高中数学复习全套知识点

高中数学总复习资料

（文）

第一章 集合

一 定义

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。 二 集合的抽象表示形式

用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。 三 元素与集合的关系

有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作a?A；元素a不属于集合A，记作a?A。

四 几种集合的命名

有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合；

空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用?表示； 自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z； 有理数集：Q；实数集：R。 五 集合的表示方法

(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，

例如：{a,b,c}。

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。 (二) 描述法：有以下两种描述方式

1．代号描述：【例】方程x?3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。

2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。

1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的

子集，记作：A?B，如图1-1所示。 图1-1 子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集； (2)当A和B相等时，A仍为B的子集。

真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作A?B或A?B。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于A?B。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合， 有2n个子集，有2n -1个真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A?B的等价形式主要有：A?B?A，A?B?B。

22．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A?B，读作A交B，如图1-2所示。

图1-2 图1-3 图1-4

3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作A?B，读作A并B，如图1-3所示。

4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作CUA，读作A补，如图1-4所示。 德摩根公式 ：

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．

第二章 函数

一 映射与函数的基本概念

(一) 映 射

A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。

在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射 (Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。 (Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

(二) 函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。

函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。

对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式

函数与普通映射的区别在于： (1)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x

与其对应。

图2-4

二 定义域题型

(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式

直接考查：主要考解不等式。利用：在f(x)中f(x)?0；在

g(x)中，f(x)?0；f(x)在logaf(x)中，f(x)?0；在tanf(x)中，f(x)?k??在

?2；在f0(x)中， f(x)?0；

ax与logax中a?0且a?1，列不等式求解。

(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。

三 值域题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。 (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。 解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型

cx?dcy?y?(a?0)(1) ：则且y?R。

ax?ba(2)y?cx?d(x?2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求

ax?by的范围。

2x2?3x?2(3)y?：

6x2?x?1(2x?1)(x?2)x?21?(x?) ， y?(2x?1)(3x?1)3x?121y?且y?1且y?R。 则

32x?1(4)求y?2的值域，当x?R时，用判别式法

x?x?1求值域。y?2x?12?yx?(y?2)x?y?1?0， 2x?x?1 ??(y?2)2?4y(y?1)?0?值域 (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。

(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。

(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。

四 函数运算法则

（一） 指数运算法则

?an?am?n ②am?an?am?n mnmnmmm③(a)?a ④ab?(ab)

①a运用指数运算法则，一般从右往左变形。

（二） 对数运算法则 同底公式：①alogabm?b

MN

②logaM?logaN?loga(MN)

③logaM?logaN?loga④logaMn?nlogaM

运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。 不同底公式：①logaN?logmN

logmann②logamb?logab

m1③logab?

logba运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。

五 函数解析式

(一) 换元法：如f(2x + 3)=x+ 3x + 5，求f(3-7x)，

(设2x + 3=3-7t)。

2

11)?x2?2，求f(x)。 xx(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +?) + C中系数

(二) 构造法：如f(x?(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。 (五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。

六 常规函数的图像

常规函数图像主要有：

指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转， 底数越来越大 底数越来越小

幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。

七 函数的单调性

(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。

(二) 单调性题型：

1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。 复合函数法：

?11?x2 ：

↓，

当0 < x <1时，x↑，x2↑，- x2↓，

1↑，

?1↓

2.判断单调性

(1).求导函数：f?(x)?0为增函数，f?(x)?0为减函数

(2).利用定义：设x1

调性。

3.利用函数单调性：

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。 (2).比较函数值的大小：画图看

(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。 增函数x1?x2?f(x1)?f(x2)或f(x1)?f(x2)?x1?x2

减函数x1?x2?f(x1)?f(x2)或f(x1)?f(x2)?x1?x2

(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。 八 函数的奇偶性

(一)定义：如果f(?x)?f(x),则f(x)为偶函数；如果f(?x)??f(x),则f(x) 为奇

函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ：

(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负 (2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇

