2024届高考备考理科数学教师版解答题训练

求?的分布列和数学期望.

3(本小题14分)如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，

O为AC与BD的交点，BB1?2，M是线段B1D1的中点．

（Ⅰ）求证：BM//平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O?平面ABC1； （Ⅲ）求AB与平面AB1C所成角的余弦值．

4.设数列?an?的前项和为Sn，且Sn?2?第3题图

1，?bn?为等差数列，且a1?b1， 2n?1a2(b2?b1)?a1（Ⅰ）求数列?an?和?bn?通项公式；（Ⅱ）设cn?项和Tn．

bn，求数列?cn?的前nan

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）

?????解: (Ⅰ)OA?n?(cos?,sin??5)， ………………1分

???????又?m?(OA?n)，∴2cos??sin??5?0，即sin??5?2cos?，① …2分

又sin??cos??1 ②

2225③ ……………………………4分 55将③代入①中，得sin?? …………………………5分∴

5????255OA?(,) ……………………………………6分

55??22(Ⅱ) 方法一 ∵sin(??)?,0????，∴cos??，且0??? …7分

221010sin?722?7. 8分 ∴sin??1?cos??，从而tan??cos?1012tan?4?由(Ⅰ)知tan??， tan2??； ……9分

21?tan2?3tan2??tan???1. ………………………10分 ∴tan(2???)?1?tan2?tan?将①代入②中，可得cos??

又∵0????2，∴0?2???， 又0????2，∴0?2????3? …11分 23? ……………………12分 4??22方法二∵sin(??)?,0????，∴cos??，且0??? ……7分

221010722∴sin??1?cos??. ……………8分

10432由(Ⅰ)知cos2??2cos??1?，sin2?? . …………9分

552∴cos(2???)?cos2?cos??sin2?sin??? ……………10分

2?34∵0???，且注意到cos2???0,sin2???0，

255综上可得 2????∴0?2???2，又0????2，∴0?2????? …………………11分

综上可得 2????3? …………………12分 4

（若用sin(2???)?sin2?cos??cos2?sin??2，又∵0?2????? ∴ 22????3?，酌情扣1分.） 417．（本题满分12分）

(Ⅰ)设分数在?70,80?内的频率为x，根据频率分布直方图， 则有(0.01?0.015?2?0.025?0.005)?10?x?1， 可得x?0.3，所以频率分布直方图如右图所示.

……………………………4分

（求解频率3分，画图1分） （Ⅱ）平均分为：

x?45?0.1?55?0.15?65?0.15?75?0.3?85?0.25?95?0.05?71． ………7分 （Ⅲ）学生成绩在?40,60?的有0.25?60?15人，在?60,80?的有0.45?60?27人，

.3?6人.并且?的可能取值是在?80,100?的有0?0,1,2,3,4. …………………………8分

211112C15C15C27C15C18?C27727207则P(??0)?2?；P(??1)?； ； ?P(??2)??22C60118C60118C60590112C18C27C188151；. P(??3)??P(??4)??22C590C6029560所以?的分布列为

? 0 1 2

727207 P

1181185903

81 2954 51 590………………………11分

E??0?7272078151?1??2??3??4??2.1 ………………………12分 11811859029559018．（本题满分14分）

解:（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O//BM． ………………………2分 ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC， ∴BM//平面D1AC．…………… 4分

（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，BB1?2， ∴B1D1?22，OB1?2，D1O?2，

2则OB12?DO． ……………6分 ?B1D12，∴OB1?DO11∵在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AC?BD，

AC?D1D，

∴AC?平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1， ∴AC?D1O，又AC?OB1?O，

∴D1O?平面ABC1． …………………………8分 （Ⅲ）在平面ABB1中过点B作BE?AB1于E，连结EC， ∵CB?AB，CB?BB1，

∴CB?平面ABB1，又AB1?平面ABB1， ……………………………9分 ∴CB?AB1，又BE?AB1，且CB?BE?B，

∴AB1?平面EBC，而EC?平面EBC， ………………………………10分

∴AB1?EC．

∴?BEC是二面角B?AB1?C的平面角． …………………………12分 在Rt?BEC中，BE?23，BC?2 3?∴tan?BEC?3，?BEC?60，

∴二面角B?AB1?C的大小为60． ………………………………………14分 解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接D1O，则点O(1,1,0)、

?D1(0,0,2)， ?????∴OD1?(?1,?1,2)

又点B(2,2,0)，M(1,1,2)，

?????∴BM?(?1,?1,2)

