，所以线

性无关。

6. 若向量组?1,?2,?3线性无关，证明：向量组?1,?1??2,?1??2??3 也线性无关。 证： 设有常数 k1,k2,k3,使

k1?1?k(?k(?2??1?)23??1??2)?03即(k1?k2?k)3??1(k?2k)?3?k2??303??1,?2,?线性无关，?k?31k?2k?30,

k2?k3?0,k3?0,?系数行列式111 ??011?1?0,?上方程组只有零解.001

k1?k2?k3?0,从而向量组?1,?1??2,?1??2??3线性无关.

7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1)

?1??1,?2,4,8?,?2??1,3,9,27?,

TTTT?3??1,4,16,64?,?4??1,?1,1,?1?.

解：以?1,?2,?3,?4为列向量作矩阵A???1,?2,?3,?4?,作初等行变换得到：

?1111??1111??056??234?1?r2?r1??1450?r1?r2??145?r3?r1??r3?3r2?A???49161??38150??02030r?rr?7r???????????????41?42?????82764?1???728650??0030显然R(A)?4,?向量?1,?2,?3,?4线性无关.

(2)

1?0?? 0??0??1???2,1,0,3?,?2??1,?3,2,4?,

TTTT?3??3,0,2,?1?,?4??2,?2,4,6?. 解：令 A???1,?2,?3,?,A作初等行变换，得到： ?4对

??2132??0?53?2??0?1?30?2?r?2r?1?30?2?r?2r?142?1??3?A??224?r?0224?r4?3r2?01?3r3?????????????????0??????34?16??013?112??0340?3028013?134??2?? 28??12? -3-

《线性代数》第三章习题解答

?01?1?3 ???0?13??0001??00?2?r2?3r1?1??1?12?r3?13r1?0???????????00??0100000101?1???B 1??0?

故 R(A)=R(B)=3. ??1,?2,?3,?线性相关。 4且由B可知，?4??1??2??3. (3)

?1??3,?1,2?,?2??1,5,?7?,?3??7,?13,20?.

TTTT解： 令A???1,?2,?3?,解方程组AX=0，其中X=??1,?2,?3?,对系数矩阵A作初等行变换得到：

7??31?016?32?1?01?2?32rr1?3r2?1A???15?13??15?13?16r1?1?513?

??r3?2r2??????????????1?r??2?720???03?6????01?2??2????????01?2?r2?5r1?103??B

??r3?r1?????????000???由B得同解方程组?1??3?3,取?3?1,得X???3,2,1?,?2?2?3

T??3?1??2??3?0,?3?3?1?2?2, ??1,?2,?3,?4线性相关。

?1??1,2,1,1?,?2??1,1,2,?1?,?3??3,4,5,1?.

解：令A???1,?2,?3?,对A 作初等行变换得到：

(4)

TTT3?3??11?113?r?2r21?4?0?1?2?r3?r2?0?1?2??r3?r1?????B 5?00??012?r4?2r2?0?????????r4?r1?????0?2?2?1??????????002? ∴R(A)=R(B)=3 , ??1,?2,?3线性无关。

8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (1)

?11?21A???12??1?1?1??4,?1,?5,?6?,?2??1,?3,?4,?7?,?3??1,2,1,3?,

TTTT?4??2,1,?1,0?

解： 令A???1,?2,?3,?4?,对

?41??1?3A????5?4???6?7(2)

A作初等行变换，得到：

12??67?30??67?321?r1?2r2??1?321???1?32?????1?1?r3?r2??????????6?730??000????30??6?730??000∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为2, ?1,?2是一个极大无关组。

0?1???B 0??0??1??1,0,0,0?,?2??3,0,0,0?,?3??0,1,0,0?,

-4-

TTT《线性代数》第三章习题解答

?4??0,0,1,?1 . 解：??1,?2 线性相关，??1,?2,?3,?4线性相关。而?1,?3,?4线性无关。∴向量组的秩

T是3。??1,?3,?4是一个极大无关组。

(3) ?TTTT1??1,0,1?,?2??2,1,0?,?3??0,1,1?,?4??1,1,1? 解：令A???1,?2,?3,?4?,对A作初等行变换，得到：

