兰州大学信息科学与工程2024-2025学年《电磁场与电磁波》期中考

2002级《电磁场理论》课程期中考试试题

榆中校区 2004年11月1日

一、空气中有一宽度为2a、电荷面密度为?S的无限长带电薄平板，如图1所示。

试求平板的中垂线上任一点处的电场强度。

?S?P2a 第1题图 第2题图 二、空气中一无限长细直导线与一直角三角形导线回路共面，其位置及尺寸如图

2所示。试求直导线与该三角形导线回路之间的互感。

三、试求如图3所示的矩形区域内的电势分布。

yb??0??0???0O??0ax 第3题图 第4题图 四、空气中有一半径为a的无限长接地直导体圆筒，在导体圆筒内距离其轴线为

d（d?a）处另有一无限长、线电荷密度为?l的带电细直导线与该圆筒轴

线平行，如图4所示。试求圆筒内的电势分布。

2002级《电磁场理论》课程期中考试试题答案

榆中校区 C203 和 A402 2004年11月1日

一、解：建立如图所示坐标系，场强元为

dE??Sdx'2??0x'2?y2

ydE 考虑到带电体的对称分布，合成场方向只有沿y方向的分量，设其与y轴的夹角为?，则

P-aoax dEy?dEcos?

其中，cos??yx?y'22，所以

E??dEyey???a'aa?Sdx'2??0x?y'22'2yx?y2?aaey??a0??0?x?y'2?Sydx'2?ey

??S?xaarctgey?Sarctgey??0y0??0y二、解：设直导线所载电流为I，以直角三角形的直角顶点为坐标原点，a、b所在的边为x、y轴，则

???m???x?b?1??dx02?(d?x)?a?

?Ibaa?x?Ib?a?d??0?dx?0?(a?d)ln?a?2?a0x?d2?a?d?a?0I所以互感为

M?三、解：考虑到??I??0Ib?a?d? (a?d)ln?a??2?a?d?y?0,y?b?0，矩形区域内电势的通解形式为

??(x,y)??sinm?1m?y?m?xm?x??Bmsh?Amch?

b?bb?将?x?0?0代入上式，得Am?0，所以有

?(x,y)??Bmsinm?1?m?ym?x shbb再将?x?a??0代入上式，得

?Bm?1?msinm?ym?ash??0 bb利用傅立叶级数的正交性，得

2?0Bm?1?(?1)mm?am?shb??4?0??m?a???m?shb???0m?2n?1

m?2n?(x,y)?4?0(2n?1)?x(2n?1)?y1shsin ?(2n?1)?a?n?1bb(2n?1)shb?四、解：根据镜象法，导体圆柱面外应有一密度为

?l'???l且与圆柱轴线平行的线电荷。由于对称性，

镜象线电荷应位于带电直线与圆柱轴线所在的平面内，而它与圆柱轴线的距离d。圆柱面内任一点处的电势为

'ar?OP(r,?)r1?lr2?l'?????llnr1?llnr2?C2??02??0??d

d' ?l?rrln1?C??lln?C2??0r24??0r2121第4题图 a22其中：d?，r12?r2?d2?2rdcos?，r22?r2?d'?2rd?cos?

d'为确定常数C，取r?a时，相应的??0，即?r?a??14??0lnk?C?0

d?a21d21d?2，由此得C?可求得k?ln2?ln，于是 dd4??0a2??0a????l??dlnr1?llnr2?lln2??02??02??0a?l?lr2?d2?2drcos?d2??ln2?ln2 '2'4??0r?d?2drcos?4??0a?la2(r2?d2?2drcos?)??ln4??0a4?d2r2?2a2drcos?本题采用直角坐标系亦可，其结果为

2?la2?x?d??y2???ln224??0????a22??d???x?d???y? ???????la2(x2?y2?d2?2dx)??ln44??0a?d2(x2?y2)?2a2dx

