江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第章平面向量与复数

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目录（基础复习部分）第六章平面向量与复数 ................................................................................................................................... 2

第35课向量的有关概念和线性运算 ................................................................................................... 2 第36课平面向量基本定理和坐标运算................................................................................................ 2 第37课平面向量的数量积 ................................................................................................................... 4 第38课平面向量的应用 ....................................................................................................................... 6 第39课复数 ......................................................................................................................................... 10

- 1 -

第六章平面向量与复数第35课向量的有关概念和线性运算

??1??????已知向量e1,e2是两个不共线的向量，若a?2e1?e2与b?e1??e2共线，则?? ▲ ．?

2（南京盐城二模）6.如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE??BA??BD（?,??R），则 ???? 3

B第6题图AEOCD

第36课平面向量基本定理和坐标运算

已知向量a?(2,1),b?(0,?1),若(a??b)//a,则实数?? . 0

????（镇江期末）已知向量a?(2x?1,?1)，b?(2,x?1)，a?b，则x? ▲ . 1

??????ac?1,2,b?0,?1,c?k,?2(苏锡常镇二模)已知向量??????，若a?2b?，则实数k? ▲ ８

??（金海南三校联考）设x>0，y>0，向量a=(1－x，4)，b=(x，－y)，若a//b，则x＋y的最小值为 .9

(南通一中期中) 已知平面向量a?(2,?1)，向量b?(1,1)，向量c?(?5,1). 若(a?kb)//c，则实数k的值为 ▲ ．

1 2（苏北四市期末）已知向量a?(1,2sin?)，b?(sin(??),1)，??R． (1) 若a?b，求tan?的值；

π3(2) 若a∥b，且??(0,)，求?的值．

2（1）因为a?b，所以a?b=0， …………………………………………………2分

所以2sin??sin???π??53π?sin??cos??0．………………………4分，即?0?223?因为cos??0，所以tan???（2）由a∥b，得2sin?sin???即2sin?cos23． …………………………………………6分 5??π???1， ……………………………………………8分 3?ππ13?2sin?cos?sin?1，即?1?cos2???sin2??1， 3322整理得，sin?2??又???0,所以2????π?1?? ……………………………………………………11分 6?2??π?π5π?π?，所以2?????,?， ?6?66?2?πππ?，即??． …………………………………………………14分 666π??已知向量a??sin(α?),3?，b?(1,4cosa)，α?(0,π)．

6??（1）若a⊥b，求tanα的值；

（2）若a∥b，求α的值．

- 2 -

π解：（1）因为a⊥b，所以sin(α?)?12cosα?0， ???????????2分

6 即31325sinα?cosα?12cosα?0，即sinα?cosα?0， ???????4分 2222 又cosα?0，所以tanα??253． ??????????????????6分 3π（2）若a∥b，则4cosαsin(α?)?3， ?????????????????8分

6 即4cosα(31sinα?cosα)?3， 22 所以3sin2α?cos2α?2， ?????????????????????10分

π 所以sin(2α?)?1， ????????????????????????11分

6 因为α?(0,π)，所以2α? 所以2α?ππ13π?(,)， ???????????????13分 666πππ?，即α?． ????????????????????14分 626（泰州二模）已知向量a?(?,13)，b?(2cos?,2sin?)，0???π． 22（1）若a∥b，求角?的大小；（2）若a?b?b，求sin?的值．解：(1) 因为a//b，所以?13?2sin???2cos?，即?sin??3cos?， 222π． ?????７分 32所以tan???3，又0???π，所以?? (2)因为a?b?b，所以(a?b)2?b2，化简得a?2a?b?0，

又a?(?,13)，b?(2cos?,2sin?)，则a2?1，a?b??cos??3sin?， 221π1，则sin(??)???0， ?????10分 264所以3sin??cos???又0???π，cos(??)?π615， 4所以sin??sin[(??)?π6πππππ15?3]?sin(??)cos?cos(??)sin?． 666668在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0),B(t,2),C(6,t),t?R,O为坐标原点. (1) 若?ABC是直角三角形，求t的值；

(2) 若四边形ABCD是平行四边形，求OD的最小值.

- 3 -

????????????解：（1）由条件，AB??t?4,2?,AC??2,t?,BC??6?t,t?2?，-

??????????ABC若直角中，?A?90，则AB?AC?0，即2?t?4??2t?0，

?t?2；-----------------------------------------------------------------------------------------2分

????????若直角?ABC中，?B?90?，则AB?BC?0，即?t?4??6?t??2?t?2??0，?t?6?22； ????????若直角?ABC中，?C?90，则AC?BC?0，即2?6?t??t?t?2??0，无解，

?所以，满足条件的t的值为2或6?22． -----------------------8分 ????????（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AD?BC，设D的坐标为(x,y)

?x?4?6?6??即?x?4,y???6?t,t?2?，?y?t?2．即D(10?t,t?2)

????OD?(10?t)2?(t?2)2?2t2?24t?104，

????所以当t?6时，OD的最小值为42，--------------------------14分

第37课平面向量的数量积

2p平面向量a?(3,1)，b?(?23,2)，则a与b的夹角为 ▲ ．

已知向量a??1,1?，b???1,1?，设向量c满足?2a?c???3b?c??0，则c的最大值为 ▲ ．26 已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝ ▲ ．5

（盐城期中）若a,b均为单位向量，且a?(a?2b)，则a,b的夹角大小为 ▲ .

