数 学 软 件 实验讲义
实验一 一元函数及其图形
本实验的目的是通过图形来认识函数，并运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性，建立数形结合的思想.
Mathematica作图主要命令如下：
1.画散点图的命令为
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]
或者 ListPlot[{y1,y2,…yn},选项] 命令ListPlot的选项主要有两个:
(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.画区间[a,b]上函数y?f(x)的图形的命令为
Plot[f,{x,a,b}]
3.画参数方程x?f(t),y?g(t),t?[a,b]所表示曲线的图形的命令为
ParametricPlot[{f ,g},{t,a,b}]
4. 隐函数作图命令ImplicitPlot 这里同样要先打开作图软件包, 输入
< 命令为ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项] 1.1 函数及其图形 实验1 给定函数 5?x2?x3?x4 f(x)? 25?5x?5x(1) 画出f(x)在区间[-4,4]上的图形； （2）画出区间[-4,4]上f(x)与sinxf(x)的图形. 解：(1) 输入 f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2); g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]] 输出 423.02.52.01.51.024 (2) 输入 g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]] 输出 422421 实验2 观察函数y?sin 解： 输入 Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]; 输出 从图中可以看到函数y?sin 1.00.5121的图形. x1.00.50.51.00.51在x?0附近来回振荡.请解释其原因. x1.0实验3 （参数方程的图形）绘出以下参数方程的图形. 3??x(t)?2cost ?3??y(t)?2sint解：输入 x[t_]=2Cos[t]^3 ； 2 y[t_]=2Sin[t]^3； ParametricPlot[{x1[t],y1[t]},{t,0,2Pi}] 2 输出 121112 21?2?xsin,x?0实验4 画出分段函数f(x)?? 的图形. x??0,x?0 解： 输入 f[x]:=x^2Sin[1/x]/;x?0; f[x]:=0 /; x=0; Plot[f[x],{x,-0.8,0.8},PlotRange?{-0.08,0.08}] 输出 0.50.050.50.05实验5 分别画出坐标为并画出折线（i,i2）、(i2,4i2?i3),(i?1,2,...,10)的散点图， 图. 解：输入 t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle?PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t1,PlotJoined?True]; Show[g1,g2] t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}]; g1=ListPlot[t2,PlotStyle?PointSize[0.02]]; 3 g2=ListPlot[t2,5PlotJoined?True]; Show[g1,g2] 输出 10014001200 801000608006004004020200246810204060801001.2 函数性质的研究 给定二维曲线图形，如何判断一个图形是某一个函数的图形已在高等数学中 介绍.若其是某一个函数的图形（一个x,对应图形上的一点），我们如何从图形观察函数的单调性、奇偶性、周期性等？ 实验6 研究函数f(x)?x5?3ex?log3(3?x)在区间[-2,2]上的图形特性. 解： 输入 Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}] 输出 40 20 2112 20实验7 判断函数f(x)?sin2?x?cos2?x是否为周期函数？ 解： 输入 Plot[Sin[2Pi x]+Cos[2Pi x],{x,-4,4}] 输出 4 420.51.00.5241.0实验8 判断函数y?f(x)?x3?3x2?3x?1的反函数的存在性.若存在，求反函 数的表达式，并画出其图形. 解：输入 Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x] 得反函数为y??1?3x 再输入 Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}]; 输出 3210.20.40.60.81.00.40.2123实验9 制作函数sincx的图形动画，观察参数C对函数图形的影响. 解：输入 Manipulate[Plot[Sin[cx],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1,1}],{c, 1,4,1/3}] 输出 …… 1.3 关于函数图形的进一步研究 利用Mathematica，我们可以画出一些难以想象的图形. 实验10 画出以下参数方程的图形 11?x(t)?5cos(?t)?7cost?x(t)?costcos5t??5（1）? (2)? y(t)?sintcos3t??y(t)?5sin(?11t)?7sint?5??x(t)?(1?sint?2cos4t)cost(3)? y(t)?(1?sint?2cos4t)sint?