??????????∴OD1?BM，且OD1与BM不共线，

∴OD1//BM．

又D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，

∴BM//平面D1AC． …………………………………4分

??????????????????（Ⅱ）∵OD1?OB1?(?1,?1,2)?(1,1,2)?0，OD1?AC?(?1,?1,2)?(?2,2,0)?0 ??????????????????∴OD1?OB1，OD1?AC，即OD1?OB1，OD1?AC，

又OB1?AC?O，∴D1O?平面ABC1． …………………………………………8分 （Ⅲ）∵CB?AB，CB?BB1，∴CB?平面ABB1，

????∴BC?(?2,0,0)为平面ABB1的法向量．

??????????????????∵OD1?OB1，OD1?AC，

?????∴OD1?(?1,?1,2)为平面ABC1的法向量．

?????????1∴cos?BC,OD1??，

2???????????∴BC与OD1的夹角为60，即二面角B?AB1?C的大小为60． ………14分

（Ⅲ）（法三）设二面角B?AB1?C的大小为?，?AB1C在平面AB1B内的射影就是

?AB1B，根据射影面积公式可得cos??S?AB1C?S?AB1BS?AB1C，S?AB1B?1?AB?B1B?2，21?AC?B1O?22 2S?AB1B21??，∴二面角B?AB1?C的大小为60? ………14分 ∴cos??S?AB1C222

18.解：（1）a1?1………1分

n?2,an?(2?12)?(2?n?12)?n?2112n?1，………3分

n?1时也成立．

1?an?n?1………4分

2?b1?a1?1,b2?b1?a11??2,?d?2 a212?bn?1?(n?1)?2?2n?1………7分

（2）cn?2n?1?(2n?1)?2n?1………8分 12n?1

Tn?1?1?3?2?5?22???(2n?1)?2n?12Tn?1?2?3?2?5?2???(2n?3)?223n?1?(2n?1)?2n?Tn?1?2(2?22???2n?1)?(2n?1)?2n2(1?2n?1)?1?2?(2n?1)?2n1?2?1?2n?1?4?(2n?1)?2n??3?(2n?3)?2n

?Tn?3?(2n?3)?2n………14分

2012届高考备考理科数学解答题训练（3）教师版

1.已知△ABC的面积为22，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a?3,b?4,

???????????0?C?90.（Ⅰ）求sin(A?B)的值；（Ⅱ）求cos?2C??的值；（Ⅲ）求向量CB,AC4??????????的数量积CB?AC.

o 2. 2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示： (Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2

名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数?的分布列及其均值（即数学期望）。

3.如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC?A1B1C1的

侧

面

A1ACC1与底面ABC垂直，

BC?2,A?C23,?A，BAA12?AC12?6.

(Ⅰ) 求侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC的中点为D，证明A1D?底面ABC； (Ⅲ) 求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值； 第二份

1、已知向量p?(cos2x,a),q?(a,2?3sin2x)，函数f(x)?p?q?5(a?R,a?0) (1) 求函数f(x)在[0，]上的最大值(2) 当a?2时，若对任意的t?R，函数

?????2y?f(x),x?(t,t?b]的图像与直线y??1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，（不

必证明），并求函数y?f(x)在(0,b]上的单调递增区间。 2、已知数列{an}满足an+1＝2an＋n＋1(n＝1,2,3，…)．

(1) 若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；

(2) 证明{an}不可能是等比数列；

(3) 若a1＝－1，是否存在实数k和b使得数列{ an+kn+b}是等比数列，如存在，求出求{an}的前n项和，若;不存在，说明理由。

3、如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?AC?4,AB?BC?22 (1)求证：平面ABC⊥平面APC(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； (2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为

22，求BM的最小值. 3x2y224、 设椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点分别为F1(?1,0)、F2(1,0)，直线l：x?a交x轴

ab 于点A，且AF2?F1F2?0．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

???x3?x2?2ax（a?0）． 5、已知函数f(x)?ln?2ax?1??3（1）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（2）若y?f(x)在?3,???上不是单调函数，求实数a的取值范围；

?1?x?+b有实根，求实数b的最大值． 1（3）当a??时，方程f?1?x??23x18．解：(1)f(x)?p?q?5 ?acos2x?3asin2x?2a?5

3?2asin(2x??6)?2a?5 2分

???7??1x?[0,]时，2x??[,],sin(2x?)?[?,1] 5分

266662当a?0时， f(x)的最大值为4a?5 6分 同理，当a?0时，f(x)的最大值为a?5 7分

（2）当a?2时，y?f(x)??4sin(2x??6)?1,

由题设及函数y?f(x)的最小正周期为?可知，b的值为?． 9分 ??3??2??2k?,k?Z，得?k??x??k?,k?Z. 11分 由?2k??2x??26263

