《乘方(1)》名师教案(新人教版七年级上册数学)

1.5.1 第一课时（李映）

有理数的乘方

一、教学目标

（一）学习目标

1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义． 2.能进行有理数的乘方运算，掌握幂的符号法则． 3.了解用计算器进行乘方运算． （二）学习重点

正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则． （三）学习难点

正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算，注意区别－an与（－a）n的意义．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

（2）根据示例填空：示例：23=2?2?2=8

3332= 3?3 = 9 ， ??2?=??2????2????2?=?8，??3?=??3????3????3?=?27，

?2??2??2?422??=?????=，??2?=??2????2?=4， ?2=?2?2=－4. ?5??5??5?25 2.预习自测

（1）??2?=（ ）

22A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4 【答案】D．

【解析】解：??2?=??2????2?=4，选D.

2【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解． （2）（﹣3）2的值是（ ）

1

A.﹣9 B.9 C.﹣6 D.6 【答案】B．

【解析】解：（﹣3）2=9，选B． 【点拨】根据乘方的性质即可求解．

（3）?32=（ ）

A.﹣3 B.﹣9 C.3 D.9 【答案】B．

【解析】解：﹣32=﹣3×3=－9，选B． 【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解．

?4?（4）????=（ ）

?3?A.

4 3416 B.? C.

392 D.?16 9【答案】D．

4416?4??4?【解析】解：????=???=??=?，选D.

339?3??3?22【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解．

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为_____；当负因数的个数为偶数时，积为_____．

（2）正方形的边长为2，则面积是_____，棱长为2的正方体，则体积为_____． 2.问题探究

探究一 在现实背景中，理解有理数乘方的意义▲． ●活动① 小组合作，弄清定义

师生活动：分小组学习教科书41页，要求能结合教产书中的示意图，用自己的语言表达下列几个概念的意义及相互关系．

师问：通过自主学习，谈一谈在一个幂中，什么是底数？什么是指数？什么幂？ 学生抢答.（老师引导学生观察，发表自己看法）

2

总结：底数是相同的因数，可以是任何有理数，指数是相同因数的个数，在现阶段中是正整数，而幂则是乘方的结果．

【设计意图】通过小组学习，培养学生的阅读能力，通过对实例中发现的乘方运算的定义，让学生更容易掌握乘方运算的定义． ●活动② 区别易错点

师问：??2?和?24一样吗？为什么？

4师生活动：学生独立思考30秒，然后小组交流1分钟．

生答：不一样！??2?表示4个－2相乘，?24表示4个2相乘的相反数.

4师问：对的，还可以如何从底数上进行区别？

生答：??2?的底数是-2，?24的底数是2，“－”只是它的性质符号．

4总结：我们以后把??2?读作“－2的4次方”，而?24读作“2的4次方的相反数”读法上有区

4别，意义也不一样．（请大家将两种不同的读法记在教科书P41上．）

【设计意图】通过小组交流，从表示的意义不同，底数的不同，读法的不同进行区别，让学生能够深刻地掌握两者的不同之处，采用记笔记的方式，进一步加深易错点的印象．

探究二 能进行有理数的乘方运算，掌握幂的符号法则．▲★ ●活动① 举例说明，回归本源 例1．计算

?2?（1）??4? ； （2）??2? ； （3）???.

?3?343【知识点】有理数乘方运算

【解答过程】解：（1）??4?=??4????4????4?=－64

3 （2）??2?=??2????2????2????2?=16

48?2??2??2??2? （3）???=???????????=- 27?3??3??3??3?3【点拨】在解决乘方的相关问题时，应将乘方运算回归到它的定义，根据定义列式计算． 【答案】（1）－64； （2）16； （3）-8. 27【设计意图】通过一组例题的讲解，在理解乘方运算的定义后，让学生进一步巩固乘方运算

3

的定义．

●活动② 幂的符号法则

师问1：通过例1，你发现负数的幂的正负有什么规律？ 当指数是_________，负数的幂是______数； 当指数是_________，负数的幂是______数； 师生活动：学生自行观察1分钟．

学生举手抢答：当指数是奇数，负数的幂是负数；当指数是偶数，负数的幂是正数； 总结：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 师问2：那么正数的幂与指数有关吗？ 生答：没有． 师问3：那0呢？ 生答：也没有．

总结：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．

师问4：将幂运算对比前面所学的“几个不为0的有理数相乘”，有哪些异同？

生答：相同之处是：都是乘法运算，不同的是：幂运算是“几个不为0的有理数相乘”的一种特殊运算，

师问5：你认为在进行幂运算是，先做什么，后做什么？ 学生举手抢答.