解：分别输入 5 （1）ParametricPlot[{5 Cos[-11/5 t]+7 Cos[t],5 Sin[-11/5 t]+7 Sin[t]},{t,0,10 Pi},AspectRatio?Automatic] （2）ParametricPlot[{Cos[5t] Cos[t],Sin[t]Cos[3t]},{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic] （3）ParametricPlot[(1+Sin[t]-2Cos[4 t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->Automatic,Axes?None] 输出，得 5105100.555100.50.51.0 100.5 实训： 1. 把正切函数tanx和反正切函数arctanx的图形及其水平渐近线y???/2,y??/2和直线y?x用不同的线型画在同一个坐标系内. 2.观察函数的叠加, 输入以下命令: a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}] a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}] a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}] Show[a1,a2,a3] 3.首先回忆一下sinx的性质，研究一个函数f(x)乘以sinx后图形的变化趋势.具体研究步骤如下： (1)在区间[0 ,15]上作出函数y1?x,y2??x,y3?xsinx的图形. (2)在区间[0 ,15]上作出函数y1?lnx,y2??lnx,y3?lnxsinx的图形. 6 (3)任取一个函数f(x)和一个区间，作出函数y1?f(x)和y2?sinf(x)的图形. (4)试给出函数y1?f(x)和y2?f(sinx)的图形之间的关系. 实验二 极限 本实验的目的是通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 1. Mathematic求极限的命令如下: Limit[f[x],x->a] Limit[f[x],x->a,Direction->-1]; Limit[f[x],x->a,Direction->+1]; Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1]; Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]. 2.1 数列的极限 实验1 观察数列的前100项变化趋势. ｛nn｝解：输入 t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]]; ListPlot[t,PlotStyle?PointSize[0.01]] 1.4 1.3 1.21.120406080100实验2 利用动画观察当n??时数列an? 解：输入 Clear[tt]; 1的变化趋势. n2 7 tt={1,1/2^2,1/3^2}; Animate[tt=Append[tt,N[1/i^2]]; ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}] 从输出的图中可以看出所画出的点逐渐接近于x轴. 2n3?1lim. 实验3 研究极限n??5n3?1解：输入 Print[n, \ \ \ For[i=1, i<=15, i++,Aii=N[(2 i^3+1)/(5 i^3+1),10]; Bii=0.4-Aii; Print[i, \ \ \输出 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ai –0.1 –0.0146341 –0.00441176 –0.00186916 –0.000958466 –0.000555042 –0.00034965 –0.000234283 –0.000164564 –0.000119976 –0.0000901442 –0.0000694364 –0.000054615 –0.0000437286 –0.0000355534 0.4-Ai 0.5 0.414634 0.404412 0.401869 0.400958 0.400555 0.40035 0.400234 0.400165 0.40012 0.40009 0.400069 0.400055 0.400044 0.40n0036 观察所得列表可以发现上述极限等于4 实验4 设数列｛xn｝与{yn}由下式确定： 8 ??x1?1,y1?2??｛xn｝与{yn}的极限是否存在 ?xn?1?xnyn,n?1,2,... 观察 ??yn?1?xn?yn?2?解：输入 Clear[f, g]; f[x_, y_] := Sqrt[x*y]; g[x_,y_] := (x + y)/2; xn = 1; yn = 2; For[n=2, n<= 100, n++, xN= xn; yN = yn; xn = N[f[xN, yN]]; yn = N[g[xN, yN]];]; Print[\ 输出 x100= 1.45679 y100= 1.45679 2.2 函数的极限 实验5 在区间[?4,4]上作出函数f(x)?x3?9x的图形, 并研究limf(x)和limf(x) x?xx??x?13解： 输入 Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x); Plot[f[x],{x,-4,4}] 则输出f(x)的图形. 从图可猜测 limf(x)?9,limf(x)不存在. x?0x?130 422010 1024 实验6 观察函数f(x)?解：输入 201sinx当x??时的变化趋势. 2xf[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}]; 9 则输出f(x)在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上,逐次取更大的区间, 可以更有力地说明当时, f(x)?0. 1015200.040.02 0.020.04实验7 考虑第一个重要极限lim解：输入 sinx.输入 x?0xPlot[Sin[x]/x,{x,-Pi,Pi}] 输出 3211.00.80.60.40.2123 Limit[Sin[x]/x,x->0] 1??lim1???. 