(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。 2.利用奇偶性：

(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式 (2).利用复合函数奇偶性结论：

F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇

F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：

F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。 3.奇偶函数图像的对称性

偶函数：关于y轴对称?若f(a?x)?f(b?x)?，

a?b对称 2奇函数：关于原点对称?若f(a?x)?f(b?x)?2m，

a?b则f(x)关于点(，m) 对称

2则f(x)关于x?九 函数的周期性

(一) 定义：

若f(x?T)?f(x)，则f(x)为周期函数，T为f(x)周期 (二) 周期性考点：

1.求周期：

(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =

(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C标准形式，直接读出周期T? 2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x) (1).求解析式 (2).求函数值

十 函数图像的对称性

(一) 一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于((二) 一个图关于直线对称： (Ⅰ)偶函数关于y轴对称

(Ⅱ) f(a?x)?f(b?x)，则f(x)关于x?2??

a?b，m)对称 2a?b对称 2(三) 两个图关于点对称

(Ⅰ)y?f(x)关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，

即-y=f(-x)

(Ⅱ)y?f(x)关于(a,b称的函数： )对

x?2a?x,y?2b?y即2b?y?f(2a?x)

(四) 两个图关于线对称

(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称 (Ⅱ)y= f(x)关于y=x + c对称的函数:x→y-c，y→x+c，

即x+c= f(y-c)

(Ⅲ)y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x→-y+c,y→-x+c，

即-x+c= f(-y+c)

(Ⅳ)f(x)与f(-x)关于y轴对?f(a+x)与f(b-x)关于

x?b?a对称 2

(Ⅴ)f(x)与-f(x)关于x轴对称

十一 原函数与反函数

反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。

（一） 求反函数：先反表示，再x,y互换；或先x,y互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。

（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。

1．定义域、值域：

原函数自变量等价于反函数函数值， 原函数函数值等价于反函数自变量； 原函数定义域等价于反函数值域， 原函数值域等价于反函数定义域。

2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性

3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。 4．对称性：原函数与反函数图像关于y?x对称，原函数与反函数交点一定在y?x上。

第三章 数列

第一部分 等差数列

一 定义式： an?an?1?d 二 通项公式：an???am?(n?m)d

??a1?(n?1)d一个数列是等差数列的等价条件：an?an?b(a，b为常数)，即an是关于n的一次函数，因为n?Z，所以an关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n项和公式：

n(a1?an) Sn? ………… ①

2?na中间项 ………… ②

?na1?n(n?1)d …… ③ 2按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③

一个数列是等差数列的另一个充要条件：Sn?an2?bn(a，b为常数，a≠0)，即Sn是关于n的二次函数，因为n?Z，所以Sn关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论

(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d (二)a与b的等差中项A?a?b；

2在等差数列?an?中，若m?n?p?q，则

am?an?ap?aq；若m?n?2p，则am?an?2ap；

(三)若等差数列的项数为2nn?N?，则S偶?S奇?nd，

??S奇S偶?an； an?1?若等差数列的项数为2n?1?n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，

S奇S偶?n n?1(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设A?a1?a2???an,，

B?an?1?an?2???a2n，

C?a2n?1?a2n?2???a3n，则有2B?A?C；

(五)a1?0,Sm?Sn,则前Sm?n(m+n为偶数)或Sm?n?1(m+n为奇数)最大

22

第二部分 等比数列

an?q(n?2,an?0,q?0)?{an}成等比数列。 一 定义：an?1二 通项公式：an?a1qn?1，an?amqn?m

数列{an}是等比数列的一个等价条件是：

当q?0且q?0时，an关于n的图像是指数函数图像的分点Sn?a(bn?1),(a?0,b?01，）表示形式。

(q?1)?na1?n三 前n项和：Sn??a1(1?q)a1?an?1q；

?(q?1)?1?q1?q?(注意对公比的讨论)

四 性质结论：

(一)a与b的等比中项G?G?ab?G??ab(a,b同号)； (二)在等比数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

若m?n?2p，则am?an?ap；

(三)设A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，

22C?a2n?1?a2n?2???a3n， 则有B2?A?C

第三部分 求杂数列通项公式an

一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。

第一类：

3an?2an?1?5?0?3(an?5)?2(an?1?5) an?52???{an?5}an?1?5322n?1是公比为的等比数列?an?5?(a1?5)()，从而求出an。

33第二类：

an?1?3an?4n?8?0?an?1?2(n?1)?5?3(an?2n?5)?an?1?2(n?1)?5?3an?2n?5

?{an?2n?5}

是公比为3的等比数列?an?2n?5?(a1?7)?3n?1.

