九年级数学 二次函数的图象和性质知识精讲 鲁教版

九年级数学二次函数的图象和性质鲁教版

【本讲教育信息】

一、教学内容

二次函数的图象和性质

2二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象

二、教学目标

1. 抛物线平移的规律及平移的实质。

2. 掌握二次函数图象的画法，了解抛物线的顶点坐标和对称轴的意义。

3. 会运用配方法将二次函数的解析式由y?ax2?bx?c(a?0)向y?a(x?h)2?k(a?0)转化，掌握由此得出的抛物线的顶点坐标和对称轴，会描点作函数图象示意图。 4. 会用公式求出抛物线的顶点坐标和对称轴的表达式，会作出二次函数的图象，并求出它和坐标轴的交点坐标。

三、重点、难点

重点：二次函数的概念、图象。

难点：通过了解函数解析式y?a(x?h)2?k的参数a、h、k对图象的影响，理解并掌握求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)图象的对称轴和顶点坐标公式的方法。

四、教学过程

知识要点：

21. y?x的图象

2二次函数y?x的图象是通过原点分布在第一、二象限，且以y轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线，它与对称轴的交点叫抛物线的顶点。

22. y?ax的图象

2对于a取不同的值时，二次函数y?ax(a?0)的图象都是通过原点，以y轴为对称轴

的抛物线，并且和抛物线y?x比较，当a取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变。

（1）当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下 （2）当a的绝对值越大，抛物线开口越小 当a的绝对值越小，抛物线开口越大

23. y?ax?c(a?0)的图象

2y?ax2?c(a?0)的图象可以看作是二次函数y?ax2的图象向上（c>0）或向下（c<0）

平移|c|个单位得到的，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c）

24. y?a(x?h)的图象

y?a(x?h)2的图象在h取不同的值时，可以看作由函数y?ax2的图象向左（h<0）或

向右（h>0）平移|h|个单位得到的，它的对称轴是x＝h，顶点坐标为（h，0）

25. y?a(x?h)?k(a?0)的图象

y?a(x?h)2?k(a?0)的图象可以看作由函数y?ax2的图象经过向左（h<0）或向右

（h>0），向上（k>0）或向下（k<0）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点：

（1）当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。 （2）抛物线的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k） 抛物线平移的实质是抛物线顶点的平移。

26. y?ax?bx?c(a?0)的图象、对称轴和顶点坐标的计算公式。

22（1）y?ax?bx?c(a?0)通过配方转化为y?a(x?h)?k(a?0)的形式

y?a(x2?bx)?c abb?b?y?a?x2?x?()2??c?a()2

a2a?2a?b24ac?b2

y?a(x?)?2a4a2（2）二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的对称轴和顶点坐标的公式为：

对称轴x??b

2a2顶点坐标为（?b，4ac?b）

2a4a2（3）y?a(x?h)?k(a?0)称做二次函数的顶点式解析式。

2（4）由于二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象是抛物线，所以常把“二次函数

y?ax2?bx?c(a?0)”称为“抛物线y?ax2?bx?c(a?0)”。

7. 抛物线y?ax?bx?c(a?0)与x轴的交点 令y?0，有ax2?bx?c?0

2?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)

