概率论基础第二版第三章作业答案

第三章 随机变量与分布函数

2． 解：P{??1}?P{失成}?P{成失}?pq?qp，

P{??2}?P{失失成}?P{成成失}?ppq?qqp?p2q?q2p,?

所以?的概率分布为

p{x=k}=pkq+qkp,k=1,2,L。

3． 解： （1）1??f(k)?k?1Nc?N， ?c?1。 N?1 （2）1?c?k!?c(e??1)， ?c?(e??1)k?1??k。

4．证：

（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，F(x)非降。 （2）设x???xn?xn?1???x1?x0，xnˉx由概率的可加性得

???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0???F(x)?F(x)??F(xii?1?0)?F(x)。

由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，

n??i?0?F(x)?limF(xn)?F(x?0),F(x)右连续。

n??（3）1?P{??????}?n????P{n???n?1}

n????x???x????F(n?1)?F(n)??limF(n)?n??m???limF(m)。

由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得F(??)?0,F(?)?1。

5．证：f(x)?0，且

蝌-?ゥy=f(x)dx=x-ml 1-|y|edy=2 0e-ydy=-e-x￥0=1

?f(x)是一个密度函数。

6． 解：（1）P(260

镲10镲铪禳11镲（2）P(x<250)=P睚(x-270)<(250-270)

镲1010镲铪禳1镲=P睚(x-270)<-2=F(-2)=1-F(2)=0.017864

镲10镲铪 1

（3）P(300

禳1镲镲10镲铪

?0,?10．证法一：定义F(x)??P{0???x},?1,?x?(??,0]x?(0,1]则F(x)是?的分布函数。由题设得，对任x?(1,?)意2x?[0,1]有P{0???x}?P{x???2x}，即有P{0???2x}?2P{0???x}。由此得

1xF(2x)?2F(x)。逐一类推可得，若nx?[0,1]，则F(nx)?nF(x)，或者F(x)?F()。从而

nnmm?m?m对有理数，若x与x都属于[0,1]，则有F?x??F(x)。再由F(x)的左连续性可得，对任

nn?n?n意无理数a，若ax与x都属于[0,1]，则F(ax)?aF(x)。

因为区间[0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得

F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.

由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为

?0,x?0?F(x)??x,0?x?1

?1,x?1?∴ ?服从[0,1]上均匀分布。

证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得

F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}

?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)

等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且

F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度为0，由题设得P{??0}?P{??1}?0。由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。至此得证?服从[0,1]均匀分布。

12．证：分别对固定的x0和y0有

?1,F(x0,y)???0,y??x0?1,x??x0,F(x,y0)??y??x0?0,x??y0。

由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即F(??,y)?0,，

F(x,??)?0,F(??,??)?1但有

F(1,1)?F(1,0)?F(0,1)?F(0,0)??1,

这说明当取a1?a2?0,b1?b2?1时(2.5)式不成立。所以F(x,y)不是分布函数。

14．解：设f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)?0得h(x,y)??f1(x)f2(y)。又

1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy，

2

所以应有

??h(x,y)dxdy?0。

反之，若h(x,y)??f1(x)f2(y)，h(x,y)可积且

??h(x,y)dxdy?0，显然有f(x,y)?0且

??f(x,y)dxdy?1，即f(x,y)是密度函数。

所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)??f1(x)f2(y)且

??h(x,y)dxdy?0。

15．解：（1）1???0Ae?2xdx??0?1?e?ydy?A??e?2x??2?10???e?y|?0?0??A,A?2 2（2）P???2,??1???202?4?e?y|11?e?1)。 2e?2xdx?e?ydy??e?2x|00?(1?e)(????（3）?的边际分布，当x?0时f?(x)?0，当x?0时有

f?(x)??2e?2xe?ydy?2e?2x.

0?（4）P?????2???202e?2xdx??2x2?x0e?ydy

??2e02(1?e?(2?x)dx?(2e?2x?2e?(2?x)dx

02?(1?e?4)?(2e?4?2e?2)?1?e?4?2e?2?(1?e?2)2.

（5）当x?0,y?0时f(x|y)?0；当x?0,y?0时有

f(x,y)2e?(2x?y)?2x. f(x|y)???2e?yf?(y)e（6）P{??1}??dy?01?02e?(2x?y)dx??edy?2e001?y??(2x?y)dx??e?y10?1?e?1,

利用（2）的结果可得

P???2,??1?(1?e?4)(1?e?1)?1?e?4. P???2,??1????1P???1?1?e

17．证：设多项分布为

P{?1?k1,?,?r?kr}?ki?0,利用（2）可以把（1）改写成 P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}?

n!p1k1?p1kr， （1）

k1!?kr!?ki?1ri?n,?pi?1ri?1。 （2）

?n!p1k1?p1kr?(1?p1???pr?1)n?k1???kr?1 （3）

k1!?kr?1!(n?k1???kr?1)!由边际分布的定义并把（3）代入得

P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}??kr?1P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}

k1???kr?1?n,kr?1?0n?k1??kr?2r?2n!p1k1?prk?(n?k1???kr?2)!2r?1???prk?1? k1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!kr?1?0kr?1!(n?k1???kr?1)!

