初中数学总复习第02轮专题复习 中考真题分类汇编 01(专题37开放

ECNU LEX

【答案】解：（1）平行四边形

…………（3分） （2）①∵点B(p,1)在y?33的图象上，∴1? xp∴p?3………………………………（4分） 过B作BE?x轴于E，则OE?3，BE?1 在Rt?BOE中，tan??BE13 ??OE33α=30°

……………………………………………………………（5分） ∴OB?2

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B、D关于原点O成中心对称 ∴OB=OD=2

………………………………………（6分）

∵四边形ABCD为矩形，且A(?m,0) C(m,0)

∴OA?OB?OC?OD?2………………………………………………………（7分） ∴m?2；

……………………………………………………………（8分）

②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个； ………………………………（9分） （3）四边形ABCD不能是菱形.

……………………………………………（10分）

法一：∵点A、C的坐标分别为(?m,0)、(m,0) ∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上.

又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC与BD不可能垂直. ∴四边形ABCD不能是菱形

法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，

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因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）

所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ……………………………………（11分） 所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，

所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………（12分）

1231．（2010年福建省泉州）如图所示，已知抛物线y?x?x?k的图象与y轴相交于点

4B(0,1)，点C(m,n)在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.

（1）求k的值; （2）求点C的坐标；

（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：

①当S1?S?S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；

②当t取何值时，点P在⊙M上.（写出t的值即可）

【答案】解：（1）∵点B（0，1）在y?（2分）

∴k=1………………（3分） （2）由（1）知抛物线为：

y?121x?x?1即y?(x?2)2 441212x?x?k的图象上，∴1??0?0?k………………44∴顶点A为（2，0） …………（4分） ∴OA=2，OB=1

过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，∴AD=m-2 由已知得∠BAC=90° …………………（5分）

∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD ∴Rt△OAB∽Rt△DCA

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∴

ADCDm?2nOACD2n?，即?(或tan∠OBA= ?，即?tan∠CAD)…（6分） OBOA12OBAD1m?2 ∴n=2(m-2)； 又点C（m,n）在y?∴2(m?2)?11(x?2)2上，∴n?(m?2)2 441(m?2)2，即8(m?2)(m?10)?0 4∴m=2或m=10；当m=2时，n=0, 当m=10时，n=16；…………………（7分） ∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）…（8分） （3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，∴点C为（10，16）

此时S1?1OA?OB?1 2S2?SBODC?S?ACD?21……………………………… （9分） 又点P在函数y??∴S?1(x?2)2图象的对称轴x=2上，∴P（2,t），t 4AP=

1OA?AP?AP= ……………………………（10分） t 2∵S1?S?S2

∴当t≥0时，S=t，∴1﹤t﹤21. ………………（11分） ∴当t﹤0时，S=-t，∴-21﹤t﹤-1

∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 …………（12分） ②t=0，1，17. ……………………………………（14分）

32．（2010湖南娄底）如图11，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN//AB，ME?DC，NF?DC，垂足分别为E、F (1)求梯形ABCD的面积

(2) 探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明

理由；

探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由.

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【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因为AB//DC,所以四边形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因为AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在

(AB?CD)?AGRt△ADG中，AG=AD?DG=3.所以梯形ABCD的面积是=18.（2） 设MN=x，

222则EF=MN=x，所以DE=

DC?EF10?x=.因为ME⊥DC，NF⊥DC，所以ME//AG, ∠MED=∠AGD=90°，

2210?xMEDEME3(10?x)所以△DEM∽△DGA，所以=，所以=2，所以ME=，所以四边形MEFN

AGDG384的面积是S=MN2ME=x2

3(10?x)32303752=?x?=?(x?5)?.所以当x=5时，四边形MEFN的88888MEDE75面积的最大值是.（3）四边形MEFN能为正方形，且边长为x，则由（2）知道，=，

AGDG810?xx302900302所以=2，所以x=.此时四边形的面积是x?()?.

311121114第49页共49页

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初中数学总复习第02论专题复习中考真题分类汇编 01

（专题37开放探究型问题）

LexLi

一、填空题

1．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ． 1

【答案】y=-x或y=- 或y=x2-2x，答案不唯一

x二、解答题

1．（2010安徽蚌埠二中）已知⊙O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A。

⑴ 求sin?HAO的值；

⑵ 如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若?DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin?CGO的大小怎样变化，请说明理由。

【答案】 ⑴

sin?HAO?HO3?AO5 O H C A O F E P B G x y D y D （2）试探索sin?CGO的大小怎样变化，请说明理由.