因为x?[0,?]，所以k?0，

函数y?f(x)在[0,?]上的单调递增区间为[?2?6,3]. 14分

19 （1）a2?2a1?2,a3?2a2?3?4a1?7

?2a2?a1?a3,?a1??3,a2??4?d??1 3分

（2）假设是等比数列，则a22?a1a3

?(2a1?3)2?a1(4a1?7)?a1??4,a2??6,a3??9又a4?2a3?4??14,?a2a4?a3与等比矛盾?假设错误，结论成立2 7分

（3）假设存在，则有an?1?k(n?1)?b?2an?n?1?k(n?1)?b?2an?(k?1)n?k?b?1

an?kn?ban?kn?ban?kn?b?k?1?2k?k?1?常数?????k?b?1?2b?b?2??an?n?2?是等比数列，公比为2 11分 ?an?n?2=（a1?1?2)2n?1?2n?an?2n?n?2 14分 20 解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC 4分 （2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为

x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 23), 5分 ∴BC?(?2,2,0),PB?(2,0,?23),AP?(0,2,23) 设平面PBC的法向量n1?(x,y,z)， 由BC?n1?0,PB?n1?0得方程组

?A ??2x?2y?0，取n1?(3,3,1) ??2x?23z?0???z P O C y 7分

∴ cos?AP,n1????B 21 7x

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

??21。 9分 7（2）由题意平面PAC的法向量n2?OB?(2,0,0)， 设平面PAM的法向量为n3?(x,y,z),M(m,n,0)

∵AP?(0,1,1),AM?(m,n?1,0)又因为AP?n3?0,AM?n3?0 ∴??y?z?0n?1,?1,1) 10分 取n3?(m?mx?(m?1)y?02(n?1)??22m ?cos?n2,n3???3n?122()?2mn?12∴ ()?16

m∴2n?2?4m 12分

∴B点到AM的最小值为垂直距离d?35?35。 14分 5???????21 解：（1）由题意，|F1F2|?2c?2,?A(a2,0),

?AF1?2AF2 ?F2为AF1的中点

?a2?3,b2?2

x2y2 即：椭圆方程为??1.………………(５分)

322 （2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|?2b?4，此时|MN|?2a?23，四边形DMEN的

a3面积S?|DE|?|MN|?4．同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积

2S?|DE|?|MN|?4． 2当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE:y?k(x?1)，代入消去y??6k2x?x2?,?得：(2?3k2)x2?6k2x?(3k2?6)?0. 设?12?3k2D(x1,y1),E(x2,y2),则?2?xx?3k?6,12?2?3k2?

43?k2?1，所以，所以，|DE|?|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?23k?243(k2?1)， k?1|x1?x2|?22?3k212143[(?)?1]43(?1)2同理……………9分kk|MN|??.132?3(?)22?2kk

所以四边形的面积

S?|DE|?|MN|143(k?1)???222?3k2243(11224(k??2)?1)2kk2?136(k2?2)?132?2kk 11分

令u?k2?1,得S?24(2?u)?4?2k13?6u2因为u?k?413?6u

196， 13分 ?2,当k??1时,u?2,S?k22525且S是以u为自变量的增函数，所以96?S?4．

综上可知，96?S?4．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为96． 15分

252522x?2ax?1?4ax?4a?2?????2a2??． 1分 ?x?2x?2a?22 f?(x)?2ax?12ax?1因为x?2为f?x?的极值点，所以f??2??0． 2分

2a?2a?0，解得a?0． 3分 4a?1又当a?0时，f?(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)的极值点成立． 4分

即

（2）由函数f?x?的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能a?0，

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]由于f?(x)?， 5分

2ax?1所以令g(x)?2ax2?(1?4a)x?(4a2?2

则g(x)?0与g(x)?0在区间?3,???上都有解 6分 由a?0知g(x)>0一定有解，又g(x)对称轴为x?1?1<1， 4a 因此只要g(3)?0即可， 8分 由g(3)?0可得a?3?133?13 或a?443?13 10分 4b1(1?x)3b+可化为，lnx?(1?x)2?(1?x)?． （3）若a??时，方程f(1?x)?2x3x∵a?0 ∴综上所述，a的取值范围为．a? 问题转化为b?xlnx?x(1?x)2?x(1?x)?xlnx?x2?x3在?0,???上有解， 即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域． 12分

22因为g?x??xlnx?x?x，令h(x)?lnx?x?x(x?0)，

23??1(2x?1)(1?x)?1?2x? ， 13分 xx时,h?(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数， 所以当0?x?1时,h?(x)?0，从而h(x)在(1,??)上为减函数， 14分 当x?1 因此h(x)?h(1)?0．

而x?0，故b?x?h(x)?0，

则h?(x)?