?1201 A????0111??1201??r?????3?r?1?0111??B

??0??1011????0?21??显然R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是3,并且?1,?2,?3 是向量组的一个极大无关组。

(3) ?TT1??1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6?T,

?T4??4,5,6?,7 . 解： 令A???1,?2,?3,?4?,对

A作初等行变换，得?1234???1234??123A??2345?r2?2r4?1?0?1?2?3??0123???3456??r3?3r1??0?2?4?6??????B ?4567??r?0000???????4?4r??1??0?3?6?9????0000??显然R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是2 , 并且?1,?2 是一个极大无关组。 9. 设向量组?1,?2,?3 线性无关，????11??2?2??3?3，证明： (1) 当?3?0时，?1,?2,?线性相关； (2) 当?3?0时，?1,?2,?线性无关 证明： (1)当?3?0时，????11??2?2，??1,?2,?线性相关。

(3) 当?3?0时，设有常数x1,x2,x3，使

x1?1?x2?2?x3??0,

即(x1??1x3)?1?(x2??2x3)?2??3x3?3?0. ??,1?2,?3 线性无关，?

?x1?? ?1x3?0,?x?2??2x3?0,

?x3?3?0.??3?0,?x3?0,进而x1?x2?0,??1,?2,?线性无关.

设?1??1??2,

?2??1??,2证明：向量组?,1??,2线性相关.3?

3?2?1??,2证： (i) 若?1,?2线性无关，设有常数x1,x2,x3, 使x1?1?x2?2?x3?3?0,即

(x1?x2?2x3)?1?(x1?x2?x3)?2?0,

因??x1?x2?2x3?01,?2线性无关，???x1?x 因方程组一定有非零

2?x3?0 解，??1,?2,?3线性相关。

-5-

到：

10.

《线性代数》第三章习题解答

(ii) 若?1,?2线性相关，不妨设?2?k?1，于是：

??1?(1?k)?1,? ??2?(1?k)?1, 由此可知，?1,?2,?3线性相关。

???(2?k)?,1?3??1??1,0,?,0,a1?T,???2??0,1,?,0,a2?T,?11．n个n+1维向量 ???, 是否线性相关？ ??T??0,0,?,1,a,??n?n 解：∵n维单位坐标向量组?1,?2,?,?n线性无关，而无关组增添分量 仍无关，∴向量组?1,?2,?,?n线性无关。

12. 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 件是：任一n维向量都可由它们线性表示。

证：必要性：若向量组?1,?2,?,?n线性无关，则对任一n维向量?， 向量组

?1,?2,?,?n,?线性相关，故?一定可由 ?1,?2,?,?n

线性表示。

充分性：若任一n维向量均可由向量组?1,?2,?,?n线性表示，则n维单位坐标向量组

?1,?2,?,?n可由?1,?2,?,?n线性表示，又?1,?2,?,?n可由?1,?2,?,?n线性表示，∴向量组?1,?2,?,?n与向量组?1,?2,?,?n等价，∴向量组?1,?2,?,?n的秩是n，∴?1,?2,?,?n线性

无关。

13. 试证：若向量组?1,?2,?,?r与向量组?1,?2,?,?r,?有相同的秩， 则?可由?1,?2,?,?r线性表示。

证： 设向量组?1,?2,?,?r的秩为r，不失一般性，设?1,?2,?,?r1(r1?r)为向量组?1,?2,?,?r的极大无关组，则?1,?2,?,?r1与?1,?2,?,?r等价，依题设向量组?1,?2,?,?r,?的秩也为r1,故?1,?2,?,?r1也是?1,?2,?,?r,?的极大无关组，??可由?1,?2,?,?r1线性表示，进而，可由?1,?2,?,?r线性表示。

14. 设t1,t2,?,tr是互不相同的r个非零实数，r?n，证明： (1) 向量组

?1???,t??t1,t,? ,T21nT12n?,?2??t,t,?,t222?? 线性无关. ?????r???tr,tr,?,tr?,(2) 任一r维向量都可由?1,?2,?,?r线性表示.