第三类：an?an?1?3n，系数之比为1的时候用叠加法。

第四类：既有Sn又有an利用Sn?Sn?1?an，将所有S换成a，或者将所有a换成S。 第五类：关于an与an?1的二次式，或者Sn与Sn?1的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。

二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，

an?1?1?an?1，

2an?1?1111两边取倒数??2??{}是公差为2的等差数列an?1?1an?1an?1例如：

?11??2(n?1)，从而求出an。 an?1a1?1第二类：

(n2?1)an?n2an?1?n(n?1)? n?1n?n?1?an?an?1?1??an?是公差为1的等差数列 nn?1n??n?11?12n?an?a1?an?

n1n?1三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如an?nan?1?an?nn??1a?n?2?????an?na!1

1】 【注: n!?n(n?1)(n?2)?求通项公式an的题，不能够利用构造等比或者构造等差求an的时候，一般通过递推来求an。

第四部分 求前n项和Sn

一 裂项分组法：

1111??????11111?22?33?4（nn?1）1,2,3,4,?的前n和是：39278111111111(?)?(?)?(?)???(?)、

1111122334nn?1（+12+3+4+?）+（+++??）11n392781???1n?1n?1二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

求：

Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)Sn=x?3x2?5x3???(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn (x?1)① xSn=x2?3x3?5x4??(2n-5)xn-1?(2n-3)xn?(2n-1)xn+1 (x?1)② ①减②得：

(1?x)Sn=x??2x2?2x3???2xn-1?2xn???2n?1?xn+1?x?2x2?1?xn-1?1?x??2n?1?xn+1

从而求出Sn。

错位相减法的步骤：

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式 (3)用①?②，错位相减 (4)化简计算

三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

1：等差数列求和：

Sn=a1?a2?a3???an?2?an?1?anSn=an?an?1?an?2???a3?a2?a1两式相加可得：

2Sn=?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????a3?an?2???a2?an?1???a1?an??n?a1?an??Sn2：设

f(x)?1.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 x2?2f(?5)?f(?4)?......?f(0)?......f(5)?f(6)的值为_________. Sn?f(?5)?f(?4)???f(5)?f(6) ①

Sn?f(6)?f(5)???f(?4)?f(?5) ②

①+②得

2Sn??f(?5)?f(6)???f(?4)?f(5)?????f(5)?f(?4)???f(6)?f(?5)?

112?f(?n)?f(n?1)??n?n?1?,

22?22?2

∴Sn?32

第四章 三角函数

一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x轴上的角的集合： ?|??k?180?,k?Z 终边在y轴上的角的集合： ?|??k?180??90?,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合：?|??k?90?,k?Z (4)终边相同的角：与?终边相同的角x???2k? (5)与?终边反向的角： x???(2k?1)?

终边在y=x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z 终边在y??x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z

(6)若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? (7)成特殊关系的两角

若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? 若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? 若角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90? 注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：

1.表示终边位于指定区间的角.

1:写出在?720?到720?之间与?1050?的终边相同的角.

??????????2:若?是第二象限的角,则2?,?2是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.

3:①写出终边在y轴上的集合.

②写出终边和函数y??x的图像重合,试写出角? 的集合. ③?在第二象限角,试确定2?,??,所在的象限. 23④?角终边与168?角终边相同,求在[0?,360?)内与

（二）弧度制

1、弧度制的定义：???终边相同的角. 3l R

2、角度与弧度的换算公式：

360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型

（1）角度与弧度的互化 例:315?,330?,?,? （2）??7643L112，l?r?,s?lr?r?的应用问题 R2221:已知扇形周长10cm,面积4cm,求中心角.