? 3、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0,3)，且P在线段已知O、AB

uuruuuruuuruuurAB上，AP?tAB(0≤t≤1)，则OA?OP的最大值为 9 ．

如图，?ABC中，AC?3,BC?4,?C?90?,D是BC的中点，则

BA?AD的值为 . ?17

11.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，

AE与BD交于点M，AB?2,AD?1，且 ????????????????13AB?AD? ． MA?MB??，则

64C A

第9题图

已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120，点E，F分别在边BC，

oA - 4 -

O B M （南通一）

ruuur????????????????uuuDC上，BE??BC，CF??CD.若AE?BF-1，则?= .2 2

?????????(南通调研一) 如上图，圆O内接?ABC中，M是BC的中点，AC?3．若AO?AM?4，则

AB? .7 （苏州期末）如图，在?ABC中，已知AB?4，AC?6，?BAC?60?，点D，E分别在边AB，AC????????????????????????FDE上，且AB?2AD，AC?3AE，点为中点，则BF?DE的值

为 . 4

（淮安宿迁摸底）如图，已知?ABC中，AB?AC?4，?BAC?90?，D

D A C F D C A (淮安宿迁摸底) E ?????1?????????????是BC 的中点，若向量AM?AB?m?AC，且AM的终点M在B 4???????????ACD的内部（不含边界），则AM?BM的取值范围是 ▲ ．??2,6?

????????????????（南通调研二）在平行四边形ABCD中，AC?AD?AC?BD?3，则线段ACB 的长为 ▲ ．【答案】3 （南通调研三）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为

?????????上的动点，则PC?PD的圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧EF最小值为 ▲ ．

A D C

F P B E （第11题）

【答案】5?25 ?P

M O N

（苏北三市调研三）如图，半径为2的扇形的圆心角为120，M,N分别

??????????为线段OP,OQ的中点，A为PQ上任意一点，则AM?AN的取值范

围是 ▲ .[.]

（南京三模）在△ABC中， ?ABC＝120?，BA＝2，BC＝3，D，E是线??11

段AC的三等分点，则BD·BE的值为 ▲ ．

Q 苏北三市调研

????????2?（盐城三模）在边长为1的菱形ABCD中，?A?，若点P为对角线AC上一点，则PB?PD的最大

31C 值为 ▲ . ? 2??1．如图，已知点O是△ABC的重心，OA?OB，AB=6，则AC?BC的值为．

答案：72

- 5 -

O A

?????15．已知a?2,b?1，a与b的夹角为135．

????（1）求(a?b)?(2a?b)的值；

??（2）若k为实数，求a?kb的最小值．

?????2?2??解：因为(a?b)?(2a?b)?2a?b?a?b????????????????3分

2)?2． ??????????????????6分 2???2?2??22（2）a?kb?a?kb?2ka?b ????????????????????8分

?4?1?2?1?(? ?k2?2k?2?(k?1)2?1．??????????????????????10分

??2当k?1时，a?kb的最小值为1，?????????????????????12分

??即a?kb的最小值为1． ??????????????????????14分

????????AB已知平行四边形ABCD中，AB?2，?????AB形ABCD的面积为 ▲ ．23 如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于A,B的一点 Q是

第38课平面向量的应用

????????ADAC?????3????，则平行四边ADAC24????????????????线段AP上靠近A的三等分点,且AQ?AB?4,则BQ?BP的值为 ▲

uuuruuuruuur已知AD是VABC的中线，若?A?120o，AB?AC??2，则|AD|的最小值是 1 ．

?????????????????????????AB?2DCAP?BP?4DP?0，在梯形ABCD中，，BC?6，P为梯形所在平面上一点，且满足

????????????????????DA?CB?DA?DP，Q为边AD上的一个动点，则PQ的最小值为 ▲ ．

答案：42； 3????????（扬州期末）已知A(0，1)，曲线C：y?logax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且AB?AP的最

小值为2，则a=＿＿＿＿＿. e

（苏北四市期末）在△ABC中，已知AC?3，?A?45?，点D满足

????????CD?2DB，且AD?13，则BC的长为 ▲ ． 3

- 6 -

A D E

盐城期中

（盐城期中）如图，在等腰?ABC中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且

11AD=DB，AE=3EC，若?DME?90?，则cosA= ▲ .

