高一数学【学案】 第一章《集合和命题—充分条件、必要条件》
§1.5.2充分条件、必要条件（2）
—充分条件、必要条件、充要条件的证明及简单应用
1．加深理解充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2．能运用概念判别一些较复杂的问题；
3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的证明.
【引例】（P21例5）
222已知实系数一元二次方程ax?bx?c?0（a?0），“b?4ac?0”是“方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？
问1 充要条件的证明方法？
问2 充分不必要条件、必要不充分条件的证明方法？
例1 求证：关于x的方程ax2?bx?c?0有一个根为1的充要条件是a?b?c?0.
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高一数学【学案】 第一章《集合和命题—充分条件、必要条件》 [举一反三] 判断“ac?0”是“方程ax2?bx?c?0有一正一负两根”的什么条件？并证明.
例2 求证：b?0是函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像关于y轴对称的充要条件.
[举一反三] 设a、b、c为?ABC的三边，求证：方程x?2ax?b?0与x?2cx?b?0有公共根的充要条件是a?b?c.
2222222
例3 求集合{1,1?a,1?2a}?{1,b,b2}的充要条件，并给予证明.
[举一反三] 求“方程x?11x?30?a?0的两根均大于5”的一个充要条件，并给予证明.
2
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高一数学【学案】 第一章《集合和命题—充分条件、必要条件》
例4 写出一个使得“一元二次方程ax2?2x?1?0（a?0）有一个正根和一个负根”的充分不必要
条件，并给予证明.（若改成“必要不充分条件”呢？）
（备用）例5 判断“b?a?0”是“对任意0?x?1，使一次不等式ax?b?0恒成立”的什么条件，
并说明理由.
1. “x?y?1”是“|x|?1且|y|?1”的______________条件.（用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“非充分非必要”填空）.
2. “两个命题A、B互为逆否命题”是“两个命题A、B是等价命题”的______________条件. （用“充
分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“非充分非必要”填空）. 3. 集合A?{x|ax?2x?3?0}是单元素集合的充要条件是_______________. 4. 在条件：① b?4ac?0；② ac?0；③ ab?0且ac?0；④ b?4ac?0，
22222bc?0，?0中，aa能成为“使二次方程的两根为正根”的必要非充分条件是_______________（写出所有符合要求的号码）. 5. 有下列命题：① ab?0是|a?b|?|a|?|b|的充分非必要条件；② a?2且b?2是a?b?4且
ab?4的充要条件；③ x2?y2?3x?y?2?0是x?y?1的必要非充分条件；④ 两个角不都是直
角是两个角不相等的非充分非必要条件，其中正确命题的个数是________________.
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高一数学【学案】 第一章《集合和命题—充分条件、必要条件》 6. 写出xy?0的一个充分非必要条件，它可以是_______________. 7. “x?y?7”是“x?3且y?4”的
A．充分非必要条件； C．充要条件；
（ ）
B．必要非充分条件； D．非充分非必要条件.
（ ）
8. 一次函数y?kx?b的图像经过第一、二、三象限的充要条件是 A．k?0，b?0； 9.
B．k?0，b?0；
C．k?0，b?0；
D．k?0，b?0.
（ ）
b?1的一个充要条件是 aA．a?0且b?0；
B．b?a?0； C．a?1且b?1； D．a(b?a)?0.
（ ）
10. 设I为全集，A、B、M为I的子集，则AüM的一个必要非充分条件是
A．AüB且BüM； 11. “
B．痧IMüIA；
C．A?M?A； D．(A?B)üM.
c?0”是“二次方程ax2?bx?c?0的两根中恰有一根是负根”的什么条件？说出你的结论及理由. a12. 证明：一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）有实根的充要条件是??b?4ac?0（a,b,c?R）.
13. 求证：关于x的方程ax?bx?cx?d?0有一个根为?1的充要条件是a?c?b?d.
*14.（1）是否存在实数p，使得“4x?p?0”是“x?x?2?0”的充分非必要条件？如果存在，求
出p的取值范围.
（2）是否存在实数p，使得“4x?p?0”是“x?x?2?0”的必要非充分条件？如果存在，求
出p的取值范围.
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