因此当x?1时，b取得最大值0． 15分

2013届高三理科数学解答题训练11

1. 已知函数f?x??2sinxcosx?cos2x(x?R). (1) 求f?x?的最小正周期和最大值；若?为锐角，且f???

2．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生 女生 合计 喜爱打篮球 10 不喜爱打篮球 5 合计 50 ????2，求tan2?的值. ??8?33已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联

5表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为?，求?的分布列与期望.

3．如图，?VAC中,VC?AC，将其绕直线VC旋转得到?VBC，D是AB的中点，

???AB?2a,AC?a,?VDC???0????. （Ⅰ）求证：平面VAB?平面VCD；

2??（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。 （Ⅲ）???4时，在线段VB上能否找到点E使二面角E—CD—B

的大小也为

?BE. ，若能，求??BV44．已知函数f(x)?13x?bx2?2x?a,x?2是f(x)的一个极值点. 3（1）求函数f(x)的单调区间； （2）若当x?[1,??)时，f(x)?

2?a2恒成立，求a的取值范围. 3

1.(1) 解: f?x??2sinxcosx?cos2x ?sin2x?cos2x?2???2?2???sin2x?cos2x? ?2sin?2x??. ∴

?24???2?f?x?的最小正周期为

(2) 解:∵f??? ∴cos2??2???, 最大值为2. 2????2??2?, ∴.…… 7分 ?2sin2??????8?323??1?. …… 8分 ∵?为锐角，即0???, ∴0?2???. 32sin2?22?22. …… .∴tan2??cos2?3sin2??1?cos22??2．(本小题满分14分)

解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分 男生 女生 合计 2喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 50?(20?15?10?5)2?8.333?7.879------------------------6分 （2）∵K?30?20?25?25∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.--- -7分 （3）喜爱打篮球的女生人数?的可能取值为0,1,2.-------------------------9分

021120C10C15C10C15C10C15713其概率分别为P(??0)?,, ?P(??1)??P(??2)??222C2520C252C2520故?的分布列为:

? P 0 1 2 7 201 23 20--------------------------13分

?的期望值为:E??0?

7134?1??2?? ---------------------14分 202205

4、解：（1）∵f'(x)?x2?2bx?2且x?2是f(x)的一个极值点

∴f'(2)?4?4b?2?0?b?3， -------2分 2∴f'(x)?x2?3x?2?(x?1)(x?2)------4分

由f'(x)?0得x?2或x?1，∴函数f(x)的单调增区间为(??,1)，(2,??)；--6分 由f'(x)?0得1?x?2，∴函数f(x)的单调减区间为(1,2)， ----8分 （2）由（1）知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增 ∴当x?2时，函数f(x)取得最小值，f(x)min?f(2)=a?2， ----10分 3x?[1,??)时，f(x)?222?a2恒成立等价于a2?f(x)min?,x?[1,??)-----12分 33即a?a?0?0?a?1。-------14分

2013届高三理科数学解答题训练12

??33???xx?????1． 已知向量a??cosx,sinx?,b??cos,sin?,且x???,?

?22??22??63????????? （1）求a?b及|a?b|； （2）若f(x)?a?b?|a?b|,求f(x)的值域。

2．为了调查茂名市某中学高三男学生的身高情况，在该中学高三男学生中随机抽取了40

名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下： （1）估计该校高三男生的平均身高；

（2）从身高在170cm（含170cm）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170~175cm

之间的人数为X，求X的分布列和数学期望。 （部分参考数据：167.5×0.125+172.5×

0.35+177.5×0.325=139.00）

3．如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、

P分别是AB、AC、BC边上的点，设

AE?2x,CF?CP?x,0?x?5，将?ABC沿EF折起到?A1EF的位置，使二面角2

A1—EF—B的大小为

?，连结A1B、A1P（如图2）。 2

（1）求证：PF//平面A1EB；

（2）若EF?平面A1EB，求x的值；

（3）当EF?平面A1EB时，求平面A1BP与平面A1EF所成锐二面角的余弦值。

4． 已知椭圆的一个顶点为A?0,?1?，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线

x?y?22?0的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线y?kx?m(k?0)与椭圆相交于不同的两点M,N．当AM?AN时，求m的取值范围．