兰州大学2005～2006 学年第 1 学期

期中考试试卷

课程名称: 电磁场理论 主讲： 年级: 2003级 班级 姓名 学号

题号 分数 一 二 三 四 合计 一. (30分) 内、外半径分别为R1和R2的球形电容器内填充由内到外的介电常数分别为?1、?2的两种介质，介质分界面的半径为R，内、外导体所带电量分别为Q、?Q，如图一所示。试求： (1) 该电容器储存的电场能量；(20分) (2) 该电容器的电容。 (10分)

二. (20分) 在空气中一载电流为I的长直导线的磁场中，有一与之共面的边长分别为a、b的平行四边形导线回路，如图二所示。试求该直导线与导线回路的互感。

三. (25分) 空气中在水平地面的上方距地面高度为h处，有一平行于地面且单位长度的带电量为Q0的长直导线。若地面可视为无限大平面导体，试求地面与导线平行方向上单位长度上的感应电荷量。

四. (25分) 有一横截面为a×b的矩形薄导体管，其各

by O R1 R2?1?2R

第一题图

bI ad ?4

第二题图

???0sin3?x2a??0O ???0?x??0第四题图

ax

2边界面的电势如图所示，管内电势?满足拉普拉斯方程即?T??0，试求该矩

形域内的势函数?。

2003级《电磁场理论》期中试试题参考答案

一. 解：采用球坐标系。 (1) 由高斯定理，得

?SE1?dS?E1?4?r2?Q?1，则介质1中的电场强度为

E1?Qer4??1r2(R1?r?R) (5分)

同理，介质2中的电场强度为

E2?Qer4??2r2(R?r?R2) (5分)

或由?D?dS?E1?4?r2?Q，及D??1E1??2E2得

SE1?Qer4??1r2(R1?r?R)；E2?Qer4??2r2(R?r?R2)

因此，电容器所储存的静电场能量为

11R1R2222We??D?EdV???1E1?4?rdr???2E2?4?r2dr2V2R12R (10分) 22Q(R?R1)Q(R2?R)??8??1R1R8??2RR2Q2(2) 由We?得

2CC??R?R1R2?RQ???2We??4??1RR14??2RR22??? (10分) ??1 采用其它方法酌情给分。

二. 解：如图二所示，将平行四边形拼成一长方形，并不影响磁通的大小。采用

圆柱坐标系内，并使Z轴与载流导线重合，则有B?于是

?0I2?re?，

I ba?4 d 第二题图

?m??B?dS??Sd?b2?0I2?rd?adr??0Ia2?d?lndb2 (10分)

故得

M??mI??0a2?d?lnb2??0alnb?2d (10分) d2?2d三. 解：采用镜像法，如图所示，则场点P处电场强度的垂直于地面的分量为

Ey?E1cos?1?E2cos?2?Q0?y?hy?h?Q0??2???????RR?2???????y?hy?h???x2?(y?h)2x2?(y?h)2????

x R2P(x,y)R1(10分)

?Q0地表面上即y?0面上的电荷面密度为

??2(0,?h) ?1Q0?O(0,h)y?S??0E?n??0Eyy?0??Q0h (522?(x?h)分)

第三题图 地表面上沿带电直线方向单位长度上的总感应电荷为

Qi???SdS???S???Q0hdx??Q0 (10分) 22?(x?h)四. 解：采用直角坐标系下的分离变量法。定解问题为

???2??0(0?x?a,0?y?b)???? (5分) ?0,??x?0?0,?xx?a??3?x,??y?0?0,?y?b??0sin2a?设?(x,y)?X(x)Y(y)，代入到拉普拉斯方程及其边界条件，得

(2n?1)?(2n?1)?X(x)?sinx (5分) ,n?0,1,2,?，

2a2a(2n?1)?(2n?1)?y?Bnchy 故 Y(y)?Ansh2a2a kx?(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)??通解为 ?(x,y)???Anshy?Bnchy?sinx

2a2a2a?n?0?? (5分)

利用边界条件，可得

(2n?1)?Bsinx?0，则有Bn?0；于是 ?n2an?0??3?(2n?1)??(2n?1)?? ?0sinx???Anshb?sinx

2a2a2a?n?0?比较两边系数，得

n?1，A1sh3?b??0，则A1?2a?03?bsh2a； An?0,(n?1) (5分)

