全国初中数学竞赛模拟试题十套

全国初中数学竞赛模拟试题（一）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．设a、b、c为实数，abc≠0，且的值为 （A）－1

（B）1

b2＋c2－a2a＋b＝c，则

2bcc2＋a2－b2＋

2ca＋

a2＋b2－c22ab（ ）

（C）2

（D）3

（ ）

z2．设x，y，z为实数，且有x＞y＞z，那么下列式子中正确的是 （A）x＋y＞y＋z （B）x－y＞y－z （C）xy＞yz 3．在△ABC中，BC＝3，内切圆半径r＝（A）

3232（D）x＞y

z2，则cotB＋cotC的值为 （ ）

232

3－1－23＋1－2（B）

23

（C）3 （D）23

（ ）

4．已知a＝

，则1＋a的值为

1－a（A）3－2 （B）3＋2 （C）2－3 （D）－2－3

5．已知M、N为平面上相异的两点，有m条直线过M而不过N（称为M类直线），有n条直线过N而不过M（称为N类直线）．若每条M类直线与每条N类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M点或N点分成若干段，则这m＋n条直线被分成的总段数是 （A）2mn

（B）(m＋1)(n＋1) （D）2(m＋1)(n＋1)

ab（ ）

（C）2(mn＋m＋n)

6．若ab≠1，且有5a2＋2001a＋9＝0及9b2＋2001b＋5＝0，则 （A）9

5的值是

（ ）

（B）5

9（C）－2001

5（D）－2001

9二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．化简

a＋1a＋1－1－a2＋a－11－a＋a－12（0＜｜a｜＜1）的结果是____________．

2．梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为____________． 3．如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M、N．若AB＝18，CD＝6，则MN的长为____________．

4．设m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋1999＝__________．

5．已知整数x、y满足15xy＝21x＋20y－13，则xy＝__________． 6．已知x＝

3?23?2M D O C

N

A B

，y＝

3?23?2，那么

yx＋x2y2＝__________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？

2．求二次函数y＝x2＋mx＋n在－3≤x≤－1的最大值和最小值． 3．从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘，记为n！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．

全国初中数学竞赛模拟试题（二）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．方程x＋19＋3x＋95＝12的实数解个数为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2．设a＝513，b＝314，c＝415，则a，b，c的大小关系是 （ ）

（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b （C）c＜b＜a （D）b＜c＜a

y 2

3．二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的一部分如

1 图．则a的取值范围是 （ ） （A）－1≤a＜0 （B）a＞－1

x O 1 （C）－1＜a＜0 （D）a≤－1

4．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120o，D点在BC边上，且BD＝1，DC＝2，则AD的值为 （ ） （A）0.5 （B）1 （C）1.5 （D）2 5．已知α、β是方程x2－7x＋8＝0的两根，且α＞β，则2＋3β2的值为

?

（A）1(403－85

8（ ）

17)

（B）1(403－85

417)

（ ）

（C）95 （D）

6．如果a，b，c是三个任意整数，那么

17

a＋b，b＋c，c＋a 222（A）都不是整数 （B）至少有两个整数

（C）至少有一个整数 （D）都是整数 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．若a、b为整数，且x2－x－1是ax17＋bx16＋1的因式，则a＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走17753．设△ABC的内切圆⊙O切BC于点D，过D作直径DE，连AE，并延长交BC于点F．若BF＋CD＝1998，则BF＋2CD＝__________．

P B M 14 B 1775 C E D 20 步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________． A F A S R N

C Q

4．如右图，设△ABC为正三角形，边长为1，P，Q，R分别在AB，BC，AC边上，且AR＝BP＝CQ＝1．连AQ，BR，CP两两相交得到△MNS，

3则△MNS的面积是____________．

5．如图，正方形ABCD的边AB＝1， BD和 AC都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．

6．若x2＋xy＋y＝14，y2＋xy＋x＝28，则x＋y的值为__________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

A S1 B D

S S2 S C 1．如图，矩形ABCD中，DE＝BG，且∠BEC＝90o，SABCD＝n（SABCD表示四边形ABCDSEFGH的面积，下同），BC＝λ，已知n为自然数，λ为有理数．求证：λ也为自

AB F

H

C B G

2．A、B、C三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的苹果数等于B、C原来各有的苹果数；依同法再由B给A，C现有个数，后由C给A、B现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A、B、C三人各有多少个苹果？

3．设S是由1，2，3，?，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S中任两数之和不能被7整除．试问S中最多能由1，2，3，?，50中的几个数组成（S中含数的个数的最大值）？证明你的结论．