2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm,求扇形的面积. 3:已知扇形周长40cm,半径和圆心角取多大时,面积最大. 4:?1??570?,?2?750?,?1? a.求出?1,?2弧度,象限.

b.?1,?2用角度表示出,并在?720?~0?之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数

（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义

37?,?2??? 53正弦sin??yxyx,余弦cos??,正切tan??,余切cot??2、三角函数的定义域： rrxy 三角函数 f(x)?sinx f(x)?cosx f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx 定义域 ?x|x?R? ?x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z?

（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义

如图(1)PM表示?角的正弦值，叫做正弦线。OM表示?角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)AT表示?角的正切值，叫做正切线。AT?表示?角的余切值，叫做余切线。 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式

(1)sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1

(2)商数关系：

sin?cos??tan? ?cot? cos?sin?222222(3)平方关系：sin??cos??1，1?tan??sec?，1?cot??csc? （四）诱导公式

sin(2k??x)?sinxcos(2k??x)?cosxsin?(x)??sinxcos?(x)?cosx?(x)??tanx tan(2k??x)?tanx tancot?(x)??coxtcot(2k??x)?cotxsin(??x)??sinxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxcot(??x)?cotxsin(??x)?sinxsin2?(?x)??sinxcos2?(?x)?cosxtan2?(?x)??tanx

2?(?x)??coxt cot1cos(???)??sin?21sin(???)?cos?21tan(???)??cot?21sin(???)?cos?2cos(??x)??cosx1cos( ? ? ? ) ? sin ?tan(??x)??tanx 21tan(???)?cot?cot(??x)??cotx2

三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像： 1．正弦函数

2．余弦函数

3．正切函数

4.余切函数

（二）、函数图像的性质

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y?sinxR 定义域 y?cosxR xy?tany ?cotx x|x?R且x?k???x|x?R且1x?k????2值域 周期 奇偶 [?1,?1] [?1,?1] R R 2? 奇函数 2? 偶函数 上为? 奇函数 ? 奇函数 [??2?2k?,[?2k?1??,2k?]?2单调 上为增???????k?,?k??2?2?上为增函数 (k?Z) ?k?,k???? 上为减函数 (k?Z) ?2k?][函数 ?2k?,2增函数 3??2k?]2上为减函数(k?Z) 对称轴为?[2k?, ?2k?1??]上为减函数 (k?Z) 对称轴为x?k?， 无对称轴， 对称中心为 无对称轴， 对称中心为 x?k??对称 ?，对称2对称中心为中心为(k?,0) ，(k???2,0) k?Z (k?,0) k?Z2 (k?,0) k?Z 2 k?Z

（三）、常见结论：

1.y?sinx与y?cosx的周期是?.

?x??)或y?cos(?x??)(??0)的周期T?2.y?sin(2??.

3.y?tanx的周期为2?. 2?x??)的对称轴方程是x?k??4.y?sin(?2(k?Z)，对称中心(k?,0)；

)，对称中心(k???,0)；

y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?(k?Z12y?tan(?x??)的对称中心(

tan??1,????k??5.当tan?·

k?,0). 22(k?Z)；

?tan???1,????k???· tan6.函数

?2(k?Z)

y?tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

y?tanx为增函数，同样也是错误的.

7.奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.(0?x的定义域，则无此性质)

8. y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数(T??)；

y?cosx是周期函数(如图)；y?cosx为周期函数(T??)；

y?cos2x?

1的周期为?(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2▲▲yyx1/2xy=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象四 和角公式

两角和与差的公式

cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin????)? tan(tan??tan?

1?tan?tan?tan??tan?

???)? tan(sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin?