定解为 ?(x,y)??0sh3?b2asin3?x3?y?sh 2a2a(5分)

兰州大学2006～2007 学年第 1 学期

期中考试试卷

课程名称：电磁场理论，电磁场与电磁波 任课教师： 学院： 信息科学与工程学院 专业： 年级： 姓名： 校园卡号： 题 号 分 数 阅卷教师 一 二 三 四 五 总 分

一、已知半径r1的导体球带电量为Q，该导体被内外半径分别为r2、r3的同心导体球壳包围。导体球与球壳间填充介电常数为?的介质，球壳外为空气。如图1所示。求球内外4个区域的电场强度及3个金属表面处的自由电荷密度。

r3? r1r2?0 二、真空中一匝数为N、边长为a的方环形线圈载电流为I，求其中心处O点的磁感应强度。

第1题图 三、空气中有一半径为a的无限长直介质圆柱，其表面电势分布为

?(a,?)?U0(cos??cos3?)。试求圆柱外任一点的电势分布。

四、在球坐标系有一矢量F?f(r)er，如果

?1??F?，且f(1)?1，求函数f(r)的表达式。

r

考试中可能用到的公式：

32 ax?O 第3题图 ?1?21?1?(rFr)?(sin?F?)?(F?)； 1、球坐标系中 ??F?2rsin???rsin???r?r2、?dxx ?223/22221/2(x?a)a(x?a)兰州大学2006～2007 学年第 1 学期 期末考试试卷（A卷）参考答案

课程名称：《电磁场理论》，《电磁场与电磁波》 任课教师： 学院： 信息科学与工程学院 专业： 年级：

一. 判断题（每小题3分，共15分；在括号内正确的打√，错误的打×。）

1 （×） 2 （×） 3 （×） 4 （√） 5 （×）

二. 选择题（每小题3分，共15分；将正确答案的字母填在括号内。）

1 （A） 2 （A） 3 （D） 4 （A） 5 （A）

三. 填空题（每小题4分，共20分）

1. 0， 2. ?(???0)Q4??r2 3.

?012?lnr2r 14. 3E?0I0lcos(?t) 5. 4?e?z 四. 计算题（共50分）

?1、解：通解的形式为：???An?nshbxsinn?by； 此步5分；n?1对照边界条件：得到n?3， 5分

A3a?3?1/shb； 4分 于是，??1/sh3a?bsh3?bxsin3?by； 1分

2、解：方向图函数为：sin?； 3分

平均坡印亭矢量为：S?e?A22rr2Z0sin? 3分

如果计算的数值有系数12，也认为正确。 P?8?A2Z0r??S?dS? 4分 S3如果过程正确，答案错误，可酌情扣1分。

3、解：k???1e??x?3ez；k?2；得到折射角为?t??/6； 反射波的角频率?：??2?v??2?cr??c4cr??4r3??3；介质中的波长?2?r：?r?k?? 介质的相对介电常数?r：?sin?i?1r?[sin?]2?9/4 t入射波的极化类型：垂直极化波。 3分 3分 3分 3分

布儒斯特角的大小：

如不存在布儒斯特角，说明理由：平行极化波，才存在该角度；题目为垂直极化波故无此角。 3分

z z O (x’,a/2) y x 第4题图 4、如右，建立坐标系。

由对称性，则可以判断，4条边所产生的电势应该大小相等，故，计算一个边的电势即可。 3分

?dQ?1???l4??0R4??02?ldx????a/2R4??0a/22?a/2dx?a2/4?z2?x?2 5分

?a/2??la/2?z?a/2ln2??0a2/4?z22?llna/2?z2?a2/2a/4?z22于是，总电势为：??4?1?