然数． A

E

D

全国初中数学竞赛模拟试题（三）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若

xyyzzx＋＋＝1，则

(z＋x)(y＋z)(x＋y)(z＋x)(y＋z)(x＋y)x、y、z的取值情况是 （ ）

（C）只有一个为零

（A）全为零

2．若x，y，

x（B）只有两个为零 （D）全不为零

－y都是有理数，则x，

y的值是 （ ）

（B）二者均为无理数

（ ）

（B）能被2整除，但

（A）二者均为有理数 （C）仅有一个为有理数

（D）以上均有可能

3．设n为自然数，则n2＋n＋2的整除情况是 （A）既不能被2整除，也不能被5整除 不能被5整除

（C）不能被2整除，但能被5整除 （D）既能被2整除，又能被5整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，

全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （A）1小时

（B）2小时

（C）2.5小时

（D）3小时

D

C

（ ）

5．如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、

CF、DG．则BE∶CF∶DG等于 （A）1∶1∶1 （C）1∶

3∶1

（B）1∶

2∶1

A G F E

B

（ ）

（D）1∶2∶1

6．如果a，b是质数，且a2－13a＋m＝0，b2－13b＋m＝0，那么b＋a的值为

ab （A）123

22（ ）

（B）125或2

22（C）125

22（D）123或2

22二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知实数x满足

x2－x3＝x?1－x，则x的取值范围是____________．

2．如果对于一切实数x，有f(x＋1)＝x2＋3x＋5，则f(x－1)的解析式是

________________．

3．已知实数x、y满足条件2x2－6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是

____________． 4．方程

23?3＝x3－

y3的有理数解x＝__________，y＝__________．

C

5．如图，从直角△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF．已知CE＝sinα，CF＝cosα（α为锐角），则AB＝__________．

6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯

B E F A

形的面积等于______________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，D为等边△ABC的BC边上一点，已知BD＝1，CD＝2，CH⊥AD于点H，连结BH．试证：∠BHD＝60o．

A

H B D C 222．已知函数y＝－1x2＋13的自变量在a≤x≤b时，2a≤y≤2b，试求a、b之值． 3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问： （1）1998是不是“聪明数”？说明理由．

（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？

全国初中数学竞赛模拟试题（四）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．99个连续自然数之和等于abcd．若a、b、c、d皆为质数，则a＋b＋c＋d的最小值等于 （A）63 三角形的边长为 （A）

6－2（ ）

（B）70

（C）86

（D）97

（ ）

（B）

6＋232．设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点，且△APQ是正三角形，那么正

5＋23 （C）

5－2 （D）

3．实数a、b、c两两不等，且三点的坐标分别为：A（a＋b，c），B（b＋c，a），

C（c＋a，b），则这三点的位置关系是 （A）组成钝角三角形 （C）组成等边三角形 则

（A）l＞R＋r

（B）l≤R＋r

6（ ）

（B）组成直角三角形 （D）三点共线

（ ）

4．对任意给定的△ABC，设它的周长为l，外接圆半径为R，内切圆的半径为r，

（C）l＜R＋r＜6l （D）以上均不对

（ ）

5．平面上有P、Q两点，以P为外心、Q为内心的三角形的数量为 （A）只能画出一个

（D）能画无数个

1

2 ? ? 3

4 D N （B）可以画出2个 （C）最多画出3个

6．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC∶AB＝1∶2，MN∥BD且平分AC．若梯形ABCD的面积等于ab，S△AMN＝ba，则ab＋ba＝__________． 2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n能使［

n（ ）

C A

M B

］整除n，则n的所有表达式为_____________．

4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．

5．圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8，AC交BD于P，则

S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA＝____________．

6．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少

m．为了使该商150

品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，∠CAB＝∠ABD＝90o，AB＝AC＋BD，AD交BC于P，作⊙P使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．

D

C P

B O A

2．设α、β是整系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a，b）的所有可能值．

3．a、b、c为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．

(b2＋bc＋c2)x2－bc(b＋c)x＋b2c2＝0； (c2＋ca＋a2)x2－ca(c＋a)x＋c2a2＝0；

(a2＋ab＋b2)x2－ab(a＋b)x＋a2b2＝0．

全国初中数学竞赛模拟试题（五）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．边长都是质数的凸四边形ABCD，且AB∥CD，AB＋BC＝AD＋CD＝20，AB＞BC，则BC＋AD＝ （ ） （A）6或14 （B）6 （C）14 （D）10

2．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为123，那么它的下底的长为 （ ） （A）163 （B）183 （C）203 （D）223