实验8 第二个重要极限x??x??x解： 输入 Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity] 输出为e. 再输入 Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}] 1??则输出函数?1?x?的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限 ??x?1?lim?1???e. x????x? 2.702.682.662.642.62x 2.602.5810 020406080100 实训： 1. 设数列xn?的变化趋势. 提示: 输入 Clear[f]; f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[f[n],{n,30}] 2. 计算极限 11??(1)lim?xsin?sinx? x?0?xx?111????.计算这个数列的前30项的近似值. 1323n3作散点图, 观察点 x2 (2)xlim ???ex(3)limtanx?sinxx(4)limx x?0x??0x3 实验三 函数的连续与间断 本实验的目的是进一步理解函数连续的概念，熟悉几种间断点的类型与间断点的图形特征. 3.1 一元函数连续的概念 实验1 考察函数 f(x)?sinx在x?5处的连续性. 解：选取几个{xn}考察当xn?5时, sinxn的变化趋势, 依次取 11?1?xn?5?,xn?5?(?1)n,xn?ln?1??, nn?n?当n??时, 他们的极限均为5. 输入命令 g1 = ListPlot[Table[Sin[5 + 1/n], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[1, 11 5n0, 0]]; g2 = ListPlot[Table[Sin[5 + (-1)^n/Sqrt[n]], {n, 1, 1000, 5}], PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]]; g3 = ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1 + 1/n)]], {n, 1, 1000, 5}], PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]]; g = Show[g1, g2, g3]; 则输出相应的(xn,sinxn)的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值. 0.92 0.940.960.9850100150200 3.2 不同类型间断点的图形特征 下面将说明各种不同类型间断点的图形特征 实验2 函数f(x)?sinx在x?0点处间断，且间断点为可去间断点，请观察x其图形特征. 解： 输入 1.0000 Plot[Sin[x]/x,{x,-0.1,0.1}] 0.9995 输出 0.100.050.99900.050.10?1,x?0?实验3 （跳跃间断点）考虑符号函数sgn(x)??0,x?0 在x?0点处的间断情 ??1,x?0?况 解：输入 Plot[Sign[x],{x,-2,2}] 输出 1.0 210.512 0.512 1.0 实验4 （无穷间断点）考察函数f(x)?解：输入 Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}] 输出 1实验5 （振荡间断点）考察函数f(x)?sin在点x?0处的连续性. x32112341在x??1处的间断情况 1?x2224解：输入 Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}] 输出 1.01.00.50.51.01.00.50.5 实训 13 1.观察函数f(x)?e?1x的图形特征，并指出x?0处的间断类型. 1的图形特征，并指出x?1点的间断点类型. x?12 12.观察函数f(x)?cos3.求下列极限： x11??(1)lim?xsin?sinx? (2)limxx???ex?0?xx?sinx?xcosx?sinx?1?cosx(3)lim(4)lim ??2x?0x?0xsinx?x? 实验四 一元函数的微分学 本实验目的是帮助学生深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义.掌握用Mathematica求导数与高阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数. Mathematic命令如下： 1.求导数和求微分的命令 D[f,x] D[f,{x,n}] D[f,x,y,z,…] Dt[f,x] Dt[f] 2.循环语句Do Do[表达式, {循环变量名, 最小值, 最大值, 增量}] 当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1. 例如,输入 Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}] 则在屏幕上显示Sin[x],Sin[2x],…,Sin[10x] 等10个函数. 4.1导数的概念 实验1 用定义法求f(x)?x3?3x2?x?1的导数. 14 解：输入 Clear[f]; f[x_]=x^3-3x^2+x+1; zlb=Simplify[(f[x+h]-f[x])/h] 执行以后得到函数的增量与自变量的增量的比 22 1?h?3h(?1?x)?6x?3x 再输入 df=Limit[zlb,h->0] Plot[{f[x],df},{x,-1.5,3}, PlotStyle->{GrayLeve1[0],Dashing[{0.01}]},PlotRange->{-3,2}] 2 1 输出 112312332实验2 作函数f(x)?2x?3x?12x?7的图形和在x??1处的切线. 