【成才之路】2024-2025学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习：2.1.

选修2-3 第二章 2.1 2.1.2 第2课时

一、选择题

1

1．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝k，k＝1、2、?，则P(2＜X≤4)＝( )

23

A．

161C．

16[答案] A

[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) 113＝3＋4＝. 2216

2．某射手射击所得环数X的分布列为

X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 1B． 45D． 16

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A．0.28 C．0.79 [答案] C

[解析] P(ξ>7)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. i

3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝( )

2a1A．

91C．

3[答案] C

1236

[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知＋＋＝1，∴＝1，即a＝3，

2a2a2a2a11

∴P(ξ＝2)＝＝.

a3

4．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( )

1A．

1207C．

10

7B．

243D． 7

B．0.88 D．0.51

1B．

61D． 4

[答案] B

0C3C377·

[解析] P＝3＝. C1024

5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的球的最大号码；②Y表示取出的球的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是( ) A．①② C．①②④ [答案] B

[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．

6．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是( ) 1A．

52C．

5[答案] C

2A442

[解析] P＝5＝. A55二、填空题

7．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：

ξ P 131

[答案]

555

8．随机变量ξ的分布列为：

ξ P 0 1 91 2 152 7 453 8 454 1 55 2 90 1 2 1B．

43D． 5B．③④ D．①②③④

则ξ为奇数的概率为________． [答案]

8 15

9．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．

5

[答案]

6

[解析] 从10名同学中选出3名同学有C3在3名同学中没有女同学的选10种不同选法，法有

C36种，∴所求概率为

C356

P＝1－3＝. C106

三、解答题

10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2013年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，?，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．

[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，

所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y的所有可能取值为0、1、2.

1

C229C15C233010C3010P(Y＝0)＝2＝；P(Y＝1)＝2＝；P(Y＝2)＝2＝. C4052C4013C4052

所以Y的分布列为：

Y P 0 29 521 5 132 3 52

一、选择题

c

11．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则

k?k＋1?15

＜ξ＜?则值为( ) P?2??2

2A．

34C．

5[答案] D

3B．

45D． 6

[解析]

cccc＋＋＋ 1×22×33×44×5

?1－1?＋?1－1?＋?1－1?＋?1－1?? ＝c???2??23??34??45??

45＝c＝1.∴c＝. 54

15

＜ξ＜?＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ∴P?2??21515＝?1×2＋2×3?＝. 4??6

2

12．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，

3＋∞)上为增函数的概率是( )

1A．

23C．

4[答案] B

2

[解析] 由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0

3在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，2

(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单

3305

调递增的概率为P＝＝，故选B.

366

13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ16

＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )

45

A．10% C．30% [答案] B

C1C1x?10－x?16x·10－x

[解析] 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8. 2C104545∵次品率不超过40%，∴x＝2， 2

∴次品率为＝20%.

10二、填空题

k

14．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1、2、3、4、5，令Y＝2X－2，

15则P(Y>0)＝________.

B．20% D．40% 5B．

62D． 3

[答案]

14 15

123

[解析] 由已知Y取值为0、2、4、6、8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝

15151514514

＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝. 5151515

15．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝________.

1[答案]

2

1

[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列

2性质得

1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)， 11

4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝. 481

∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.

2三、解答题

16．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．

[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝

111C325C2C2C2

＝. 3C103

(2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，

112

C212C2＋C2C2

P(ξ＝2)＝＝， 3C1030112C224C2＋C4C2

P(ξ＝3)＝＝， 3C1015112C236C2＋C6C2

P(ξ＝4)＝＝， 3C1010112C288C2＋C8C2P(ξ＝5)＝＝. 3C1015

所以随机变量ξ的分布列为：

ξ 2 3 4 5

P 1 302 153 108 1517.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m、n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、化归与转化思想．

解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列．

(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}．

由于m、n∈Z，m、n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2、－1、0、1、2、3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0、1、4、9.

121211且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.

663636故ξ的分布列为：

ξ P 0 1 61 1 34 1 39 1 6

P 1 302 153 108 1517.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m、n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、化归与转化思想．

解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列．

(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}．

由于m、n∈Z，m、n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2、－1、0、1、2、3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0、1、4、9.

121211且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.

663636故ξ的分布列为：

ξ P 0 1 61 1 34 1 39 1 6

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