2a22（1）若b2?4ac?0，交点为（?b?b?4ac，0）（?b?b?4ac，0），有交

2a2a点

（2）若b2?4ac?0，交点为（?b，0），有交点

2a（3）若b2?4ac?0，无交点

8. 抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与y轴的交点

令x?0，有y=c

抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与y轴的交点为（0，c）

（1）若c>0，抛物线与y轴交点在y轴正半轴 （2）若c<0，抛物线与y轴交点在y轴负半轴 （3）若c＝0，抛物线与y轴交点在原点 9. 五点法画二次函数的图象

（1）通过顶点式确定抛物线的对称轴x＝h，顶点坐标（h，k）——一点，或通过一般

2式确定对称轴x??b，顶点坐标为（?b，4ac?b）。

2a4a2a（2）求抛物线与x轴的交点

若两交点——二、三点，若一交点——此点为顶点。

（3）求抛物线与y轴的交点

（0，c）——四点，以及（0，c）点关于对称轴的对称点（五点） 10. 二次函数的性质

2

根据二次函数y ＝ax+bx+c的图像可归纳其性质如下表 a值 函数的图象及性质 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； a＞0 b时，函数有最小值4ac?b2； 4a2a 当x＜?b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大. 当x＞?2a⑵当x＝?⑴开口向下，并且向下无限伸展； 2b4ac?bx⑵当＝?时，函数有最大值； 4a2a a＜0 当x＜?b时，y随x的增大而增大； 2a当x＞?b时，y随x的增大而减小. 2a 11. 二次函数y ＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c符号有密切的关系（见下表）： 项 目 字 母 a b c

字母的符号 a＞0 a＜0 b=0 ab＞0 ab＜0 c=0 c＞0 c＜0 图像的位置 开口向上 开口向下 对称轴为y 轴 对称轴在y 轴左侧 对称轴在y 轴右侧 经过原点 与y 轴正半轴相交 与y 轴负半轴相交 【典型例题】

例1. （1）二次函数y??1(x?3)2的图象经过怎样的变换，就得到函数y?1(x?3)2的

33图象？

（2）二次函数y?1(x?3)2的图象经过怎样的变换，就得到函数y?1(x?3)2?4的

33图象？

解：（1）①沿x轴翻折；②向右平移6个单位。（2）向上平移4个单位。

例2. 指出y?1(x?1)2?9的（1）开口方向；（2）对称轴；（3）顶点坐标；（4）与y

22轴交点；（5）与x轴交点。

解：（1）开口向上 （2）对称轴是x??1

（3）顶点坐标为（?1，?9）

2（4）与y轴交点（0，－4）

（5）与x轴交点（2，0）和（－4，0）

例3. 用配方法将y??x2?4x?1化为y?a(x?h)2?k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标，并画出示意图。

解：y??x2?4x?1，y??(x2?4x)?1

y??(x2?4x?4)?1?4 y??(x?2)2?5

∴（1）开口向下 （2）对称轴x＝2

（3）顶点坐标（2，5）

令x＝0，y＝1，∴抛物线与y轴交点为（0，1）

∴抛物线与y轴交点（0，1），关于x＝2的对称点为（4，1） 令y＝0，则x?2?5

∴抛物线与x轴交点为（2?5，0），（2?5，0） 示意图：

y 5 1 -1 O 2 4 x

例4. 已知抛物线y??x?2x?5

（1）先将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的解析式。

2（2）若一条抛物线与抛物线y??x?2x?5关于x轴对称，求此抛物线的解析式。

22（3）若一条抛物线与抛物线y??x?2x?5关于y轴对称，求此抛物线的解析式。 解：（1）抛物线平移，其形状、开口大小与开口方向均不变，∴a的值不变。 但其顶点位置发生了改变（即顶点被平移了）。 ∴只需求出新的顶点坐标即可。

?y??x2?2x?5??(x?1)2?6，∴其顶点为（1，6） 平移后的新顶点为（－1，7），

∴平移后抛物线为y??(x?1)2?7，即y??x2?2x?6 （2）∵关于x轴对称，

∴其形状，开口大小不变，但开口方向相反，且顶点关于x轴对称， ∴新抛物线的顶点为（1，－6），其解析式为y?(x?1)2?6，即y?x2?2x?5。 或：∵只是开口反向，

∴对于原抛物线上的任一点（x，y）均变成了（x，－y） ∴由y??x2?2x?5可知，新抛物线为?y??x2?2x?5， 即y?x2?2x?5

（3）关于y轴对称的两条抛物线具有形状、大小以及开口方向均相同的特征， ∴a的值不变。但两抛物线的顶点关于y轴对称，∴新抛物线的顶点为（－1，6）。 ∴其解析式为y??(x?1)2?6，即y??x2?2x?5

