12π4π
[解析] cosx＝－时，x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z，cosx＝1时，x＝2kπ，k233∈Z.
2π
由图象观察知，b－a的最小值为.
3
(理)(2011·江苏南通一模)函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)π
＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．
2
[答案] 1
π
[解析] f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2sin(ωx＋)，
3
πTπ
由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知，＝，T＝2π，所以ω
242＝1.
π2
8．已知关于x的方程2sinx－3sin2x＋m－1＝0在x∈(，π)上有两个不同的实数根，
2则m的取值范围是________．
[答案] －2 [解析] m＝1－2sinx＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x π ＝2sin(2x＋)， 6 π ∵x∈(，π)时，原方程有两个不同的实数根， 2 ππ ∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋)，x∈(，π)有两个不同的交点，∴－2 62π 9．(2011·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈ 3π [－，0]，则x0＝________. 2 π [答案] － 6 ππ [解析] ∵函数y＝2sin(2x＋)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin(2x0＋)33＝0， ππ ∵x0∈[－，0]∴x0＝－. 26 π 10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1. 6 2 (1)求f(x)的最小正周期； ππ (2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值． 64π [解析] (1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1 6＝4cosx(31 sinx＋cosx)－1 22 2 ＝3sin2x＋2cosx－1＝3sin2x＋cos2x π ＝2sin(2x＋)． 6 所以f(x)的最小正周期为π. ππππ2π (2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663πππ 于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 626πππ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1. 666 (理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b＋ 3.2 [来源:Zxxk.Com](1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； π (2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域． 2[解析] (1)f(x)＝sinxcosx－3cosx＋133＝sin2x－(cos2x＋1)＋ 22213π ＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)， 223所以f(x)的最小正周期为π. ππ 令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ， 33∴x＝ 2 3 2 kπ π ＋，k∈Z. 26 故所求对称中心的坐标为( kπ 2 ＋π ，0)(k∈Z)． 6 πππ2π (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 2333 ∴－ 3π3 ≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－，1]. 232 能力拓展提升 cosx11.(文)(2011·苏州模拟)函数y＝sinx·||(0 sinx [答案] B cosx[解析] y＝sinx·|| sinx??π＝?0，x＝2π?－cosx， π cosx，0 2 . π (理)(2011·辽宁文)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图 2π 象如图，则f()＝( ) 24 A．2＋3 C.3 3 B.3 D．2－3 [答案] B 3ππ [解析] 由图可知：T＝2×(π－)＝， 882π ∴ω＝＝2， T3 又∵图象过点(π，0)， 8 33 ∴A·tan(2×π＋φ)＝A·tan(π＋φ)＝0， 84π ∴φ＝. 4 π 又∵图象还过点(0,1)，∴Atan(2×0＋)＝A＝1， 4π ∴f(x)＝tan(2x＋)， 4πππ∴f()＝tan(2×＋) 24244πππ ＝tan(＋)＝tan＝3. 1243 12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( ) A．98π C．99π [答案] C 1992π [解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用49个周期，∴·≥1，∴ω≤99π， 22ω故选C. 197B.π 2D．100π ?π?(理)有一种波，其波形为函数y＝sin?x?的图象，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个?2? 波谷(图象的最低点)，则正整数t的最小值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案] C ?π??π?[解析] ∵y＝sin?x?的图象在[0，t]上至少有2个波谷，函数y＝sin?x?的周期T?2??2? ＝4， 7 ∴t≥T＝7，故选C. 4 ππ 13．(文)(2011·南昌调研)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周 22π 期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中： 12 π ①图象关于点(，0)对称； 4π ②图象关于点(，0)对称； 3π ③在[0，]上是增函数； 6π ④在[－，0]上是增函数中， 6所有正确结论的编号为________． [答案] ②④ 2πππ [解析] 由最小正周期为π得，＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x＝对称，∴2× ω1212ππ ＋φ＝，∴φ＝， 23 πππ1ππ ∴f(x)＝sin(2x＋)，当x＝时，f()＝≠0，故①错；当x＝时，f()＝0，故 344233πππ5ππ ②正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ＋，令k＝0得， 2321212－ 5ππ ≤x≤，故③错，④正确，∴正确结论为②④. 