证： 令A???1,?2,?,?r?,则A的前r行元素组成的r阶子式

2nT -6-

《线性代数》第三章习题解答

t12t22?tr2t1t2?tr ?t1t2?tr?????t1r1t11t2?t2r?1???1tr?r?1 t2r?trirt1jr?1?tr2 ?t1t2?tr1?j?i?r?(t?t)?0 故R(A)=r,?,?,?,?线性无关.

1r (2) 对任一r维向量?，向量组?1,?2,?,?r,?线性相关.而?1,?2,?,?r线性无关，??可由

?1,?2,?,?r线性表示.

15. 设A为n阶方阵，?1,?2,?,?r为n维列向量， (1) 证明： 若?1,?2,?,?r线性相关，则A?1,A?2,?,A?r也线性相关； (2) 问：若?1,?2,?,?r线性无关，A?1,A?2,?,A?r是否也线性无关，为什么 ？。

(1) 证明：若?1,?2,?,?r线性相关，即存在不全为零的常数k1,k2,?,kr，使

k1?1?k?2?2??kr?r?0.从而有：

A?k1?1?k2?2???kr?r??k1A?1?k2A?2???krA?r?0.?k1,k2,?,kr不全为零，?A?1,A?2,?,A?r线性相关。

(2)A?1,A?2,?,A?r不一定线性无关。如当A=E，则A?1,A?2,?,A?r线性无关，若A=0，则A?1,A?2,?,A?r线性相关。

16. 试证： 设A是n阶方阵(n?2)，则

?n,R(A)?n,??)n? 1, R(A)??1,R(A??0,R(A?)n?1.?? 证： (i) 若R(A)=n，则A?0，由AA?AE ，得到 AA?A，

?n A?A?n?1?0，?R(A?)?n.

(ii) 如果R(A)=n-1，则A的列向量组?1,?2,?,?n线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设：

A的第2列至第n列元素的代数余子式全为?1?k2?2?k3?3???kn?n.据行列式的性质可知，

0，R(A) =n-1，∴A的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到 A的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，?R(A)?1.

?(iii) 若 R(A)

??

?(17) 设有线性方程组：

a1x1?b1x2?c1x?,d13a2x1?b2x2?c2x?3,d2 若

a1a2b1b2?0，问：

(1) 系数矩阵A秩是多少？ (2) 增广矩阵A的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？

(4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？

解： (1) R(A)=2. (2) R(A)?2. (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空

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《线性代数》第三章习题解答

(1) 设A是n阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组AATX?0 . (c)

a . 只有零解 b .有n个解 c .有无穷多解 d .无解

(0)

(2) 设A,B均为n阶方阵，且AB?1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之和为

2??2?a?X?0有非零解，则a?(1或3) (3) 设a为实数，如果齐次线性方程组?1??22?a??(4) 设A为n阶方阵，如果方程组AX=b有唯一解，则A一定(b，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a，b都有可能 d .满秩 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解.

(1) x1?5x2?x3?x4?0,

x1?2x2?x3?3x4?0,3x1?8x2?x3?x4?0, x1?9x2?3x3?7x4?0, 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到

?15?1?1?1??? A??1?213?r2?r?15?11 4????r0?723?3r1??38?11?4?? ?1?937??r?0?72??????4?r1????0?1448??r?15?1?1??13201?3?r2? r0?712??20?712?4?2r2??0000?r?r212?00?? 故 ???????1????????2r2???0000???00?0000?? 同解方程组： x1??32x2?x 4 x3?72x2?2x4

??32???1 依次取?x???1?0??2??x???14????0??0??,??1??, 得基础解系 ?1???7?,?2???2???2???0????1??X?k1?1?k2?2，其中k1,k2为任意实数. (2) x1?x2?2x3?x4?0,

2x1?x2?x3?2x?40, x1?x3?x4?0,

3x1?x2?3x4?0,解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到

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.方程组的通解：

《线性代数》第三章习题解答

?1?121??1?12r?2r1??2?112?201?3?r3?r1? A???10?11??01?3??r4?3r1?????????3?103???02?6∴ 同解方程组x1?x3?x4，

1??1r?r12?0?0?r3?r2?0??0?r4?r2???0???????0?x3?0?11?300001?0?? 0??0? x2?3x3 . 依次取自由未知量的值?????,??得方程组的基础解系：

?x4??0??1??1??0?