总结：和“几个不为0的有理数相乘”一样，先定符号，再定绝对值． 练习

1.（1）??7? 中的指数和底数各是多少？?78呢？ 8（2）??10?中的－10叫做什么数？8叫做什么数？??10?的结果是正数还是负数？

882.计算

（1）??1?； （2）??1? ； （3）83 ； （4）??5?； 1073?1?45（5）0.13； （6）???； （7）??10? ； （8）??10?.

?2?【知识点】有理数幂的运算

【解析】1.（1）??7?的指数和底数分别是8，-7；?78的指数和底数分别是8，7；

844

（2） ??10?中的－10叫做底数，8叫做指数；结果是正数.

82.计算：解：（1）??1??1； （2）??1???1； （3）83?512 ；（4）??5???125；

451?1?（5）0.1?0.001；（6）???? ；（7）??10??10000 ；（8）??10???100000.

?2?16107343【点拨】在解决乘方的相关问题时，和前面“几个不为0的有理数相乘”一样，首先确定结果的符号问题，再将乘方运算回归到它的定义，根据定义列式计算． 【答案】1．（1）8，-7；8，7；（2）底数，指数，正数．

12．（1）1；（2）－1；（3）512 ；（4）－125；（5）0．001；（6）；（7）10000；（8）－100000．

16【设计意图】通过对负数的奇次幂和偶次幂的探讨，发现幂的符号规律，培养学生观察、归纳、表达的能力，加强学生对幂的进一步认识．通过练习，进一步加强学生对幂的简单运算的认识，提高对幂运算的熟练程度． 探究三 了解用计算器进行乘方运算． ●活动①

例2．用计算器计算（－8）5和（－3）6． 师生活动：学生自学P42，老师多媒体示范 【知识点】用计算器进行幂运算

【解析】解：用带符号键（－）的计算器． 开启计算器后按照下列步骤进行： （ （－） 8 ） ∧ 5 = 显示：（－8）^ 5

－32768 即（－8）5=－32768 （ （－） 3 ） ∧ 6 = 显示：（－3）^ 6 729 即（－3）6=729

用带符号转换键 +/－ 的计算器： 8 +/－ ∧ 5 = 显示：－32768

5

3 +/－ ∧ 6 = 显示：729

所以（－8）5=－32768 （－3）6=729 【点拨】弄清计算器的输入顺序是关键. 【答案】-32768，729.

【设计意图】让学生了解用计算器进行幂运算，感受现代科技与数学的结合． 3.课堂总结 知识梳理 （1）幂的定义． （2）幂的符号法则． （3）??2?和?24的区别．

4重难点归纳

（1）幂的运算和和“几个不为0的有理数相乘”一样，先定符号，再定绝对值． （2）??2?和?24从底数，实际意义，读法上的区别．

4

（三）课后作业 基础型 自主突破

1.计算﹣42的结果等于（ ）

A.﹣8 B.﹣16 C.16 D.8 【答案】B.

【解析】解：﹣42=﹣16，选B.

【点拨】乘方就是求几个相同因数积的运算，﹣42=﹣（4×4）=﹣16．

2.下列四个数中，是负数的是（ ）

A.|﹣3| B.（﹣3）2 C.﹣（﹣3） D.﹣32 【答案】D.

【解析】解：A.|﹣3|=3，不符合题意；B.原式=9，不符合题意；C.原式=3，不符合题意；

D.原式=﹣9，符合题意，选D.

【点拨】各项利用绝对值的代数意义，乘方的意义，相反数的性质判断即可．

6

43.(?)5中，底数是 ，指数是 ．

54【答案】?，5．

544【解析】解：(?)5中，底数是?，指数是5，

55【点拨】对于幂an中，底数是a，指数是n，据此可以解答此题．

24.计算：﹣23= ，(?)3= ．

38【答案】﹣8；?.

2728【解析】解：﹣23=﹣8，(?)3=?.