1212 (理)(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝xsinx，现有下列命题： ①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)的图ππ 象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[－，0]上单调递减． 22 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④ πππ [解析] ∵y＝x与y＝sinx均为奇函数，∴f(x)为偶函数，故①真；∵f()＝，f( 222ππ ＋2π)＝＋2π≠， 22 ∴②假；∵f( ππ3π3ππ3ππ3π )＝，f()＝－，＋＝2π，＋(－)≠0，∴③假；设22222222 4-3三角函数的图象与性质 闯关密练特训 π 1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移 3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) 1 A. 3C．6 [答案] C π2π [解析] 由题意知，＝·k(k∈Z)， 3ω∴ω＝6k，令k＝1，∴ω＝6. (理)(2012·浙江诸暨质检)函数f(x)＝sin2x＋3cos2x的图象可以由函数y＝2sin2x的图象经哪种平移得到( ) π A．向左平移个单位 12π C．向右平移个单位 12[答案] B [解析] ∵f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋ ππ )＝2sin2(x＋)，∴f(x)的图象可以36π B．向左平移个单位 6π D．向右平移个单位 6B．3 D．9 π 由函数y＝2sin2x向左平移个单位得到，故应选B. 6 π 2．(文)(2012·福建文，8)函数f(x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( ) 4πA．x＝ 4π C．x＝－ 4[答案] C [解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． π 函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴是 4 πB．x＝ 2π D．x＝－ 2 x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋ π4π23π ，k∈Z. 4 3ππ 当k＝－1时，x＝－π＋＝－. 44 [点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． π (理)(2011·海淀模拟)函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为( ) 3πA．x＝ 12πC．x＝ 3[答案] A ππkππ [解析] 令2x＋＝kπ＋得x＝＋，k∈Z， 32212π 令k＝0得x＝，故选A. 12[点评] f(x)＝sin(2x＋π ，∴选A. 2 π 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y＝sin(2x＋)的一个递减区间为( ) 6π2π A．(，) 63ππ C．(－，) 22[答案] A ππ3π [解析] 由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋得， 262 ππ B．(－，) 36π3πD．(，) 22 πππ )的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×＋＝3123 5π B．x＝ 12πD．x＝ 6 kπ＋≤x≤kπ＋ π62π (k∈Z)， 3 π2π 令k＝0得，≤x≤，故选A. 63 ππ (理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调 42递减，则ω的取值范围是( ) 15 A．[，] 241 C．(0，] 2[答案] A [解析] 本题考查了三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及间接法解题． 13B．[，] 24D．(0,2] π5π9ππ3π5π ω＝2?ωx＋∈[，]不合题意，排除D，ω＝1?(ωx＋)∈[，]合题意， 444444排除B，C. ππ 4．(2011·大连模拟)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2， 34则ω的最小值为( ) 2A. 3C．2 [答案] B [解析] ∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π≤， 3 33∴ω≥，即ω的最小值为. 22 5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( ) ππTππ ，]上的最小值为－2，∴≤，即34432ω3B.2 [来源:Zxxk.Com] D．3 ππ A．ω＝，φ＝ 24ππ B．ω＝，φ＝ 36ππ C．ω＝，φ＝ 44π5π D．ω＝，φ＝ 44[答案] C T2ππ [解析] ∵＝3－1＝2，∴T＝8，∴ω＝＝. 4T4 令 πππ ×1＋φ＝，得φ＝，∴选C. 424 (理)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( ) sinxx [答案] C [解析] 依题意，函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A，当x∈(0， sinxπ)时，直线y＝x的图象在y＝sinx上方，所以y＝ >1，故选C. sinxππ )＋cos(2x＋)，则( ) 44 xx6．(文)(2011·课标全国文)设函数f(x)＝sin(2x＋ ππ A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称 24ππ B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称 22ππ C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称 24ππ D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称 22[答案] D π?π???[解析] f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋? 4?4??? π??＝2sin?2x＋?＝2cos2x. 2?? π?π?则函数在?0，?单调递减，其图象关于直线x＝对称． 2?2?