指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

一、指数的性质 （一）整数指数幂

n1．整数指数幂概念： a?a??a????a (n?N?) a?1?a?0? ???0n个a a?n?1? a?0,n?N??nannnnmnm?n2．整数指数幂的运算性质：（1）a?a?a?m,n?Z? （2）?am??amn?m,n?Z?

（3）?ab??a?bn?n?Z?

其中a?a?a?amnm?n?am?nan?a??1nn?n， ????a?b??a?b?n．

b?b?3．a的n次方根的概念 即： 若xn一般地，如果一个数的n次方等于an?1,n?N?，那么这个数叫做a的n次方根，

?a，则x叫做a的n次方根， ?n?1,n?N?

???例如：27的3次方根327?3， ?27的3次方根3?27??3，

32的5次方根532?2， ?32的5次方根5?32??2．

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a?0则na?0，若a?o则na?0；

②若n是偶数，且a?0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：

?na；（例如：8的平方根?8??22 16的4次方根?416??2）

③若n是偶数，且a?0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④?0?0n?1,n?Nn??? ∴n0?0；

⑤式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴

??nan?a．

．

4．a的n次方根的性质

一般地，若n是奇数，则annn?a；

?a 若n是偶数，则a?a????ana?0a?0．

5．例题分析：

例1．求下列各式的值：

3 （1）3?8 （2）

????10?2 （3）4?3??? （4）

4?a?b?2?a?b?解：略。

?例2．已知a?b?0, n?1,n?N， 化简：n?a?b??n?a?b?．

nn解：当n是奇数时，原式?(a?b)?(a?b)?2a

当n是偶数时，原式?|a?b|?|a?b|?(b?a)?(?a?b)??2a 所以，n?a?b??n?a?b???nn?2an为奇数．

?2an为偶数?例3．计算：7?40?7?40

解：7?40?7?40?(5?2)2?(5?2)2?25

例4．求值：

59??5． 24259?455（5?2） ???242459??5?解：24?55?2??2226?25（5?1）??445?1 2（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

5a?a?a102105?a?0?

3a?a?a124123?a?0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

k如果幂的运算性质（2）a??3n?akn对分数指数幂也适用，

42255?3?4?2???2532例如：若a?0，则?a3??a3?a，?a4??a4?a， ∴a?a3

????4 a?a．

545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a （2）正数的负分数指数幂的意义是amnm?n?nam?a?0,m,n?N?,n?1?；

?1amn?1nam?a?0,m,n?N?,n?1?．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

?1?aras?ar?s?a?0,r,s?Q??3??ab?r

??Q ?2??ar??ars?a?0,r,ss?arbr?a?0b,?0r,?Q?

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式?a?o?：

2 a?a， a?a，

332aa.

解：a?a=a?a?a2322122?11312?a；

12523332 a?a=a?a?a；

3????aa=?a?a???a??a4．

????121232例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

3151111????2?????（1）?2a3b2???6a2b3????3a6b6?； （2）?m4n8?；

????????15111?2?????解（1）?2a3b2???6a2b3????3a6b6?

??????8 =??2???6????3???a =4ab?4a；

08211??326b115??236

33???1??1???8m22?3844 （2） ?mn?=?m??n?=mn?3．

n??????例3．计算下列各式：

a234（1）5?125?5 （2）?a?0?．

32aa231131?2?34解：（1）5?125?5=?53?52??54=53?54?52?54

??88?????5=1255?545； 5a2a2 （2）=12?a6?6a5．

a3a2a2a3 =551254（三）综合应用

例1．化简：5解：5x?1x?1?5x?5x?1.

?5x?5x?1=5x?1(1?5?25)=31?5x?1=

1212141431x?5. 5 例2．化简：(x?y)?(x?y).

解：(x?y)?(x?y)?(x?y)(x?y)?(x?y) ?x?y． 评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(x)?x进而使问题得到解决。 例3．已知x?x12?112?1212121414141414141414141414212，由此联想到平方差公式的特点，

（1）x?x；（2）x?x. ?3，求下列各式的值：

?12232?32解：（1）?(x?x)?(x)?2xx12?12?1?(x)?x1?x?1?2?3?2?5，

121212212?12?122

∴x?x??5，

?3得x?0，∴x?x12?又由x?x12?0，

所以x?x

??5.

12312312121221212122（2）（法一）x?x12?1232?32＝（x)?(x)?(x?x)[(x)?xx323223223232????(x)]

??(x?x)[(x?x?1)?1]?5(3?1)?25，

（法二）[(x)?(x)]?(x)?(x)?2xx而x?x323?332?2????x3?x?3?2

?(x?x?1)(x2?x?2?1)

322?(x?x?1)[(x?x?1)2?3]?3?(32?3)?18

∴(x?x)?20，

又由x?x32?1??3?0得x?0，∴x?x?3232?32?0，

所以x?x?20?25.

二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数y?a（a?0且a?1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

x2．指数函数y?a在底数a?1及0?a?1这两种情况下的图象和性质：

xa?1 0?a?1 图象 性质 （1）定义域：R （2）值域：(0,??) （3）过点(0,1)，即x?0时y?1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

例1．求下列函数的定义域、值域： （1）y?812x?11xax?1?x （2）y?1?() （3）y?3 （4）y?x (a?0,a?1)．

2a?1解：（1）?2x?1?0 ∴x? 令t?11 原函数的定义域是{xx?R,x?}， 221 则t?0,t?R 2x?1t ∴y?8(t?R,t?0)得y?0,y?1， 所以，原函数的值域是{yy?0,y?1}．

（2）?1?()?0 ∴x?0 原函数的定义域是?0,???，

x12 令t?1?()(x?0) 则0?t?1， ?y?t在?0,1?是增函数 ∴0?y?1， 所以，原函数的值域是?0,1?． （3）原函数的定义域是R， 令t??x 则t?0，

12x?y?3t在???,0?是增函数， ∴0?y?1，

所以，原函数的值域是?0,1?．

（4）原函数的定义域是R，

ax?1y?1(a?0,a?1)得ax??由y?x， a?1y?1y?1?0， ∴?1?y?1， ?ax?0 ∴?y?1所以，原函数的值域是??1,1?．

说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

ax?1例2．当a?1时，证明函数y?x 是奇函数。

a?1证明：由a?1?0得，x?0，

故函数定义域{xx?0}关于原点对称。

x

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