??0 2分

兰州大学2008～2009 学年第1学期

《电磁场理论》、《电磁场与电磁波》期中考试试卷

专业、 年级： 姓 名： 题 号 分 数 一 二 三 四 五 总 分

一、 矢量分析计算题（可任选一题）

1、一球面半径为a，球心在原点处，试计算球坐标系（坐标变量为(r,?,?)）

3cos?er的通量?A?dS，并据此验证高斯散度定理。

S4πr3 2、证明：在球坐标系下，一个标量场u的梯度场是无旋的。

二、 静电场计算题（电信、通信专业任选一题，基地班全做）

中矢量A? 1、如图所示，一个电荷密度为?s、面积为2a?2b的长方形导体， 放于xoy平面上，求y轴上任意一

y b 点的电场强度。

O a x

图1 第二题1小题图

2、电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电势分别为

r?a??i?0? ??a2?s??o?E0??r?r??co????r?a

（1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是属于什么媒质？表面存在自由电荷吗？如有，试求之；如没有，说明理由。

三、电感计算题

xyz坐标系中，原点处沿z方向有一金属细导线，一个高度为b、宽度为a的矩形线框ABCD，与其平行放置，该线框宽边在xoy平面内的投影如图2所示，试求二者之间的互感。

O x y A(B) (a,a) a D(C) 图2 第三题图

四、 静态场分析计算题

1、两点电荷Q和?Q位于一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别距球心D

2a3Q和?D。 证明：镜像电荷构成一偶极子，中心位于球心，偶极矩为。 2D2、（电信、通信专业做）一个横放的U型导体槽，沿z方向为无限长，其各个

边上的电势分布如图3所示，求U型槽

y y ? ??sin(2y) O??0 ? ??1 ??(siny?cosy)2 ??0 x O??1 x 图3 第四题2小题图 图4 第四题3小题图 内部的电势分布。

3、（基地班做）一个横放的U型导体槽，沿z方向为无限长，其各个边上的电势分布如图4所示，求U型槽内部的电势分布。

考试中可能用到的公式： 球坐标系中

er1? ?；??F?21??2??(rsin?Fr)?(rsin?F?)?(rF?)?rsin??r?r????r2sin????Fr???F?re????rF?rsin?e?? ??rsin?F?评分标准： 普通班：

一、10分； 二、20分；三、20分；四、25分＋25分 基地班：

一、10分； 二、10分＋20分；三、20分；四、20分＋20分

兰州大学2009～2010 学年第1学期

《电磁场理论》、《电磁场与电磁波》期中考试试卷

专业、 年级： 姓 名：

题 号 分 数 一 二 三 四 总 分 一、 矢量分析计算题（可任选一题）

1、一个半径为a的无限长柱面，轴线在z轴上，试计算柱坐标系（坐标变

3cos?er通过单位长度柱面的通量?A?dS，量为(r,?,z)）下，矢量A?S4πr3并据此验证高斯散度定理。

2、证明：在柱坐标系下，一个标量场u的梯度场是无旋的。

二、 静电场计算题

1、如图1所示，一个面电荷密度为?s、半径为a的圆形导体， 置于xoy平面上，求z轴上任意一点的电场强度。

y a

O

a x

图1 第二题1小题图

2、电场中有一半径为a的圆球导体，已知球内、外的电势分别为

r?a??i?0? ??a3?s??o?E0??r?r2??co????r?a

（1）求圆球内、外的电场强度； （2）计算球体表面的面电荷密度。

三、电感计算题

在xyz坐标系中，在z轴上放置一金属细直导线，另一长度为a、宽度为b的矩形线框ABCD，与xoz平面平行放置，该线框宽边在xoy平面内的投影如图2所示，试求二者之间的互感。

四、 静态场分析计算题

y A(B) (a,a) b D(C) (a+b,a)

O x 图2 第三题图

1、（电信、通信专业做）一个横放的U型导体槽，沿z方向为无限长，其各个

边上的电势分布如图3所示，求U型槽

y ? ??cos(2y) O???0 ?yy ? ??1 ??(siny?cosy)2 ???0 ?yx O??1 x 图3 第四题1小题图 图4 第四题2小题图 内部的电势分布。

2、（基地班做）一个横放的U型导体槽，沿z方向为无限长，其各个边上的电势分布如图4所示，求U型槽内部的电势分布。

考试中可能用到的公式： 柱坐标系中

r?1????? ??F??(rFr)?(F?)?(rFz)?；??F?1?r??r???zr?r?eFrre????rF?ez?； ?zFz?f?

?f?1?f??f?er?e??ez ?rr???z

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