(理)(2011·河南五校联考)给出下列命题： 2π3 ①函数y＝cos(x＋)是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③若α、β 322π5π 是第一象限角且α<β，则tanα 84ππ ⑤函数y＝sin(2x＋)的图象关于点(，0)成中心对称图形． 312 其中正确命题的序号为( ) A．①③ C．①④ [答案] C 2π2 [解析] ①y＝cos(x＋)?y＝－sinx是奇函数； 323 π3 ②由sinα＋cosα＝2sin(α＋)的最大值为2<，所以不存在实数α，使得sinα 423 ＋cosα＝； 2 ③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)， 即tanα π5π3π ④把x＝代入y＝sin(2x＋)得y＝sin＝－1， 842π5π 所以x＝是函数y＝sin(2x＋)的一条对称轴； 84πππ ⑤把x＝代入y＝sin(2x＋)得y＝sin＝1， 1232ππ 所以点(，0)不是函数y＝sin(2x＋)的对称中心． 123综上所述，只有①④正确． [点评] 作为选择题，判断①成立后排除B、D，再判断③(或④)即可下结论． 1 7．(文)函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为[－，1]，则b－a的最小值为________． 2 [来源:学科网ZXXK]B．②④ D．④⑤ [答案] 2π 3 πfx1x1sinx1π 0≤x1 2fx2x2sinx22π 数，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[－，0]上为减函数，∴④真． 2 π132 14．函数f(x)＝2acosx＋bsinxcosx满足：f(0)＝2，f()＝＋. 322(1)求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若α、β∈(0，π)，f(α)＝f(β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值． f0＝2，?? [解析] (1)由?π13 f＝＋，?322? 2a＝2，?? 得?1313 a＋b＝＋.?422?2 解得a＝1，b＝2， π ∴f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 4π ∵－1≤sin(2x＋)≤1， 4 ∴f(x)max＝2＋1，f(x)min＝1－2. ππ (2)由f(α)＝f(β)得，sin(2α＋)＝sin(2β＋)． 44πππ9π ∵2α＋、2β＋∈(，)，且α≠β， 4444 ππππ ∴2α＋＝π－(2β＋)或2α＋＝3π－(2β＋)， 4444π5π ∴α＋β＝或α＋β＝，故tan(α＋β)＝1. 44 π 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f(x)＝sinx＋sin(－x)． 21 (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值； 3(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα. 1 ∵sin2α＝＝2sinα·cosα>0，α∈[0，π]， 3π ∴α∈(0，)，sinα＋cosα>0. 2 42 由(sinα＋cosα)＝1＋2sinα·cosα＝， 322 得sinα＋cosα＝3，∴f(α)＝3. 33(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋ π )，又0≤x≤π， 4 π ∴f(x)的单调递增区间为[0，]． 4 (理)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(b,2a－c)，n＝(cosB，cosC)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)设f(x)＝cos?ωx－?＋sinωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)在区间[0， 2??π ]上的最大值和最小值． 2 [解析] (1)由m∥n得，bcosC＝(2a－c)cosB， ∴bcosC＋ccosB＝2acosB. 由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB， 即sin(B＋C)＝2sinAcosB. 又B＋C＝π－A，∴sinA＝2sinAcosB. 1π 又sinA≠0，∴cosB＝.又B∈(0，π)，∴B＝. 23(2)由题知f(x)＝cos(ωx－＝ π )＋sinωx 6 ? B? 33π cosωx＋sinωx＝3sin(ωx＋)， 226 2ππ 由已知得＝π，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋)， ω6πππ7π 当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，]， 2666π1 sin(2x＋)∈[－，1]． 62 πππ 因此，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值3. 626π7ππ3 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－. 6622 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx＋2cosx. (1)求f(x)的单调递减区间； 2 (2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值． π [解析] f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)， 6ππ3π (1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z) 262π2π 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 63 π2π ∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 63ππ (2)由sin(2x＋)＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)， 66即x＝ kπ π －(k∈Z)， 212 π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－，0)． 12(3)由f(α)＝f(β)得： ππ 2sin(2α＋)＝2sin(2β＋)， 66又∵角α与β的终边不共线， ππ ∴(2α＋)＋(2β＋)＝2kπ＋π(k∈Z)， 66π 即α＋β＝kπ＋(k∈Z)，∴tan(α＋β)＝3. 