3．在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上有点P满足S＝AP2＋BP2，则 （ ）

2

（A）对P有无限多个位置，使得S＜2CP （B）对P有有限个位置，使得S＜2CP2

（C）当且仅当P为AB的中点，若P与顶点A，B之一重合时，才有S＝2CP2 （D）对直线AB上的所有点P，总有S＝2CP2 4．若x＋4＜

x＋13＜

x＋3，则正整数xx的值是 （ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

5．若方程3x＋by＋c＝0与cx－2y＋12＝0的图形重合，设n为满足上述条件的（b，c）的组数，则n等于 （A）0 2

6．如图，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC等于 （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

A P D B C

（ ）

（C）2

（D）有限多个但多于

（B）1

（ ）

1．若自然数a，x，y满足a－26＝x－y，则a的最大值是____________． 2．如右图，已知ABCDEF是正六边形，M，N分别是边CD和DE的中点，线段AM与BN相交于P，则

2

BPPN＝____________．

2

A F 3．关于自变量x的二次函数y＝x－4ax＋5a－3a的最小值m是a的函数，且a满足不等式0≤a2－4a－2≤10，则m的最大值等于________．

4．方程xy＋3x＋2y＝10的正整数解为__________．

B P C M D E N

5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m，乙的速度为每秒7m，到他们第一次在A点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n次，这里n＝__________． 6．在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）

的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标x＝__________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．在锐角三角形ABC中，∠BAC，∠ABC，＜ACB的平分线分别与△ABC的外接圆交于D，E，F．连EF，FD，DE分别交AD，BE，CF于A1，B1，C1．求证：△ABC的内心I也是△A1B1C1的内心．

A F AE

I

B BCC

D

2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍．

1 1 1

?x2－x－2＞0，3．若不等式组?2的整数解只有

2x＋(5＋2k)x＋5k＜0?x＝－2，求实数k的取值范围．

全国初中数学竞赛模拟试题（六）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期天去登

A(7千B(8千山，他们计划上午8∶30出发，尽可能去登C(10千图中最远处的山，到达山顶后开展1个半小

D(9千时的文娱活动，于下午3点以前必须回到驻

地．如果去时的平均速度是3.2千米／时，

驻地M 返回时的平均速度是4.5千米／时，则能登

上的最远的那个山顶是 （ ） （A）A （B）B （C）C （D）D 2．方程2x2＋7x＋21＝52x2＋7x＋15的有所实根之和为 （ ） （A）－11

（B）－7

（C）－11

2（D）－7

23．设a＞0，则方程a－x2＝2－｜x｜有不等实根，那么a的取值范围是 （ ） （A）a＞0 （B）0＜a＜1 （C）a＝1 （D）a≥1

4．三角形ABC的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那么它的最大边与最小边的比值是 （ ） （A）2

（B）5

3（C）3

2（D）7

55．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按此钟做完规定的8小时工作，应付工资 （ ） （A）34.4元 （B）34.6元 （C）34.8元 （D）35元

6．若a，b是正数，且满足12345＝(111＋a)(111－b)，则a与b之间的大小关

系是

（A）a＞b （B）a＝b （C）a＜b 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc＞0，且x＝

bcc（ ）

（D）不能确定

a＋b＋c，y＝｜a｜｜b｜｜c｜a(1＋1)＋b(1＋1)＋c(1＋1)，则代数式x19－96xy＋y3＝__________．

aab2．如图，在长为9，宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O1，O2，那么这两个小圆的最大直径d＝__________．

3．已知α，β是方程x2＋x－1＝0的两个实根，则α－3β＝________．

4．如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于F，若DF＝BF，AF＝2EF，则S△ACD∶S△ABC∶S△ABD＝__________． ＝__________．

6．已知实数a，b满足a2＋ab＋b2＝1，且t＝ab－a2－b2，那么t的取值范围是____________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．四边形ABCD中，O是AB的中点，以O为圆心的半圆（其直径小于AB）与边AD，DC，CB分别相切于E，F，G．求证：AB2＝4AD·BC．

C D F E G

B O A

2．设直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，且a，b，c均为自然数，a为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．

3．19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．

A

D 4

O1 O O2 C

E

F B

5．已知抛物线y＝x2＋kx＋4－k交x轴于整点A，B，与y轴交于点C，则S△ABC全国初中数学竞赛模拟试题（七）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知a－1＝1－b＝3，且a＋b≠0，则

abab3ba3－的值是 （ ）

（A）215 （B）2113 （C）335 （D）3313

2．在△ABC中，F分AC为1∶2，G是BF的中点，E是AG与BC的交点，那么E分BC所成的比为 （ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）1