?1???1??3??0??1???,?2??? ，方程组的通解为：

?1??0??????0??1?X?k1?1?k2?2 ，其中k1,k2为任意实数. (3)x1?2x2?2x3?2x4?x5?0, x1?2x2?x3?3x4?2x5?0,2x1?4x2?7x3?x4?x5?0.2?1??12?22?1?r?r21?3?2?0011?1?

?r3?2r1??????????11????00?3?33???3??1??0??

解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到：

?12?2A??12?1???24?7?1204r1?2r2?0011?r3?3r2??????????0000 故同解方程组：x1??2x2?4x4?3x5,

x2?

x2,?x4?x5,x4,

x3?x4?x5?x5取 x2?k1,x4?k2,x5?k3,得到方程组的通解：

?x1???2???4??3??x??1??0??0?2?????????x3??k1?0??k2??1??k3?1? 其中，k1,k2,k3 为任意实数。 ????????x014???????0??????0???0???1???x5????2???4??3??1??0??0???????基础解系?1??0?,?2???1?,?3??1?.

??????01?????0?????0???0???1??

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《线性代数》第三章习题解答

(4)x1?2x2?x3?3x4?6x5?0,

2x1?4x2?2x3?x4?5x5?0,2x1?4x2?2x3?4x4?2x5?0,

解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到：

?12?13?6??12?13?6???r2?2r1?000?717?

A?24?2?15??r3?2r1?????????????24?24?2???000?210???12?13?6??12?109?r?7r3??000?717?2? 1r0000?18 ?32????????r1?3r3?????????????0001?5???0001?5???12?109?1?18r2?0001?5?

??r2?r3??????????00001??∴同解方程组 x1??2x2?x3?9x5

x2?x2,

x3?x4?x3,5x5,

x5?0取 x2?k1,x3?k2，得到方程组的通解：

?x1???2??1??x??1??0?2???????x3??k1?0??k2?1? ，基础解系： ??????x04?????0?????0???0???x5????2??1??1??0????? ?1??0?,?2??1?.

????0???0????0???0???a11a12???20. 设 A?a21a22，证明：A的行向量组一定线性相关。

???a??31a32?21. 设A是n?m矩阵，B是m?n矩阵，其中n?m。若AB=E，证明：B的列向量组线性无关。

22. 设A是n矩阵，且A?0，证明： A中必有一列向量是其余列向量的线性组合。 23. 设向量组?1,?2,?,?r线性无关，?i?线性无关的充分必要条件是:

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r?a?ijj?1j(i?1,2,?,j)，证明：向量组?1,?2,?,?r

《线性代数》第三章习题解答

a11 a12?a1ra22?a2r?0 ???ar2?arra21?ar124. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 (1) x1?2x2?x3?x4?4,

3x1?6x2?x3?3x4?8,5x1?10x2?x3?5x4?16,?1?3?54??121?14?r?3r21?8?00?40?4? ?r3?5r1??????????16????00?40?4???13?01? ，所以原方程组的同解方程组为（取x2,x4为自由未知量）

?00??