3(理) ππ (2011·浙江文)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<.y＝f(x)的部分图 32象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)． (1)求f(x)的最小正周期及φ的值； 2π (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值． 3 [解析] (1)由题意得，T＝ 2π ＝6， π3 π 因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上， 3π 所以sin(＋φ)＝1. 3ππ 又因为0<φ<，所以φ＝. 26(2)设点Q的坐标为(x0，－A)， ππ3π 由题意可知x0＋＝，得x0＝4， 362所以Q(4，－A)． 2 连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝π，由余弦定理得， 3 RP2＋RQ2－PQ2A2＋9＋A2－9＋4A21 cos∠PRQ＝＝＝－， 22RP·RQ22A·9＋A解得A＝3 又A>0，所以A＝3. 2 [来源:Z.xx.k.Com] π5π 1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，－<φ<0)在x＝ 26处取得最大值，则f(x)在[－π，0]上的单调增区间是( ) 5π A．[－π，－] 6π C．[－，0] 3[答案] D 5πππ [解析] ∵f(x)＝Asin(x＋φ)在x＝处取得最大值，A>0，－<φ<0，∴φ＝－， 623 5ππ B．[－，－] 66π D．[－，0] 6 πππππ5π ∴f(x)＝Asin(x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋， 323266π 令k＝0得－≤x≤0，故选D. 6 π?π?2．(2011·长沙二模)若将函数y＝sin?ωx＋?(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，4?4?π??与函数y＝sin?ωx＋?的图象重合，则ω的最小值为( ) 3?? A．1 C.1 12 B．2 23D. 3 [答案] D π??[解析] y＝sin?ωx＋? 4?? y＝sin?ω?x－4?＋?＝sin?ωx＋?， 34 ?? ?? π?π??? ?? π? ? ∴ πππ1 －ω＋2kπ＝，∴ω＝8k－(k∈Z)， 4433 23又∵ω>0，∴ωmin＝. 3 πx3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sin图象上相邻的一个最大值点与一R个最小值点恰好都在圆x＋y＝R上，则f(x)的最小正周期为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D [解析] f(x)的周期T＝ 2π ＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则π 222 R2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D. 4．(2012·河北保定模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)与b＝(cosθ，－sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f(x)＝sin(2x－θ)的图象的一条对称轴是直线( ) A．x＝π πC．x＝ 4[答案] B 7πB．x＝ 8πD．x＝ 2 [解析] a·b＝cosθ－sinθ＝cos2θ＝0， ππ ∵θ为锐角，∴θ＝，∴f(x)＝sin(2x－)． 44ππkπ3π 由2x－＝kπ＋得，x＝＋， 42287π 令k＝1得x＝，故选B. 85. 22 (2011·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝( ) A．10 8C. 7[答案] B [分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析] 如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝ 2π ＝2，tanα＝ π B．8 4D. 7 1313 ＋22AC21BC23tanα＋tanβ ＝＝，tanβ＝＝＝，则tan(α＋β)＝＝＝8，∴选PC12PC121－tanα·tanβ13 1－×22B. 1＋sinx11＋sinx2?π?6．对任意x1，x2∈?0，?，x2>x1，y1＝，y2＝，则( ) 2?x1x2?A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1 D．y1，y2的大小关系不能确定 [答案] B 1＋sinx1 [解析] 取函数y＝1＋sinx，则的几何意义为过原点及点(x1,1＋sinx1)的直线斜 x1 1＋sinx2 率，的几何意义为过原点及点(x2,1＋sinx2)的直线斜率，由x1 x2 sinx的图象可得y1>y2.选B. ??sinx，sinx≤cosx7．(2011·菏泽模拟)对于函数f(x)＝? ?cosx，sinx>cosx? ，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数； ②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1； 5π ③该函数的图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称； 4π2 ④当且仅当2kπ 22 其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④ [解析] 画出函数f(x)的图象，易知③④正确． ππ2 8．已知函数f(x)＝3sin(2x－)＋2sin(x－)(x∈R)． 612(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解析] 2? (1)f(x)＝ [来源:学§科§网Z§X§X§K] 3sin(2x－ ππ )＋1－cos2(x－)＝612 π?1?π???3? sin?2x－?－cos?2x－??＋1 6?2?6????2 π ＝2sin(2x－)＋1. 3所以最小正周期为T＝π. π5π (2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x－)＝1，得出x＝kπ＋(k∈Z)，∴x值的集合 3125π 为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 12 [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等． 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库备战2024年高考2024年高考数学闯关密练特训4-3三角函数的图象与在线全文阅读。
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