解：当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin?CGO的值不变

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过点D作DM?EF于M，并延长DM交?O于N，连接ON， 交BC于T。

因为?DEF为等腰三角形，DM?EF， 所以DN平分?BDC

所以弧BN=弧CN，所以OT?BC， 所以?CGO??MNO 所以sin?CGO=sin?MNO?OM3? ON5即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin?CGO的值不变。

2．（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E,F，如图4。

求证：AE2?BF2?EF2；

⑵ 若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点

E、F，如图5，此时结论AE2?BF2?EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由。

图1 D A 图2 B A D 图3 B C C

C 第2页共49页 ECNU LEX

A E C F D B A 图4

⑶ 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足?CEF的周长等于

MN、DN正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、

能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。

A N F D ?【答案】⑴ 在图4中，由于AD?BD，将?AED绕点D旋转180M ，得?BE?D， AE?BE?、ED?E?D。连接E?F

??FBE???ABC??ABE???ABC??CAB?90 ?在Rt?BE?F中有E?B2?BF2?E?F2

?B E C 又?FD垂直平分EE??EF?FE?

?代换得AE2?BF2?EF2

? 在图5中，由AC?BC，将?AEC绕点C旋转90，得

?BE?C

AE?BE?,CE?CE? 连接E?F

??FBE???ABC??CBE???ABC??CAB?90 ?在Rt?BE?F中有E?B2?BF2?E?F2

?又可证?CEF≌?CE?F，得EF?FE?V

?代换得AE2?BF2?EF2

?(3)将?ADF绕点A瞬时针旋转90，得?ABG，且FD?GB,AF?AG

因为?CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，所以

A N 第3页共49页

D F M ECNU LEX

CE?EF?CF?CD?CB?CF?FD?CE?BE,

化简得EF?EG从而可得?AEG≌?AEF， 推出?EAF??EAG?45?

此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：

MN2?BM2?DN2，再由勾股定理的逆定理知：

线段BM、MN、DN可构成直角三角形。

3．（2010安徽省中中考）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1，求证：a?kc；

⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；

⑶若b?a1，c?b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2？请说明理由。

【答案】

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4．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；

2

（2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上．．

的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线

y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)

1

当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．

41

∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）

4 （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．

B A O x y 第5页共49页

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2在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC?18. …………………………6分

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD2?2. …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD2?20. …………………………8分

222∴ BC?CD?BD， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

1求得符合条件的点为P1(0,)． …………………………………………11分

3过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分

1∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.

328．（2010 福建莆田） 如图1，在Rt?ABC中，∠ACB=900 ,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM?BD垂足为M，EN?CD垂足为N。

（1） 当AD=CD时，求证：DE∥AC；

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（2） 探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

（3） 探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？ 【答案】

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29．（2010天门、潜江、仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件

的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成

为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】

（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则 a323(-4)=4，解得a=-1 2第44页共49页

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所以经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-(2) y=-

1219x+x+4=-（x-1）2+. 22211(x+2)(x-4)=-x2+x+4. 22易知直线AD解析式为y=x+2，所以M（1，3），过点M作MR⊥PQ于点R，因为△AOD是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ是等腰直角三角形，设MN=m，则PQ=2m，所以P(1-m，3-m)，Q(1-m，3+m)，所以

129-（1-m-1）+=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去） 22此时P(0，2)

30．（2010年福建省泉州））我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你

可以利用这一结论解决问题.

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点

O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y?3的图象分别交于第一、三象限的x点B、D，已知点A(?m,0)、C(m,0).

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是; （2）①当点B为(p,1)时，四边形ABCD是矩形，试求p、α、和m有值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？(不必说

理)

（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.

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【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。 如图（1）在矩形ABED中，

因为点C是边DE的中点，且AB=2AD, 所以AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°. ∴Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°.

∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE.

如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2.

又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即DE=AD+BE. （3）DE=BE-AD.

如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2.

又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE. ∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.

NCD1C2ECMD1E2N12EADM(第25题图3)BA(第25题图1)BA(第25题图2)B

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21．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

A D

N E M B C

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

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E N M F B C A D

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设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（）2＋（

x2x3x，EF＝. 223x＋x）2＝2?3?1?.

2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.