解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到

?121A??36?1???5101r3?r2?12?0 r1?1204r?1??002??4r??????? x1??2x2010x2? x3?x2?x4?3 ,,1,

x4?x4,取 x2?k1,x4?k2，得到方程组的通解： ?x1???2??1??3??x??1??0??0?2???k1???k2?????,其中k1,k2为任意实数. ?x3??0??0??1??????????0??1??0??x4?(2) x1?x3?x4??3, 2x1?x2?4x3?3x4??4, 3x1?x2?x3?1 ,7x1?7x3?3x4?3. 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到

?10?2?1 A???31??70?1r3?r2?0?r2??01r44????????0?14170100?1?30?31?200?3??10r2?2r1??4?0?1?r3?3r1?1??01r?2r?41???3????????00?1?3?r1?r4?11?2?r2?r4?0??212?r3?2r4?0??16?r?r34?0????????1?12?1?23040101?20001000?3?2?? 10??24?3??8?? . 6??0?取 x3为自由未知量，得原方程组的同解方程组：

-11-

《线性代数》第三章习题解答

x1??x3?3,

x2?2x3?8,x3?x3,

x4?6. 取 x3?k，得到方程组的通解：

?x1???1??3???x2??2???8???x??k?????,其中k为任意实数. 3??x???1??0?4??0????6??(3) x1?5x2?4x3?13x4?3,

3x1?x2?2x3?5x4?2

,2x1?2x2?3x3?4x4?1. 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

?154?133 A???4?3?1252?r?152?3r1?0?16???223?41??r?10??????3?2r??1???0?8?5r?2r?154?133?23?r0?8?522?5? ???????2?r?3??00?. ?003?? ∵R(A)?2?3?R(A) ∴原方程组无解。 (4) x?2y?3z?2w?2,

2x?5y?8z?6w?5

,3x?4y?5z?2w?4.解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

?12?322? A???25?865?r?12?322?2r1??34?524????r01?22??????3?3r?1????0?24?4r?2r?101?20?32?r?221? .

???????3?2r?2?01??00000???∴原方程组的同解方程组：

x1??x3?2x4,

x2?2x3?2x4?1,x3?x3,

x4?x4. 取 x3?k1,x4?k2，得到方程组的通解：

-12-

?133?44?7?22?5???2?1?

?2??? 《线性代数》第三章习题解答

?x1???1??2??0??x??2???2??1?2???k1???k2?????， 其中k1,k2为任意实数. ?x3??1??0??0??????????0??1??0??x4?25. 证明：线性方程组AX?b有唯一解的充分必要条件是其导出AX?0只有零解。 证： 必要性： 若方程组AX?b有唯一解，则R(A)?R(A)?n（未知量个数），∴ 导出组

AX?0只有零解。

充分性： 如果导出组AX?0只有零解，则R(A)?n（未知量个数），从而

n?R(A)?R(A)?n，即R(A)?R(A)?n。∴方程组AX?b有唯一解。

26. ?取何值时，下列非其次线性方程组 （i）有唯一解；（ii）无解；（iii）有无穷多解；当有

无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。

（1）?x1?x2?x3?1, （2） 2x1?x2?x3?x4?1

,x1??x2?x3??,x1?x2??x3??.2

x1?2x2?x3?4x4?2,x1?7x2?4x3?11x4??.

解：计算系数行列式

?11111111??1?1?(??2)1?1?(??2)1??11

11?11?11??1 ?(??2)?(?1 )（i） 当???2,??1时，方程组有唯一解（克莱姆法则）. （ii）当???2时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到：

11???21?0?33?3???r1?2r2?1?21?2?

A?1?21?2??r3?r2??????????1?24????1??03?36???0?33?3??1?21?2? ?r r31??????????0003??∵R(A)?2?R(A)?3 ∴方程组无解。

（iii）当??1时，对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

?1111??1111?r?r21?A??1111?0000?

??r3?r1???????????1111???0000??∴原方程组的同解方程组：

2x1??x2?x3?1, x2?x2,

x3?x3. 取 x2?k1,x3?k2，得到方程组的通解：

-13-

《线性代数》第三章习题解答

?x1???1???1??1??x??k?1??k?0???0?, 其中k,k为任意实数.