五 倍角公式和半角公式

（一）倍角与半角公式：

sin2??2sin?cos?

sin?2??1?cos?2 cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?cos?cos?2??1?2 tan2??2tan?1?tan2?tan?1?cos?sin?1?cos2??1?cos??1?cos???sin? （二）万能公式： 2tan?sin??21?tan2?1?tan2? cos??2 21?tan2? 2

六 三角函数的积化和差与和差化积 公式

1?tan?tan?2tan?tan??21?tan2?2

1?sin??????sin???????2?1cos?sin???sin??????sin????????2

1cos?cos???cos??????cos????????21sin?sin????cos??????cos???????2?sin?cos??sin??sin??2sinsin??sin??2cos???22cos???22

???sin???cos??cos???2sin???2sin???2

sin15??cos75??6?26?2??, sin75?cos15?, 44tan15??cot75??2?3, tan75??cot15??2?3

第五章 平面向量

一 向量的概念 向量的常识性概念

1．向量：既有大小又有方向的量

?????大小；字母表示，向量可以写成AB,a(手写版)或 a(印刷版)

2．向量的表示：图形表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长短表示向量的

3．零向量：大小为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

4．向量共线或平行：两个向量方向相同或相反时，都可以称作两个向量共线或平行。a与b平行或共线的等价条件是：a=kb

图9-1

二 向量的加减法运算

（一）几何运算：五大运算工具，凡是加减法几何运算，先从加法角

度来理解，再利用加法交换律算减法

1.平行四边形法则(如图9-1)：两个向量的和等于以

这两个向量的临边的平行四边形的对角线表示的向量

????????????AB?AD?AC 图9-1

2.三角形法则(如图9-2)： 首位相连的两个向量之和

????????????等于另一个向量(与前两个不首尾相连) AB?BC?AC ，????????????AC?AB?BC 图9-2

????????????????????向量AB?BC?CD?DF?AF

4.中线法则(如图9-4)：三角形底边中线所表示的向量等于两临边

向量之和的一半。在向量图形中提到中点，一定用中线 图9-3

法则解题。 图中 D 为 BC 中点。

3.多边形法则(如图9-3)：首尾相连的若干个向量之和等于另一个

????????????AB?AC?2AD

图9-4

(五)终边在一条直线上的多向量运算(如图9-5)：起始点相同，终点落在同一条直线上的三个向量，其中任何一个可以用其他两个乘以系数加和表示。两个系数之和一定为1。凡在同一个图中出现以下形式的三个向量，

一定用此结论解题。证明过程如下：

图9-5

????????????????????????BC?AC?ABCD?AD?AC?????????????????BC与CD共线?BC?kCD?????????????????AC?AB?kAD?AC??

?????????????AB?（1+k）AC?kAD????1+k????1????AD?AC?ABk????????????k结论：AB?m1AC?n1ADm1?n1?1

????????????AC?m2AB?n2ADm2?n2?1 ????????????AD?m3AB?n3ACm3?n3?1

（二）坐标运算：基本运算法则

????k????1????AC?AD?AB1+k1+k?已知a?(x1,y1),????ka?(kx1,ky1)?a?(?x1,?y1)，表示与a大小相等方向相反的向量，叫a的相反向量。

?????b?(x2,y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2) ，a?b?(x1?x2,y1?y2)

三 向量的乘法运算

（一）坐标运算：

?已知a?(x1,y1),???b?(x2,y2) a?b?x1x2?y1y2

注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数。 （二）向量的公式运算：

??????1．乘法公式： a?b?a?b?cos? ?是a与b的夹角，???0,??

2．混合运算公式：

???????????????(1)a?bc?d?a?c?a?d?b?c?b?d ????(2)a?b?b?a

??????????(3) a?b?c?c?b?a即多个向量相乘除不能改变运算顺序。

四 向量运算的应用

2（一）求向量的模：根据向量的乘法公式a?a=x2?y2

2??a?b（二）求向量的夹角：根据向量的乘法公式cos????，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法

a?b公式解题。

???（三）投影问题(如图9-6 )：a在b上的投影就是acos?，只有

乘法运算中才能出现这种形式，凡是提到一个向量在另一个向量上的投影，一定要列这两个向量的 乘法公式解决问题。

图9-6

（四）向量垂直：

????oa?b?夹角??90?a?b?0?x1x2?y1y2?0 ????（五）向量平行：a//b?a?kb?x1y2?x2y1

第六章 不等式

一 不等式的证明

证明不等式选择方法的程序：

①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；

②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方； 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：

a2?b2a?b2(当a = b时取等)