22．（2010湖北随州）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；

3（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明

45

作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 4

此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出

t值，若不存在请说明理由.

【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为PF＝1，故△MPF为正三角形. （3）不存在.因为当t＜

与PN不可能相等.

0)，B(2，0)，23．（2010 内蒙古包头）已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象经过点A(1，C(0，?2)，直线x?m（m?2）与x轴交于点D．

55，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM44113.此时，MP＝MF＝，横坐标为1?42（1）求二次函数的解析式；

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（2）在直线x?m（m?2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

?a?b?c?0，?【答案】解：（1）根据题意，得?4a?2b?c?0，

?c??2.?O x y y A O (F2)F1 C (x=m) E1 (E2) B D x 解得a??1，b?3，c??2．

?y??x?3x?2． 222222 （2分） （2）当△EDB∽△AOC时， 得

AOCOAOCO??或， EDBDBDED2∵AO?1，CO?2，BD?m?2，

AOCO12??当时，得， EDBDEDm?2∴ED?m?2， 2?2?m?∵点E在第四象限，∴E1?m，?． 2222222222222 （4分）

2??当

AOCO12??时，得，∴ED?2m?4， BDEDm?2ED4?2m)． 2222222222222 （6分） ∵点E在第四象限，∴E2(m，（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则

EF?AB?1，点F的横坐标为m?1，

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2?m??2?m??m?1，当点E1的坐标为?m，时，点的坐标为F???， 12?2???∵点F1在抛物线的图象上， ∴

∴2m2?11m?14?0， ∴(2m?7)(m?2)?0，

7∴m?，m?2（舍去），

22?m??(m?1)2?3(m?1)?2，全品中考网 2?53???， ∴F1?，24??∴S?ABEF?1?33?． 22222222222222222222 （9分） 444?2m)时，点F2的坐标为(m?1，4?2m)， 当点E2的坐标为(m，∵点F2在抛物线的图象上， ∴4?2m??(m?1)2?3(m?1)?2，

2∴m?7m?10?0，

∴(m?2)(m?5)?0，∴m?2（舍去），m?5，

?6)， ∴F2(4，∴S?ABEF?1?6?6． （12分）

24．（2010 湖南湘潭）如图，直线y??x?6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y?ax2?bx?c过A、C、O三点．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA2OD，求证：DB是⊙C的切线；

(3)抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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yx

26题图 【答案】解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分

连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则OC?1AB，

2所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3） ……………………2分 抛物线过点O，所以c=0, 又抛物线过点A、C，所以

?3?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2

312y??x?2x …………………3分 所以抛物线解析式为

3（2）OA=OB=6代入OB2=OA2OD，得OD=6 ……………………4分 所以OD=OB=OA，∠DBA=90o． ……………………5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分 若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b． 又AP过点A（6，0），则b=-6, ……………………8分 方程y=x-6与

1y??x2?2x联立解得：

3?x1?6y1?0，

?x2??3y2??9，

故点P1坐标为（-3，-9） ……………………9分

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若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，-9） (用抛物线的对称性求出亦可)

故存在点P1坐标为（-3，-9）和P2（9，-9）满足题意．…………10分

25．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴

交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存

在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax2?bx?3． ………………………1分

?a?b?3?0,把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?

?9a?3b?3?0.解得a?1,b??2.

∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.

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ECNU LEX

2在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC?18. …………………………6分

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD2?2. …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD2?20. …………………………8分

222∴ BC?CD?BD， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

1求得符合条件的点为P1(0,)． …………………………………………11分

3过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分

1∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.

326．（2010福建南平）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；

（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；

（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

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ECNU LEX D C D C E A E F P 图1

B M A N P 图2 B

【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中 ∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP ∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC中，AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴ ∠EPA=∠EAP (2)答：□ APCD是矩形 ∵四边形APCD是平行四边形 ∴ AC=2EA, PD=2EP ∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP ∴ EA=EP 则 AC=PD ∴□APCD是矩形 (3)答： EM=EN

1

∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ α

2

11

∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α

22由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB ∴∠FPB=∠ABC=α

11

∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α

22∴ ∠EAM=∠EPN

∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ∴ ∠AEP=∠MEN

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ECNU LEX

∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP

∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN

27．（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴

交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存

在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax2?bx?3． ………………………1分

?a?b?3?0,把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得?

9a?3b?3?0.?解得a?1,b??2.

∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对a?1,b??2，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分. （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.

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