【数学】2024年高考真题陕西卷(文)解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）(陕西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 21．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为（A）

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0]2.若tan??2,则

2sin??cos?的值为 (B) sin??2cos?35（A）0 (B) (C)1 (D)

44 3.函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为 (D) 121x?4(x?0) (B) f?1(x)?x2?4(x?2)221212?1?1（C）f(x)?x?2(x?0) (D)f(x)?x?2(x?2)22（A）f?1(x)? 4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆x2?y2?4y?0所截得的弦长为 (D)

（A）3 （B）2 （C）6 （D）23 5.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的

2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( B)（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36

aa1a2?2??2009的值为 (C) 2222009（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?26.若(1?2x)2009?a0?a1x??a2009x2009(x?R),则

227.” m?n?0”是”方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的 （C）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

uuuruuuruuuruuruuur8.在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP?2PM,则AP?(PB?PC)等于 （A）（A）

4444 （B） （C）? (D) ?93399．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的

1

四位数，其中奇数的个数为 (C)

(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108

10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有

f(x2)?f(x1)?0.则 (A)

x2?x1(A)f(3)?f(?2)?f(1) (B) f(1)?f(?2)?f(3) (C) f(?2)?f(1)?f(3) (D) f(3)?f(1)?f(?2)

11．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (B)

(A)2223 (B) (C) (D)

3633n?112．设曲线y?x（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1?x2Kxn(n?N*)在点

的值为 (B) (A)

11n (B) (C) (D) 1 nn?1n?1

2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修?选修Ⅰ）(陕西卷)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则数列的通项公式an?

2n . ?x?y?1?14．设x，y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?x?2y的最小值是

?2x?y?2? 1 ，最大值是 11

15．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO?2，A、B 1O1 A O B 是圆O1上两点，若?AO1B=

?2?，则A,B两点间的球面距离为 . 32 2

16．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，

已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组

的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 8 人 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???图象上一个最低点为M(?2）的周期为?，且

2?,?2). 3 (Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[0,解：（1）由最低点为M(由T??得??由点M(?12]，求f(x)的最值.

2?,?2)得A?2 32?2???2 T?2?4?4?,?2)在图像上得2sin(??)??2即sin(??)??1 3334??11?????2k??即??2k??，k?Z,

326又??(0,?2)，????6x2? ?f(x)?2sin(?6

)（Ⅱ）Qx?[0,?12],?2x???[,]

663???当2x+当2x+?6???6,即x?0时，f(x)取得最小值1；

?6?3,即x??12时，f(x)取得最大值3 18．（本小题满分12分）

椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

解答一（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”

?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?0.5?0.9

Ⅱ设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”

?P(Ai)?0.4,P(Bi)?0.5,P(Ci)?0.1(i?1,2)

3

Q两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(AC12?A2C1)

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)

?P(D)?P(AC12?A2C1)?P(B1B2)?P(AC12)?P(A2C1)?P(B1B2)

由事件的独立性的

p(D)?0.4?0.1?0.1?0.4?0.5?0.5?0.33

解答二（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉2次” 设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”

Qp(A)?0.1,?P(B)?1?P(A)?1?0.1?0.9

(Ⅱ)同解答一。

19．(本小题满分12分)

0如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，AC?AA1?3，∠ABC=60. (Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。 解

答

一

（

Ⅰ

）

证

B1 A1 C1 证Q三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，?AB?AA1,在?ABC中，AB?1,AC?3,?ABC?60由正弦定理得?ACB?3000A

B C ??BAC?900，即AB?AC?AB?平面ACC1A,又AC1?平面ACC1A，?AB?AC1（Ⅱ）

解，作AD?AC1交AC1于D点，连结BD,由三垂线定理知BD?AC1??ABD为二面角A?AC1?B的平面角在Rt?AAC1中，AD?A1AgAC3g36??AC2 61AB6?AD3在Rt?BAD中，tanABD???ADB?arctan63 4

cos?m,n??mgn3?1?1?0?1?015??

222222mgn（3）?1?1g1?0?05?二面角A-A1C-B的大小为arccos20．（本小题满分12分）

15 5已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0

???求f(x)的单调区间；

????若f(x)在x??1处取得极值，直线y=m与y?m的取值范围。

解：（1）f(x)?3x?3a?3(x?a), 当a?0时，对x?R，有f(x)?0,

''22f(x)的图象有三个不同的交点，求

?当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,??)

当a?0时，由f'(x)?0解得x??a或x?由f(x)?0解得?a?x?'a；

a，

?当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,?a),(a,??)；f(x)的单调减区间为(?a,a)。

（2）

f(x)在x??1处取得极大值，

5

?f'(?1)?3?(?1)2?3a?0,?a?1. ?f(x)?x3?3x?1,f'(x)?3x2?3,

由f'(x)?0解得x1??1,x2?1。

由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x??1处取得极大值f(?1)?1， 在x?1处取得极小值f(1)??3。

直线y?m与函数y?f(x)的图象有三个不同的交点，又f(?3)??19??3，

f(3)?17?1，

结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(?3,1)。 21．（本小题满分12分）

1’a2?2,an＋2＝已知数列?an}满足， a1＝an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求?an}的通项公式。 （1）证b1?a2?a1?1, 当n?2时，bn?an?1?an?an?1?an11?an??(an?an?1)??bn?1, 2221??bn?是以1为首项，?为公比的等比数列。

21n?1（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?),

2当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)??(an?an?1)

11?1?1?(?)??(?)n?2

2211?(?)n?12 ?1?11?(?)221?1?[1?(?)n?2]

32521??(?)n?1, 332 6

5211?1?(?)?1?a1。 332521?an??(?)n?1(n?N*)。

332当n?1时，

22．（本小题满分12分）

y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为

ab225。 5（I） 求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线

13ax?by?0的距离为25， 5?aba2?b2?25ab25 即?5c5?ab25??5?c?a?2??5?c得?b?1 由??2?a?c?5222??c?a?b???y2?双曲线C的方程为?x2?1

4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x

（?n,2n),m?0,n?0 设A(m,2m),Buuuruurm-?n2(m+?n),), 由AP??PB得P点的坐标为（1+?1+?y2(1??)22?x?1,化简得mn=将P点的坐标代入44?

7

?14设?AOB?2?,Qtan(??)?2,?tan??,sin2??

225又OA?5m,OB?5n

?S?AOB?111OA?OB?sin2??2mn?(??)?1 22?111记S(?)?(??)?1,??[,2]

2?311则S?(?)?(1?2)

2?由S?(?)?0得??1 又S（1）=2，S()?1389,S(2)? 34?当??1时，?AOB的面积取得最小值2，18

当??时，?AOB的面积取得最大值338??AOB面积的取值范围是[2,]

3解答二（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?by?0的距离为25， 5?aba2?b2?25ab25 即?5c5?ab25??5?c?a?2??5?c得?b?1 由??2?a?222?c?5?c?a?b???y2?双曲线C的方程为?x2?1

4（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m, 由题意知k?2,m?0

由??y?kx?mm2m得A点的坐标为（,),

2?k2?k?y?2x8

由??y?kx?m?m2m得B点的坐标为（,),

2?k2?k?y??2xuuuruurm1?2m1?AP??PB,得P点的坐标为（(?),(?)

1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?x?1得?将P点的坐标代入 244?k?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）

S?AOB=S?AOQ?S?BOQ

111OQgxA?OQgxB?m(xA?xB)2221mm14m2?m(?)?g 2 2?k2?k24?k211?(??)?12??以下同解答一

9

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