327【点拨】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．

15.计算：(?3)2?(?3)?= ．

3【答案】﹣1．

11【解析】解：原式=9?(?3)?=?3?=﹣1．

33【点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 6．计算?23?(?3)2?32?(?2)2． 【答案】﹣35．

【解析】解：?23?(?3)2?32?(?2)2=﹣8+9﹣9×4=﹣8+9﹣36=﹣44+9=﹣35． 【点拨】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．

能力型 师生共研

1.我国古代典籍《庄子?天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（ ） A．

1111尺 B．尺 C．尺 D．尺 98991001012222【答案】B．

11×1=尺， 212111第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为2×1=尺，

24【解析】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为

7

11×1=尺， 23811如此反复，第99次截取后，木杆剩下的长度为99×1=99（尺），

221则此木杆剩下的长度为99尺．

2第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为

【点拨】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可． 2.若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a﹣b的值为 ．

【答案】5或﹣5． 【数学思想】分类讨论．

【解析】解：∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，

∵ab＜0，∴a=2时，b=﹣3，a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5， a=﹣2时，b=3，a﹣b=﹣2﹣3=﹣5， 所以，a﹣b的值为5或﹣5．

【点拨】根据有理数的乘方求出a、b，再根据异号得负判断出a、b的对应情况，然后代入代数式进行计算即可得解．

探究型 多维突破 1.若n是正整数，则

的值为 . 【答案】0或1．

【数学思想】分类讨论．

【解析】解：当n为奇数时，原式=当n为偶数时，原式=所以

=1，

=0；

的值为0或1．

【点拨】分类讨论：当n为奇数或n为偶数时，再根据乘方的意义计算出(?1)n，然后进行有理数的加减法运算和除法运算．

2.观察下列各式：

8

…

（1）计算：13+23+33+43+…+103的值； （2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．

1【答案】3025；n2(n?1)2.

4【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103， =

=×100×121， =3025；

1（2）13+23+33+43+…+n3=n2(n?1)2．

4，

【点拨】观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的

1形式，右边是与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这

4个数大1的相邻的整数，据此规律即可求解． 自助餐

1.计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（ ）

A.0

B.﹣1 C.﹣2 D.2

【答案】A．

【解析】解：（﹣1）2014+（﹣1）2015=1﹣1=0，选A． 【点拨】直接利用有理数的乘方运算法则化简求出即可．

2.一张厚度为0.1mm的纸，如果将它连续对折20次，它的高度接近于（ ） A.一本数学课本的厚度 B.篮球架的高度 C.篮球场地的周长 D.400m跑到长度 【答案】C

【解析】解：根据题意得：0.1×220=104857.6mm=104.8576m，则它的高度接近于篮球场地的周长，选C．

【点拨】根据题意列出算式，利用乘方的意义计算即可得到结果． 3.（﹣0.125）2006×82005= ． 【答案】0.125．

9

【解析】解：82005×（﹣0.125）2006 =82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125） =（﹣8×0.125）2005×（﹣0.125） =0.125.

【点拨】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质． 4.已知：2+

2223344aa=2×，3+=32×，4+=42×…，若14+=142×（a、b均为正整数），33881515bb则a+b= ． 【答案】209．

aa【解析】解：由已知得出：14+=142×，b=142﹣1，a=14，∴a+b=14+142﹣1=209．

bb【点拨】根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出a，b，进而求出a+b的值． 5.化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来． （﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22

【答案】1；﹣3.5；1.5；﹣2.5；﹣4；﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．

【解析】解：（﹣1）2016=1；+（﹣3.5）=﹣3.5；﹣（﹣1.5）=1.5；﹣|﹣2.5|=﹣2.5；﹣22=﹣4．

﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）． 【点拨】根据有理数的乘方、相反数、绝对值化简，即可解答． 6.阅读题：根据乘方的意义，可得：22×23=（2×2）×（2×2×2）=25． 请你试一试，完成以下题目：

（1）53×52=（ ）×（ ）=5（ ）； （2）a3?a4= （ ）?（ ） =a（ ） （3）归纳、概括：am?an=（

）（

）=

=a（ ）

（4）如果xm=4，xn=5，运用以上的结论计算xm+n= ．

【答案】（1）5×5×5）×（5×5），5； （2）（a?a?a）?（a?a?a?a），7；（3）m+n ；（4）20． 【解析】解：（1）53×52=（5×5×5）×（5×5）=55． ∴填（5×5×5）×（5×5），5． （2）a3?a4=（a?a?a）?（a?a?a?a）=a7 ∴填（a?a?a）?（a?a?a?a），7．

10

（3）归纳、概括：am?an=（

）（）=

=am+n．∴填m+n．

（4）xm+n=xm?xn=4×5=20．∴填20．

【点拨】（1）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（2）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（3）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（4）根据乘方的意义，可知xm+n=xm?xn，套入数据，即可得出结论．

11

（3）归纳、概括：am?an=（

）（）=

=am+n．∴填m+n．

（4）xm+n=xm?xn=4×5=20．∴填20．

【点拨】（1）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（2）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（3）根据乘方的意义，结合例题，即可得出结论；（4）根据乘方的意义，可知xm+n=xm?xn，套入数据，即可得出结论．

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