解：输入 Clear[f]; f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7; plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunction->Identity]; plot2=Plot[f’[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3}, PlotStyle->GrayLeve1[0.5],DisplayFunction->Identity]; Show[plotf,plot2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 输出 40 43212012320实验3 求函数y?sin2x的导数与y?sinaxcosbx的微分. 解：输入 D[Sin[2x],x] 15 Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants?{a,b}]//Simplify 输出 (a Cos[a x] Cos[b x]-b Sin[a x] Sin[b x]) 实验４ 求由方程2x2?2xy?y2?x?2y?1?0确定的隐函数的导数. 解：输入 deq=D[2 x^2-2 x*y[x]+y[x]^2+x+2 y[x]+1?0,x]； Solve[deq1,y'[x]] 输出 ??1?4x?2y[x]??????y[x]??????? 2(?1?x?y[x])??????4.2 微分中值定理 实验5 对函数f(x)?x(x?1)(x?2),观察罗尔定理的几何意义. 解：因为f(0)?f(1)?f(2)?0,由罗尔定理, 存在x1?(0,1), x2?(1,2), 使得f?(x1)?f?(x2)?0. (1) 画出y?输入 f[x_]=x*(x-1)*(x-2); g1=Plot[f[x],{x,-1,3},PlotStyle?RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f'[x],{x,-1,3}]; Show[g1,g2] NSolve[f'[x]??0,x] 输出 1121f(x)与f?(x)的图形, 并求出x1与x2. 1232(2) 画出y?f(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线. 3 16 输入 t1[x_]=f[0.42265];t2[x_]=f[1.57735]; Plot[{f[x],t1[x],t2[x]},{x,-1,3}] 输出 10.51.51.00.51231.01.5实验6 对函数f(x)?ln(1?x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义. 解：(1) 画出y?输入 Clear[g1,g2]; f[x_]=Log[1+x]; a=0;b=4; g1[x_]:=f[a]+(f[b]-f[a])*(x-a)/(b-a); g2[x_]:=f ' [x]-(f[b]-f[a])/(b-a); Plot[{f[x],g1[x]},{x,a,b}]; (2)画出函数y?f?(x)?f(4)?f(0)的曲线图, 并求出?使得 4?0f(x)及其左、右端点连线的图形; f?(?)?输入 Plot[g2[x],{x,a,b}] NSolve[f'[x] f(4)?f(0). 4?0(f[b]-f[a])/(b-a),x]; (3)画出y?f(x),它在?处的切线及它在左、右端点连线的图形. 输入 x1=1.4853397382384472; g3[x_]=f[x1]+f ' [x1]*(x-x1); Plot[{f[x],g1[x],g3[x]},{x,a,b}] 17 输出的图象 0.61.50.4 1.01.50.21.0 0.512340.5 0.2 123412344.3 导数的应用 实验7已知函数f(x)?2x6?3x5?3x3?2x2,在区间[-3,2]上画出 f(x),f'(x),f''(x)的图形，并找出所有的驻点和拐点. 解：输入 f[x_]=2 x^6+3 x^5+3 x^3-2 x^2; Plot[f[x],{x,-3,2}]; df[x_]=f'[x]; ddf[x_]=f''[x]; Plot[df[x],{x,-2,1}]; Plot[df[x],{x,-0.2,0.5}]; Plot[ddf[x],{x,-2,1}]; Plot[{f[x],df[x],ddf[x]},{x,-0.6,0.6},PlotStyle?{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}] NSolve[df[x]??0,x] NSolve[ddf[x]??0,x] 0.60.40.20.20.40.6105 输出 {{x?-1.61612},{x?0.},{x?0.351613}} {{x?-1.23293},{x?0.193431}} 510 实验8 求函数y?x的极值. 1?x218 解： 输入 f2[x_]:=x/(1+x^2); Plot[f2[x],{x,-10,10}] Solve[f2' [x]==0,x] 0.4输出 {{x?-1},{x?1}} 实验9 求函数y? 解： 输入 f3[x_]:=1/(1+2x^2); 11?2x21050.25100.20.4的凹凸区间和拐点. Plot[{f3[x],f3'' [x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2}, PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}] gen=Solve[f3'' [x]==0,x] 2输出 ｛{x??1632111123423},{x?51616}｝ 即得到二阶导数等于0的点是? 导数大于零, 曲线弧向上凹. 在?????16,. 由图知在????,???1??6??和???1?,?????6?上二阶 1??上二阶导数小于零, 6??曲线弧向上凸. 再输入 f3[x]/.gen 输出 {3/4,3/4} 这说明函数在? 16和 16的值都是3/4. 因此两个拐点分别是?????1?13?3??,?,?和???. 46??64?实训： 1.求下列函数的导数: 19 (1) y?e3x?1x?; (2) y?ln[tan(?)]; 242.