2024年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》 大专题(学

2009年江西省芦溪中学

高三数学复习(二轮)《立体几何》 大专题

(学生强化专版)

一、专题热点透析

高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

二、热点题型范例 题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD

例2．四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，

A B D P F E C AB?2，BC?22，SA?SB?3．

（Ⅰ）证明：SA?BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

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S E D C A

O B

变式：

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=

1AB=1，M是PB的中点. 2 P M N E B （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

题型二、空间角与距离

D A C

?ABC?例3．如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，OA?2，M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

?4， OA?底面ABCD，

OMABCD例4. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小； （Ⅲ）求点E到平面的距离.

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变式：

如图，正三棱锥O?ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1?3． 2O（1）求证：B1C1⊥面OAH； （2）求二面角O?A1B1?C1的大小．

题型三、探索性问题

例5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF//平面PAD；

（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， 直线B1AEBA1HCFC1EF?平面PCD？

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变式：

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD?BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30?角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.

题型四、折叠、展开问题

例6．已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点，将?ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A?DE?C的大小为?(0????) (1) 证明BF//平面ADE；

(2)若?ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角?的余弦值。

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A B D C

变式：

如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝6，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角． （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

题型五、多面体的组合问题

例7．P?ABCD是正四棱锥，ABCD?A1BC11D1是正方体，其中AB?2,PA?6． （Ⅰ）求证：PA?B1D1；

（Ⅱ）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角?的大小； （Ⅲ）求B1到平面PAD的距离． 变式：

如图4，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

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P A E B

C D

P D A B

C

DA

C

B

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

题型六、表面积与体积问题

A D P C B Q 图4 例8．如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD?2AD?8，AB?2DC?45．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P?ABCD的体积． 变式：

正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点． (Ⅰ) 求证：B1D1?AE； (Ⅱ) 求证：AC//平面B1DE； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

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P

M

D

A

C

B

反馈练习：

1．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底 面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（ B ） A．90°

B．60° C．45° D．30°

2．长方体ABCD?A1?1，则顶点A、B1BC11D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， AA间的球面距离是( B ) A．

2?2? B． C．2? D．22? 423. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( D )

A.

?6 B.

?4 C.

?3 D.

?2D1

A1 O C1 B1 CB 4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面 A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（ B ）

DA 1223 A、 B、 C、 D、

24225．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=42 ，AC=5，则AC与a所成的角为（ C ） A．60° B．45° C．30° D．15°

6．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ C ）

A．

125

? 12

B．

125? 9C．

125

? 6

D．

125? 37 设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是_________。(填序号) ②③

①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面. 8．已知点A,B,C,D在同一个球面上，AB?平面BCD,BC?CD,若AB?6,AC?213,

AD?8，则B,C两点间的球面距离是 。

4? 39．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ 60°

10．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，

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则P与Q的最短距离为________

2a 211．如图在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB?3，AD?2，PA?2，PD?22，∠PAB?60?．

P （Ⅰ）证明AD?平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； A （Ⅲ）求二面角P?BD?A的大小． B

12．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC?侧面A1ABB1. （Ⅰ）求证： AB?BC;

（Ⅱ）若AA1?AC?a，直线AC与平面A1BC所成的角为?，二面

A1?BC?A的大小为?,求证：?????2.

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D

C 角

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