??ab?1122?ab3abc?a?b?c3，

a1?a2?a3?a1?a2?a3，

a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)

④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；

⑤逆代：把数换成字母；

⑥换元：均值换元或三角换元；

⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；

⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；

⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

01nCn?Cn???Cnn?202413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak为Tk?1的系数或系数

A?AA?Ak?1k?1?k?k解. 当a?1或b?1时，一般采用解不等式组?的绝对值）的办法来求解.

?如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a?b)n?rCr，另一方面在pqrnqn?r?qqqpq(a?b)n?r中含有bq的项为Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的项为

rqpqrCnCn?rabc.其系数为CnrCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.

r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)n?1?na，因为这时展开式的后

2233nn面部分Cna?Cna???Cna很小，可以忽略不计。类似地，有(1?a)n?1?na但使用这两个

公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

第十一章 概率

一 事件 （一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象 （二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象 （三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件 二 概率

在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

1.概率： 一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率

2．概率的性质：

①随机事件的概率为0?P(A)?1，

②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用?和?表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P????1，P????0;

mm作为事件A发生的概率的近似值，即P?A??

nn3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;

（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性. 1.随机事件的概率：

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A，用P?A?表示事件A发生的概率.

三 古典概型

1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．

2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。

3、如果一个随机试验满足：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的；

那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型． 4、古典概型的概率：

如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)?5、古典概型解题步骤： ?阅读题目，搜集信息；

?判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

?求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m； ?用公式P(A)?1；nm． nm求出概率并下结论. n四 几何概型

１．几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． ２．几何概型的基本特点：

（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． ３．几何概型的概率：

一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件

A，则事件A发生的概率P(A)?d的测度．

D的测度说明：（１）D的测度不为0；

（２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相

应的＂测度＂分别是长度，面积和体积． （３）区域为＂开区域＂；

（４）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部

分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

（选）第一章 统计

第一部分 抽样方法

一 总体、个体、容量

一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本的容量。

二 简单的随机抽样

1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n?N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。

3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为

n。 N三 系统抽样

1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。

2.系统抽样的四个步骤可简记为：―编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样本‖四步。

3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值k?N作为分

n段间隔．如果k?N不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个

n体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。 四 分层抽样

当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。

利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。 注意

（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。 五 三种抽样方法的比较

（1）列表比较： 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽过程种个个体抽取的会均等 样每被机从总体中逐个抽取 总体种的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 将总体分成几层，分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体种的个体数较多 分层抽样 总体由差异明显的几部分组成

(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样。

六 抽样方法的选择

(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一样的。

(2)对于系统抽样和分层抽样．如果N不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概

n率不变，如从1003个总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为10001010 ??100310001003(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。

(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要求被抽取样

本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。 (5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．

（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本。

第二部分 用样本估计总体

一 用样本估计总体

(1)频率分布

样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶图，频率分布直方图来表示．

(2)频率分布折线图

连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。 (3)总体密度曲线

①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y?f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。

②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a，b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积．对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。

(4)茎叶图表示数据有两个突的优点

其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录于表示。

二 众数、中位数、平均数、方差、标准差

(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 (2)一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

(3)如果有几个数x1,x2?,xn那么x?x1?x2???xn叫做这几个数的平均数。

n如果在几个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，（这里

f1?f2???fn?n)，那么

x?1(x1f1?x2f2???xkfk) 叫做这几个数的加权平均数。 n(4)标准差与方差

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。 设一组数据x1,x2?,xn的平均数为x， 则s?21?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2?，其中s2表示方差而s表示标准差。

?n?三 频率分布图(表)和频率分布直方图

(1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。

(2)作频率分布直方图的步骤：

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库高中数学复习全套知识点在线全文阅读。