8543E A 3．如图，△ABC为锐角三角形，BE⊥AC，CF⊥F AB，则S△AEF∶S△ABC的值为 （ ）

2C （A）sinA （B）cosA （C）sin2A （D）cosB A

4．⊙O1和⊙O2的半径分别是R和r，O1O2＝d，若关于x的方程x2－2Rx＋r2－2rd＋d2＝0有两个相等的实根，那么此两圆 （ ） （A）相交 （B）内切 （C）外切 （D）内切或外切 5．P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，把三角形的面积三等分，则P点是△ABC的 （ ） （A）内心 （B）外心 （C）垂心 （D）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定：

①如一次购物不超过200元，则不予折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；

③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元部分则给予八折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元与423元．如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ） （A）522.8元 （B）510.4元 （C）560.4元 （D）472.8元 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000．则此四数的和是__________．

2．某学校新造5个教室后，每个班级的平均人数减少6人，再造5个教室后，每个班级的平均人数又减少4人．在这个变化过程中，学校人数保持不变，这个学校有__________名学生．

3．如果xy＝a，xz＝b，yz＝c，而且它们都不等于0，那么x2＋y2＋z2＝__________． 4．已知二次函数y＝2x2－4mx＋m2的图像与x轴有两个交点A，

B，顶点为C．若△ABC的面积为4

2，那么m＝__________．

I B 5．如图，圆与正三角形ABC的三边交于六个点，如果AG＝2，

A H G F E C

GF＝13，FC＝1，HI＝7，则DE＝__________．

6．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全

D 平方数．这个正整数为__________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，已知AB，CD是半径为5的⊙O中互相垂直的弦，垂足为P，E为AB的

C A E O P B

中点，PD＝AB，且OE＝3，试求CP＋CE的值．

2．试问周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由． 3．证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除，但任意10个整数未必有此性质．

全国初中数学竞赛模拟试题（八）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若x＝23＋4695，则25x4－1996x2＋144＝ （ ）

（A）0 （B）1 （C）469 （D）1996

2．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （ ） （A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）无穷多种 3．已知

a3＋b3＋c3－3abc＝3，则(a－b)2＋(b－c)2＋(a－b)(b－c)的值为

a＋b＋c（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4．凸五边形ABCDE中，有∠A＝∠B＝120o，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，则五边形的面积为 （ ） （A）10

（B）7

3

（C）15

5．梯形ABCD的对角线相交于O，OA＞OC，OB＞OD．在AO上取点E，使AE＝OC，又在BO上取点F，使BF＝OD，则△AFC的面积S1与

A

△BED的面积S2的关系为 （A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2

2

（D）C 93 D

O E F B

（ ）

（D）不能确定

－b?b2－4acx＝

2a6．①在实数范围内，一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根为；

②在△ABC中，若AC2＋BC2＞AB2，则△ABC是锐角三角形；

③在△ABC和△A1B1C1中，a、b、c分别为△ABC的三边，a1、b1、c1分别为△A1B1C1的三边．若a＞a1、b＞b1、c＞c1，则△ABC的面积S大于△A1B1C1的面积S1．

以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．n（n≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个．

2．在凸四边形ABCD中，BC＝8，CD＝1，∠ABC＝30o，∠BCD＝60o．如果四边形

ABCD的面积是1332，那么AB＝________．

10?a＋b＋c＝，则222a＋b＝c?3．正数a，b，c满足?ab的最大值为__________．

4．正三角形ABC内接于圆O，M，N分别是AB，AC的中点，延长MN交圆O于点

D，连结BD交AC于点P，则PC＝__________．

PAN 5．有两条公路OM，ON相交成30o角，沿公路OM方向80米

A处有一所小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50

O M 米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米A

／小时，那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒． 6．已知x，y是正整数，并且xy＋x＋y＝23，x2y＋xy2＝120，则x2＋y2＝__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝125，CD＝DA＝80．问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC，BD的长． D 80 C

80

B 125 A

2．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实根，证明：当k≠0时，方程x2＋px＋q＋k(2x＋p)＝0也有两个不等实根，且有一根在x2＋px＋q＝0的两根之间．

3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点．

全国初中数学竞赛模拟试题（九）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．19961996的十位上的数字是 （ ） （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 2．如果凸n边形F（n≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ） （A）F是四边形 （B）F是五边形 （C）F是四边形或五边形 （D）F是边相等或内角相等的多边形