2

例5. 二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如下图所示，下列结论中，正确的个数有（ ） ①abc>0 ②b＝2a ③a＋b＋c<0 ④a－b＋c>0 A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

分析：根据抛物线y＝ax＋bx＋c的图象与a、b、c的关系，可以判定出结果. 解：∵抛物线的开口向下，∴a<0. 又∵对称轴在y轴左侧，∴a、b同号，

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴c>0，∴abc>0. 又∵?2

b＝－1，∴b＝2a. 2a令x＝1，则y＝a＋b＋c＝0，∴a＋b＋c<0不正确. 令x＝－1，则y＝a－b＋c>0，∴a－b＋c>0正确. 答案：B

2

例6. 已知一次函数y＝ax＋c，二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

分析：先由一次函数y＝ax＋c确定a与c的正负情况，再与二次函数的图象比较.

2

解：可用排除法，设当a>0时，二次函数y＝ax＋bx＋c的开口向上，而一次函数y＝?ax＋c应过一、三象限，故排除C；当a<0时，用同样方法可排除A；c决定直线与y轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同，则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除B.

答案：D.

小结：二次函数的图象是一条抛物线，对于a、b、c及h、k对图象的影响，同学们要在大量的实践后总结体验，不要死记硬背这些结论。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、填空

1. 二次函数y??2x的图象开口方向为向________，对称轴是________，顶点坐标为________。

22. 二次函数y?2(x?1)?3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为________。

23. 二次函数y??1(x?3)2?5的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为

2________。

4. 二次函数y??3(x?1)2?5的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标为

24________。

*5. 二次函数y?3x2的图象，经过________变换，可得y??3(x?5)2?4的图象。

*6. 把抛物线y＝2x2向右平移一个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是__________________.

二、选择题

1. 抛物线y＝x2＋3x的顶点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下面是小华同学对二次函数 y??3x2图象的描述，其中错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为y轴 C. 抛物线的顶点是原点 D. 抛物线经过点（－3，1） 3. y＝（x－1）2＋2的对称轴是直线（ ） A. x＝－1 B. x＝1 C. y＝－1 D. y＝1

4. 若抛物线y＝a1x2，y＝a2x2的形状、大小、开口方向均相同，那么（ ） A. a1＝a2 B. a1＝－a2 C. |a1|＝|a2| D. a1与a2的关系无法确定

*5. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝－1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且－1＜x1＜x2，x3＜－1，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y1＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3

6. 函数y=ax2与y=ax的图象大致如图_______.

A. B. C. D.

三、先配方，将函数写成y?a(x?h)2?k的形式，再确定图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，五点法画出草图。

（1）y?x2?2x?3；（2）y??2x2?8x?5

四、抛物线y?x2?3x?m的顶点在x轴上，求它的对称轴和顶点坐标，并求抛物线与x轴和y轴的交点坐标。

【试题答案】

一、1. 下，x＝0（或y轴），（0，0） 2. 上，x＝1，（1，3）

3. 下，x＝－3，（－3，－5） 4. 下，x?1，（1，5）

2245. 将y?3x2的图象沿x轴翻折，再向右平移5个单位，再向上平移4个单位 6. y＝2x2－4x－1

二、1. C 2. D 3. B 4 A 5. D 6. C

三、（1）y?(x?1)2?2，开口向上，对称轴x＝1，顶点坐标（1，2）图略

（2）y??2(x?2)2?3，开口向下，对称轴x＝2，顶点坐标（2，3）图略

四、对称轴x?3，顶点坐标为（3，0）

22与x轴交点（3，0），与y轴交点（0，9）

2

4

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库九年级数学 二次函数的图象和性质知识精讲 鲁教版在线全文阅读。