12?2?1??2????????x3???0???1????0??（2）对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

?2?1111??0?53?7?3?r?2r2???112?142? A?12?142??r3?r2?????????????17?411????05?37??2???0?53?7?3??12?14? . r?r231??????????0000??5??（i）??5 ∵R(A)?2?3?R(A)， ∴方程组无解。 （iii）当??5时，

?01?10r?2r21???????????00?0A??1???0?614?555?000??373?53?7?3??01?555??12?142? 12?142??r1?5???????0000????00000??3?57535∴原方程组的同解方程组：

64x1??1,5x3?5x4?5

x2?x3?353x3?7,5x4?5x3,

x4?x4. 令 x3?5k1,x4?5k2，得到方程组的通解：

?x1???1???6??45??x??3???7??3?2???k1???k2????5?,其中k1,k2为任意实数. ?x3??5??0??0?????????x0???5??0??4?27. 证明： 方程组 x1?x2?a1,

x2?x3?a2,

x3?x4?a3,x4?x5?a4,

x5?x6?a5.有解的充分必要条件是：a1?a2?a3?a4?a5?0.

证明：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

-14-

《线性代数》第三章习题解答

?1?1000a1??1?10?01?100a??01?12???A??001?10a3?r015?r1?0?????????0001?1a4???000????10001a5???0?10a1?a2??10?100?01?100?a2?r1?r2?a3?001?10?

r?r?52????????0001?1a4????00?101a5?a1?a2??a1?a2?a3??100?10?r1?r3?010?10a2?a3??a3 r2?r3?001?10?

??0001?1ar?r453???????????000?11a5?a1?a2?a3??a1?00a2???10a3?

?1?1a4?01a5?a1??00a1?a2?a3?a4??1000?1r1?r4??0100?1a2?a3?a4?r2?r4?a3?a4 ?0010?1? .

r3?r4??0001?1a4??r?r54????????00000a?a?a?a?a?51234??显然当且仅当a1?a2?a3?a4?a5?0时，R(A)?R(A)?4，即方程组有解。

28．讨论： 当参数a,b取何值时，下列方程组有解；无解；当有解时，用导出组的基础解系表

示其通解。

x1?x2?2x3?3x4?0 ,2x1?x2?6x3?4x4??1, 3x1?2x2?ax3?7x?4?1 ,x1?x2?6x3?x4?b,解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到：

?1?2 A???3??1?1?0???0??01?230??230??11r?2r21?1?64?1?0?1?2?2?1??r3?3r1??

2a7?1??0?1a?6?2?1??r4?r???0?2?4?4b??1?6?1b???????1??0?41?1?1221???B .

0a?800??000b?2?显然（i）当b??2时，R(A)?R(A)，方程组无解； (ii）当 b??2 时，方程组有解，

-15-

《线性代数》第三章习题解答

? 1 当a??8时，原方程组的同解方程组：

x1?

4x3?x4?1x3,,

x2?x3??2x3?2x4?1,x4?x4. 令 x3?k1,x4?k2，得到方程组的通解：

?x1??4???1???1??x???2???2??1?2???k1???k2?????,其中k1,k2为任意实数. ?x3??1??0??0??????????0??1??0??x4?? 2当a??8时，

?1?01?A?B????3a?8r???0??00?4120100,,

1?1??121?r1?4r3?0??00?r2?2r3?0??????????00??0010000101?1?21??， 00??00? ∴原方程组的同解方程组：

x1??x4?1

x2??2x4?1,x3?0x4?x4. 令 x4?k，得到方程组的通解： ?x1???1???1??x???2??1?2???k?????，其中k为任意实数. ?x3??0??0????????1??0??x4?29．设A为n阶方阵，试证：存在非零方阵B，使AB?0的充分必要条件是A?0。 证：将n阶方阵B按列分块成B???1?2??n?，则AB?0，即

?A?1A?2?A?n???00?0?，于是，存在非零方阵B，使AB?0?方程组AX?0有非零解。?A?0。

TTT30. ?取何值时，向量组：

?1???1,0,1?,?2???4,?,3?,?3??1,?3,??1?.

（1）线性相关 ， （2）线性无关 .