3．已知a，b，c为不全相等的实数，那么关于x的方程x2＋(a＋b＋c)x＋(a2

＋b2＋c2)＝0 （ ） （A）有两个负根 （B）有两个正根 （C）有两个同号实根 （D）无实根 4．使得正n边形的每个内角都是整数度数的n的个数是 （ ） （A）16 （B）18 （C）20 （D）22

5．在｛1，2，?，100｝这100个整数中，任取k个数，使得在这k个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k的取值是 （ ） （A）21 （B）24 （C）27 （D）30

A 6．如图，在△ABC中，D是边AC上一点．下面四种

情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是 （ ）

D F （A）AD·BC＝AB·BD （B）AB2＝AD·AC E （C）∠ABD＝∠ACB （D）AB·BC＝AC·BD

B

二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360＝3，360＝5，则723(1－y)＝__________． 2．如图所示，□ABCD，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥BC，C1D1

∥C2D2∥AB，把□ABCD共划分成15个小平行四边形，若四边形C2A4D1B1面积为S1，S□MNPQ＝S0，则S□ABCD＝__________． 3．若x＝1－

2xy1－2x－yC

D B1 B2 B3 B4 C1 C2 M Q N P D1 D2 B A A1 A2 A3 A4

14x，1－2x＋22x2－23x3＋24x4－?－21995x1995的值为____________．

4．在Rt△ABC中，∠B＝90o，AB＝4，BC＝2，D为Rt△ABC内任意一点，过D分别作三角形三边的平行线EF、MN、PT，设S为△DEP、△DMF和△DNT的面积之和，则S的最小值是__________．

5．如图，B是半径为3的⊙O的直径AC上的一点，BC＝2，以AB，BC为直径作⊙O1，⊙O2，⊙P分别与⊙O1，⊙O2，⊙O相切，则⊙P的半径r的长为__________． 6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P．则点PA

O1 O B O2 C P 到两圆外公切线的距离为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 1．如图，O是△ABC内任意一点，直线AO，BO，CO分别与三边相交于P，Q，R．若a＞b＞c，求证：OP＋OQ＋OR＜a．

A R O B P C Q

2．设方程x2＋ax＋1＝b的两个根均是自然数，证明：a2＋b2是合数． 3．在一个8×8棋盘中，定义一种“跳棋”的规则如下： 走子之前：1A2B31 走子之后：23A 即棋子A则1号位，隔过一棋子B，跳入3号位，同时吃掉棋子B．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：

（1）走棋之前，前4行无棋子；

（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子； （3）初始状态所用的棋子数最少．

请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．

全国初中数学竞赛模拟试题（十）

班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．在△ABC中，∠C＝90o，∠A的平分线交BC于D，则AB－AC等于

CD（ ）

（A）sinA 的关系是 （A）△＜Q （A）4

（B）cosA （C）tanA （D）cotA

（ ）

2．若x0是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则△＝b2－4ac与Q＝(2ax0＋b)2

（B）△＝Q （B）2000

2

（C）△＞Q （C）2

2000

（D）不确定

（ ）

（D）4

2000

3．若x－y＝2，x2＋y2＝4，则x2000＋y2000的值是

4．若⊙O内切于△ABC的三边，切点为X，Y，Z，则△XYZ满足 （A）每个角都等于60o （C）与△ABC相似 中另两个角和的一半

（B）有一个角是钝角

（ ）

（D）每个角等于△ABC5．将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N，N＝19202122?949596．如果N的质因数分解式中3的最高次幂是3k，那么k＝ （A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（ ）

6．已知在△ABC中，∠ACB＝90o，∠ABC＝15o，BC＝1，则AC的长为 （ ） （A）2＋

3

（B）－3 （C）0.3 （D）3－2

二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．

1995?1997?1999?2001＋16＝__________．

2．正△ABC的边长为1，P是AB边上的一点，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB（Q、R、

S为垂足），若SP＝1，则AP＝__________．

43．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，∠ABC＝∠ADC＝120o，则BD＝__________． 4．设t是与

13D

C

A 2－1＋32最接近的整数，则

3－2t等于

B __________．

5．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝20o，在AB边上取一点M，使得BM＝AC，则∠

AMC的度数等于__________．

6．已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150o，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．已知正整数p，q都是质数，并且7p＋q与pq＋11也都是质数，计算(p2＋qp)(q2

＋pq)之值．

2．如图，设H是等腰△ABC之垂心，在底边BC保持不变的情况下让点A到底边BC的距离变小，这里乘积S△ABC·S△BHC的值怎样变化（变大？变小？不变？），试说明理由． A

H

B C

3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为2000、一个锐角为30o的直角三角形，三个顶点同色．

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