20．（本小题满分14分）

x22解：（1）依题意可设椭圆方程为 2?y?1 ，则右焦点Fa?a2?1,0?，

a2?1?22由题设

2?3，解得a2?3，…4分

x2?y2?1。……………5分 故所求椭圆的方程为3设P?xP，yP?、M?xM，yM?、N?xN，yN?，P为弦MN的中点，

?y?kx?m?222由?x2 得 (3k?1)x?6mkx?3(m?1)?0， 2??y?1?3?直线与椭圆相交，

????6mk??4?3k2?1??3?m2?1??0?m2?3k2?1 ，① ………8分

2?xP?xM?xN3mkm??2，从而yP?kxP?m?2 23k?13k?1，

?kAPyP?1m?3k2?1 ，又AM?AN,?AP?MN，则： ???xP3mkm?3k2?11??? ，即 2m?3k2?1， ②………………………10分

3mkk2把②代入①得 m?2m ，解得 0?m?2， …………………………12分

12m?1?0，解得m?．…… ……………………………13分

231综上求得m的取值范围是?m?2． ………………………………14分

2由②得k?22013届高三理科数学解答题训练11

1. 已知函数f?x??2sinxcosx?cos2x(x?R). (2) 求f?x?的最小正周期和最大值；若?为锐角，且f???

2．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生 女生

喜爱打篮球 10 不喜爱打篮球 5 合计 ????2，求tan2?的值. ??8?3

合计 50 3已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联

5表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为?，求?的分布列与期望.

3．如图，?VAC中,VC?AC，将其绕直线VC旋转得到?VBC，D是AB的中点，

???AB?2a,AC?a,?VDC???0????. （Ⅰ）求证：平面VAB?平面VCD；

2??（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。 （Ⅲ）???4时，在线段VB上能否找到点E使二面角E—CD—B

的大小也为

4．已知函数

?BE. ，若能，求??BV4f(x)?13x?bx2?2x?a,x?2是f(x)的一个极值点. 3（1）求函数f(x)的单调区间； （2）若当x?[1,??)时，f(x)?

1.(1) 解: f?x??2sinxcosx?cos2x

2?a2恒成立，求a的取值范围. 3?2?2????sin2x?cos2x?2sin2x?cos2x ?2sin?2x??. ∴???2?24????f?x?的最小正周期为

(2) 解:∵f??? ∴cos2??2???, 最大值为2. 2????2??2?, ∴.…… 7分 ?2sin2??????8?32?3?1?. …… 8分 ∵?为锐角，即0???, ∴0?2???. 32sin2?22?22. …… .∴tan2??cos2?3sin2??1?cos22??

2．(本小题满分14分)

解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3分 男生 女生 合计 2喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 50?(20?15?10?5)2?8.333?7.879------------------------6分 （2）∵K?30?20?25?25∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.--- -7分 （3）喜爱打篮球的女生人数?的可能取值为0,1,2.-------------------------9分

021120C10C15C10C15C10C15713其概率分别为P(??0)?,, ?P(??1)??P(??2)??222C2520C252C2520故?的分布列为:

? P 0 1 2 7 201 23 20--------------------------13分

?的期望值为:E??0?

7134?1??2?? ---------------------14分 202205

4、解：（1）∵f'(x)?x2?2bx?2且x?2是f(x)的一个极值点

∴f'(2)?4?4b?2?0?b?3， -------2分 2∴f'(x)?x2?3x?2?(x?1)(x?2)------4分

由f'(x)?0得x?2或x?1，∴函数f(x)的单调增区间为(??,1)，(2,??)；--6分 由f'(x)?0得1?x?2，∴函数f(x)的单调减区间为(1,2)， ----8分 （2）由（1）知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增 ∴当x?2时，函数f(x)取得最小值，f(x)min?f(2)=a?2， ----10分 3x?[1,??)时，f(x)?222?a2恒成立等价于a2?f(x)min?,x?[1,??)-----12分 33即a?a?0?0?a?1。-------14分

2013届高三理科数学解答题训练14

?????1.已知向量OA?(cos?,sin?),0???.向量m?(2,1)，n?(0,5),

2????????且m?(OA?n).(Ⅰ) 求向量OA； (Ⅱ) 若sin(???)?2,0????，求2???的

210值.

2.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段?40,50?，?50,60?…?90,100?后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在?70,80?内的频率，并补全这个 频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的

平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到 的学生成绩在?40,60?记0分，在?60,80?记1分， 在?80,100?记2分，用?表示抽取结束后的总记分，

第2题图

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