高考知识点同角三角函数基本关系式与诱导公式

第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式

sin α最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α；

cos α2

2

π

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知 识 梳 理

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin α(2)商数关系：＝tan__α.

cos α2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α 三 －α 四 π－α sin__α －cos__α 五 π2－α cos__α sin__α 六 π2＋α cos__α －sin__α －sin__α －sin__α －cos__α cos__α tan__α －tan__α －tan__α 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 [常用结论与微点提醒]

1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )

π

(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) 11

(4)若sin(kπ－α)＝3(k∈Z)，则sin α＝3.( ) 解析 (1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立. 1

(4)当k为奇数时，sin α＝3， 1

当k为偶数时，sin α＝－3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

4

2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝5，则cos (π＋α)＝( )

3344A.－5 B.5 C.－5 D.5 3

解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝5，所以cos(π＋α)＝－cos α＝3

－5，故选A. 答案 A

?5π?1

?＝，那么cos α＝( ) 3.已知sin?＋α

?2?5211A.－5 B.－5 C.5

2

D.5 ?5π??π?1

解析 ∵sin?＋α?＝sin?＋α?＝cos α，∴cos α＝5.故选C.

?2??2?答案 C

4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则

tan α＋1tan α－1

2＋12－1

sin α＋cos α

的值为________.

sin α－cos α

解析 原式＝答案 3

＝＝3.

π?4?

5.已知sin θ＋cos θ＝3，θ∈?0，?，则sin θ－cos θ的值为________.

4??

47

解析 ∵sin θ＋cos θ＝3，∴sin θcos θ＝18.

22

又∵(sin θ－cos θ)＝1－2sin θcos θ＝9， ?2π?

又∵θ∈?0，?，∴sin θ－cos θ＝－3.

4??2

答案 －3

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

5π3π1

【例1】 (1)(2018·兰州测试)已知sin αcos α＝8，且4<α<2，则cos α－ sin α的值为( ) 3A.－2

3B.2

3C.－4

3D.4 3

(2)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝4，则cos2α＋2sin 2α＝( ) 644816A.25 B.25 C.1 D.25 5π3π解析 (1)∵4<α<2，

∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.

13

又(cos α－sin α)＝1－2sin αcos α＝1－2×8＝4，

3

∴cos α－sin α＝2.

2

2cosα＋2sin 2α1＋4tan α6432

(2)tan α＝4，则cosα＋2sin 2α＝＝＝25. 222

cosα＋sinα1＋tanα答案 (1)B (2)A

规律方法 1.利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用

cos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.

2

2

sin α2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos

α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.

3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2

α.

【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则10A.3

5B.3

2C.3

1

的值为( )

cosα＋2sin αcos α

2D.－2

π?π???

(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈?0，?，tan α＝2，则cos?α－?＝________.

2?4???1

解析 (1)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－3，cos2α＋sin2α1＋tan2α1

cosα＋2sin αcos α2

＝

＝

cos2α＋2sin αcos α1＋2tan α?1?21＋?－3???10＝＝23. 1－3

(2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 1

又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝5.

?525π?

因为α∈?0，?，所以cos α＝5，sin α＝5.

2??ππ?π?

因为cos?α－?＝cos αcos 4＋sin αsin 4，

4???52252310π?

所以cos?α－?＝5×2＋5×2＝10. 4??310

答案 (1)A (2)10 考点二 诱导公式的应用 【例2】 (1)已知A＝

sin（kπ＋α）cos（kπ＋α）

＋(k∈Z)，则A的值构成的集

sin αcos α

合是( )

A.{1，－1，2，－2} C.{2，－2}

B.{－1，1}

D.{1，－1，0，2，－2}

sin αcos α解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；

sin αcos α－sin αcos αk为奇数时，A＝－＝－2.

sin αcos α答案 C (2)求值： 设f(α)＝

2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）

(1＋2sin α≠0)，求

3ππ????

1＋sin2α＋cos?＋α?－sin2?＋α?

?2??2?

?23π?

?的值. f ?－

6??

解 ∵f(α)＝

（－2sin α）（－cos α）＋cos α

1＋sin2α＋sin α－cos2α

2sin αcos α＋cos αcos α（1＋2sin α）1＝＝＝， 22sinα＋sin αsin α（1＋2sin α）tan α?23π?

?＝∴f?－

6??＝3.

规律方法 1.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为

1

?23πtan?－

6?

11

＝＝ π?π??

?tan?－4π＋?tan

6?6??

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