解：以?1,?2,?3为

列

向

量

，

构

造

矩

阵

A???1?2?3?，

?1?4A?011?1?4?3?3?0??103 )??3?3????(?2?2??3)?1??2?1??2?1??(??1)?(? -16-

《线性代数》第三章习题解答

当??1,???3时，A?0,R(A)?3，??1,?2,?3线性无关。 当??1或???3时，A?0,R(A)?3，??1,?2,?3线性相关。 31. 设

?1,?2,?,?s是方程组AX?b的s个解，k1,k2,?,ks为s个实数，并且

k1?k2???ks?1,证明： X?k1?1?k?2?2??ks?s也是方程组AX?b的解. 证：AX?A?k1?1?k2?2???ks?s??k1A?1?k2A?2???ksA?s ?(k1?k2???ks)b?b. 得证.

32. 设??是非齐次线性方程组AX?b的1个解，?1,?2,?,?n?r是对应齐次线性方程组

AX?b的一个基础解系，证明：

??,?1,?2,?,?n?r线性无关，

（2） ??,????1,????2,?,????n?r线性无关. 证：（1）（反正）如果??,?1,?2,?,?n?r线性相关，因?1,?2,?,?n?r线性无关，???一定由?1,?2,?,?n?r线性表示，即有：???k1?1,k2?2,?,kn?r?n?r，从而 A???k1A?1?k2A?2???kn?rA?n?r?0，此与??是AX?b的解矛盾，故??,?1,?2,?,?n?r线性无关。

（2）设有常数?1,?2,?,?n?r，使

???? ?1? ??(???)??(????)??,?(????),即02132n?rnr?? (?1??2??3? ???n????n?r)???2?1??r?n?r0由（1）知??,?1,?2,?,?n?r线性无关，故 (?1??2??? 0??0?,,???3??n?r)?0,?2nr ??1??2??3????n?r?0，???,????1,????2,?,????n?r线性无关.

33. 设A?(aij)m?n,R(A)?r(?n),证明：其齐次线性方程组AX?0的任意n?r个线性无

（1）

关的解都是一个基础解系.

证明：因为Am?nX?0m?1中R?A??r?n；所以Am?nX?0m?1中有r个独立变量、n?r个自由变量

Am?nX?0m?1的基础解系中只有n?1个解向量 ?

? Am?nX?0m?1的无穷个解向量中只有个n?r线性无关，任意n?r?1个解

向量线性相关

在Am?nX?0m?1的无穷个解向量中任取解向量y1,?,yn?r线性无关，再任取一个解向量y

则， y1,?,yn?r，y线性相关

? 任意y可由线性无关的y1,?,yn?r线性表出 ? y1,?,yn?r为Am?nX?0m?1的一个基础解系。

34. 设有向量组

?1??1??,1,1?,?2??1,1??,1?,?3??1,1,1???,???0,?,?2?，当?取何值时，

TTTT （1）?能由?1,?2,?3线性表示， （2）?不能由?1,?2,?3线性表示。

解：以?1,?2,?3为列向量，构造矩阵A???1

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?2?3?，解方程组AX??，其中

《线性代数》第三章习题解答

X??x1,x2,x3?，计算系数行列式

1??11111?'?A?11??1?(??3)11??1

111??111??1111??2?(? 3) ?(??3)0?T00?（i） 当??0,???3时，AX??有唯一解，即?可由?1,?2,?3线性表示。 （ii） 当??0时，对方程组AX??的增广矩阵作初等行变换得到：

?1110??111r?r??21?000 A??A????1110??r3?r2?????????000??1110???R(A)?R(A)?1，∴方程组有无穷多解，即?（iii）???3时，

0?0? ?0??可由?1,?2,?3线性表示。

10???21?0?33?6??0?33?6?r?2r21??1?21?3?A??1?21?3?1?21?3?r?r31????r3?r2????????????????1?29?????1??03?312???0006???R(A)?2?R(A)?3，?方程组AX??无解。即?不能由?1,?2,?3线性表示。

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