?(1?p1???pr?2pr?1)

n?k1???kr?1

3

由二项式定理得

P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}?n!n?k1???k2r?2 （4） ?p1k1?prk??(1?p???p)21r?2k1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得

P{?1?k1}?n!p1k1(1?p1)n?k1

k1!(n?k1)!从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。 21．解：（1）边际分布的密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时，

f?(x)?????f(x,y)dy??4xydy?2x

01同理，当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时f?(y)?2y。f(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?独立。

（2）边际密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时

f?(x)??f?(y)?????1???f(x,y)dy??8xydy?4x(1?x2)

01当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时

g(x,y)dx??8xydx?4y2

0在区域0?y?1中均有g(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?不独立。

23．证：当|x|?1时，

p?(x)?????p(x,y)dy??1?xy1dy?，

?1421

其余p?(x)?0。同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0当0?|x|?1, 0?y?1时有

p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。

现试能动分布函数来证?2与?2独立。?2的分布函数记为F1(x)，则当0?x?1时，

F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}??同理可求得?的分布函数F2(y)，得

2x?x1dx?x； 2x?0?0,?F1(x)??x,0?x?1?1,x?1,?

y?0?0,?F2(y)??y,0?y?1

?1,y?1,?(?2,?2)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0?x?1,y?1时

F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x

同理得当0?y?1,x?1时F3(x,y)?y；当0?x?1,0?y?1时

F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}

xy1?stds?dt?xy =??x?y4 4

?0,?x,??合起来写得 F2(x,y)??y,?xy,???1,24、证：由题设得

x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?10?x?1,0?y?1x?1,y?1

不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?2与?2独立。

11111????， 2222211111P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})?????。

22222P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])

1?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}??P{??1}P{??1}，

4P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])

1?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}??P{??1}P{???1}，

4同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，P{???1,???1}?P{???1}P{???1}. 所以?与?相互独立。用同样的方法可片?与?也相互独立。但

P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{???1,???1}])，

1P{??1}P{??1}P{??1}?，

8所以?,?,?只两两独立而不相互独立。

P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})?26、证：（1）由褶积公式及独立性得

P{?1??2?k}??P{?1?i,?2?k?i}??P{?1?i}P{?2?k?i}

i?0i?0kk??i?0k?i1i!e??1?e(k?i)!?k?12??21?(?1??2)kk!ik?1?e?1?2 ?k!i?0i!(k?1)!(?1??2)k?(?1??2)?e k?0,1,2,?

k!这就证明了?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2

P{?1?k,?1??2?n}（2）P{?1?k|?1??2?n}?

P{?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}P{?1?k}P{?2?n?k} ? ?P{?1??2?n}P{?1??2?n}?k?1k!e??1??k?n2(n?k)!ke??2(?1??2)n?(?1??2) ?en!n?k??2????????证毕。

2??111131．解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得x?(s?t),y?(s?t),|J|?。由?与?独立知，

222它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为

?n???1?????????k???1??2? 5

pUV(s,t)? ?12?1e4?e1?x22??12?e11?y221e?|J|?2?e1?s?????2??2?21??s?t??s?t????????2???2??2?22?????1 21?(s2?t2)42??2?12??2e1?t?????2??2?2?pU(s)pV(t)

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。

40．解：（2.22）式为

??(x?n)22r(x?a)(y?b)(y?b)2??1??p(x,y)?exp??????2?22??2(1?r)???2??1?21?r21212?????

设Ui????,Vi????;U?U1?a?b,V?V1?a?b。作变换s?x?y?a?b，

111t?x?y?a?b则x?a?(s?t)，y?b?(s?t), |J|?。U，V的联合密度函数为

222f(s,t)?p(x,y)|J|

1??(s?t)22r(s?t)(s?t)(s?t)2??111????exp???? 2?22??22??1?21?r24??2(1?r)4?4???1212????

?14??1?2??1222exp??s2?12??2?2?1?2?t2?12??2?2?1?2?2st(?2??12)? 2221?r2?8(1?r)?1?2???????设U，V的边际分布密度函数分别为fU(s),fV(t)，欲U与V独立，必须且只需f(s,t)?fU(s)?fV(t)，

2由f(s,t)的表达式可知，这当且仅当?2??12?0时成立。U，V相互独立与Ui,Vi相互独立显然是

等价的，所以Ui????,Vi????相互独立的充要条件是?1??2。当?1??2??时，得

????s21s2fU(s)?exp??f(t)?exp?， ?V2?2?4(1?r)?4(1?r)?2??(1?r)2??(1?r)????1U~N(0,2(1?r)?2),V~N(0,2(1?r)?2)。

41．解：（1）因为指数中二次项x,y,xy的系数分别为?1,?比较知，可设其配方后的形式为

221,?1，所以与(2.22)式（见上题解答）21?1?(x?s)2?(y?t)2?1?(x?s)(y?t)。

2??2s?t?11??比较系数得 ? ?s?t?7??s2?1t2?st?321?22?此方程组有唯一解s??4,t??3，由此得

??11??exp???x?4)2?(y?3)2?(x?4)(y?3)?? 2?2??????2??11(y?3)1(x?4)(y?3)????2exp??(x?4)??2? ???? 12121?2???2(1?)?2??1?21???2??2p(x,y)? 6

（2）与（2.22）式比较得，a?4,b?3,?1?1,?2?2,r??（3） p1(x)?

12。

?(x?4)2??(y?3)2?1exp??exp???， p2(y)??。

2?4?2?2???12?p(x,y)11???11????1??1（4）p(x|y)??exp???x???y?5???，它服从N??y?5,?。

22?p2(y)2?????2????2?

7

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