求下列函数的微分: (1) y?2?1cosx22; (2) y?ln(x?x?a) 3. 求下列函数的高阶导数: (1) y?xsinx,求y(100); (2) y?x2cosx,求y(10); 4.求由下列方程所确定的隐函数y?y(x)的导数: (1) lnx?e?yx?e; (2) arctan?lnx2?y2. yx 5.作出函数f(x)?1,(?5?x?4)的图形，c 分别取-1，0，1，2，2x?2x?c3等5个值，试比较作出的5个图，并从图上观察极值点、驻点、单调区间和凹凸区间. 实验五 一元函数积分学 本实验的目的是加深理解定积分的概念，深入理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，初步了解定积分的近似计算方法. Mathematic命令如下： 1.计算不定积分 Integrate[f[x],x] 2.计算定积分 Integrate[f[x],{x,a,b}] 3.循环语句For For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象] 例如, 输入 t=0; For[j=1,j<=10,j++,t=t+j]; t 20 则输出变量t的最终值1+2+…+10=55. 4.求一般方程的近似根的命令 FindRoot FindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项] FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项] FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}] 5.1 定积分的概念 实验1 利用定积分计算积分?x2dx 01解：方法：在区间[0,1]中插入n?1个分点（我们可以均匀的产生，也可以借助随机数任意产生），在一定意义下取得了任意分点与任意的 ?i计算?f(?i)?xi,即可求得lim?f(?i)?xi的近似值.提高精度的方 i?1nn??0i?1法是增加分点. 输入 f[x_]:=x^2; a=0; b=1;n=202;Array[x,{641}];x[0]=a; For[k=1,k?6,k++, x[n]=b ; s=0 ; Do [x[i]=(i+Random[])*(b-a)/n,{i,1,n-1}]; For[i=0,i Print[\ n=n*2] 输出 n= 20 s= 0.333163 n= 40 s= 0.335524 n= 80 s= 0.332014 n= 160 s= 0.33367 n= 320 s= 0.333349 n= 640 s= 0.333351 21 所以我们认为 ?10x2dx=0.333 235实验2 求x(1?x)dx. ?解：输入 Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x] 输出 x35x610x95x12x15x18?????3696318 实验3 求 ?40|x?2|dx. 解：输入 Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}] 输出 4 5.2 定积分的应用 实验4 （平面曲线所围成图形的面积）设f(x)?e?(x?2)2cos?x和g(x)?4cos(x?2). 计算区间[0，4]上两曲线所围成的平面图形的面积. 解：输入 f[x_]=Exp[-(x-2)^2 Cos[Pi x]]; g[x_]=4 Cos[x-2]; Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle?{RGBClolr[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}] 输出 432111234再输入 FindRoot[f[x]???g[x],{x,1.06}] FindRoot[f[x]???g[x],{x,2.93}] 输出 {x?1.06258} {x?2.93742} 22 输入 NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06,2.93}] 输出 4.17386 所以，所得面积为s?4.17386 实验5 （旋转体的体积）计算由f(x)?x2sinx和x?0,x??所围成图形分别绕x 轴、y轴旋转所得立体的体积. 解：输入 f[x_]=x^2*Sin[x];Plot[f[x],{x,0,Pi},PlotStyle?RGBColor[1,0,0]] 输出 4321绕x轴：Integrate[Pi*f[x]^2,{x,0,Pi}] 1/20 ?2 (15-10 ?2+2 ?4) 绕y轴：Integrate[2 Pi*x*f[x],{x,0,Pi}] 2 ?2 (-6+?2) 实训： 1.利用定义计算?sinxdx 00.51.01.52.02.53.0?2.设f(x)?35x?3x4?11x3?18x2?12x?1和g(x)??4x3?28x2?56x?32，计10算两曲线所围成平面图形的面积. 3.计算由f(x)?e?(x?3)体的体积. 2cos4(x?3)和x?1,x?5,y?0所围成的图形绕x轴旋转所得立 23 参考教材及资料： [1] 韩西安，黄希利.数学实验[M].国防工业出版社，2003.9 [2] 李尚志. 数学实验[M].高等教育出版社，2004. [3] A.D.Andrew G.L.Cain S.Crum T.D.Morley .用Mathematica做微积分实验[M].清华大学出版社，2003.8 [4] （美）D.尤金（DonEugene）.Mathematica使用指南[M].科学出版社，2002.11 [5] 曾庆柏.高等数学[M].世界图书出版社,2008. [6] 高等数学实验案例库（网络电子教案）www.madio.net 24 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库第二、三部分Mathematic在几何及高等数学中的应用在线全文阅读。
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