25（泰州二模）在?ABC中，D为边AC上一点，AB?AD?4,AC?6，若?ABC的外心恰在线段BD上，则BC? ▲ ．210

????????1????AB?AC?,则|AD|的最小（前黄姜堰四校联考）在ΔABC中，点D是线段BC的中点，若?A?60，20值是 ▲ .

3 2（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy中，设A，B为函数f(x)=1－x2的图象与x轴的两个交点，C，

????????D为函数f(x)的图象上的两个动点，且C，D在x轴上方(不含x轴)，则AC?BD的取值范围为 .

339

．(－4，－] 24

→→由题意A(－1，0)，B(1，0)，设C(x1，1－x12)，D(x1，1－x12)，－1＜x1，x2＜1，则AC·BD＝

(x1＋1)(x2－1)＋(1－x12)(1－x22)＝(x2－1)[(x2＋1)x12＋x1－x2]．记f(x)＝(x2＋1)x2＋x－x2，－1＜x＜1． 11

（1）当－1＜x2≤－时，则0＜2(x2＋1)≤1，－≤－1，又x2＋1＞0，所以f(x)在(－1，1)上单

22(x2＋1)→→调递增，因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以0＜f(x)＜2．又x2－1＜0，所以2(x2－1)＜AC·BD＜0． →→1

根据－1＜x2≤－，则－4＜AC·BD＜0．

111

（2）当－＜x2＜1时，则1＜2(x2＋1)＜1，－1＜－＜－．又x2＋1＞0，所以f(x)在(－1，1)

242(x2＋1)上先减后增，x＝－

1111

时取的最小值f(－)＝－[x2＋]，又f(1)＝2，所以x2＋

2(x2＋1)2(x2＋1)4(x2＋1)4(x2＋1)

→→1

＜f(x)＜2．又x2－1＜0，所以2(x2－1)＜AC·BD≤[x2＋](1－x2)．

4(x2＋1)

1－x4x3＋6x2－11112

令g(x)＝x(1－x)＋，则g(x)＝－x＋x－＋，g'(x)＝1－2x－＝－＝

42(x＋1)4(x＋1)2 (x＋1)22(x＋1)2(2x＋1)(x－－3－13＋1

)(x＋)223－13－11

，当－＜x＜时，g'(x)＞0；＜x＜1时g'(x)＜0；所以g(x) 22222(x＋1)

3－13391

在(－，1)上先增后减，所以g(x)max≤g()＝－．

2224→→339又2(x2－1)＞－3，所以－3＜AC·BD≤－．

24→→339

综上，AC·BD的取值范围是(－4，－]．

- 7 -

A B

（南师附中四校联考）如图，在△ABC中，CD?2DB.

（1）若AD?xAB?yBC（x、y为实数），求x、y的值；（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求AD?BC的值. （1）∵CD?2DB，∴AD?AC?2(AB?AD)，∴AD?又∵AD?xAB?yBC?(x?y)AB?yAC ∴

21AB?AC??3分 3321AB?AC?(x?y)AB?yAC??????5分 332?x?y??1?3∵AB与AC不共线，∴?，∴x?1,y???????7分

3?y?1?3?21AB?AC)?(AC?AB)??????10分 3322121?AB?AC?AB?AC????????12分 3334=??????14分 3（2）AD?BC?(

已知扇形AOB的半径等于1，?AOB?120，P是圆弧?AB上的一点．

?uuuruuur（1）若?AOP?30，求OP?AB的值．

?uuuruuruuur（2）若OP??OA??OB,①求?,?满足的条件；②求?2+?2的取值范围．

解：（1）因为?AOP?30，?AOB?120，

??uuuruuur所以?BOP??AOB??AOP?120?30?90,OP?OB?0.

ooouuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruurOP?AB?OP?(OB?OA)?OP?OB?OP?OA ????????3分

3. ????????????????????5分 2uur2uuur2uuur2|?OA|?|?OB|?|OP|uuruuur?cos60o，?????7分（2）①由余弦定理，知

2|?OA||?OB|?0?cos30o???2+?2?11故?,得?2??2?1???，所以?,?满足的条件

2??2- 8 -

??≥0，?≥0，为?2 ???????????????????10分 2???????1.? ②由?≥0,?≥0，知?2??2?1???≥1

（当且仅当??0或??0时取“=”）?????????????????12分

由????1???≤1?22?2??22，

知?2??2≤2（当且仅当???时取“=”）． ???????????????14分于是?2??2的取值范围为[1,2]． ????????????????????15分

（南通调研二）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a?(1，0)，b?(0，2).设向量

x?a?(1?cos?)b，

y??ka?1b，其中0???π.

sin? （1）若k?4，??π，求x?y的值；

6（2）若x//y，求实数k的最大值，并求取最大值时?的值.

解：（1）（方法1）当k?4，??π时，x?1，2?3，y?(?4，4)， ?? 2分

6 则x?y?1?(?4)?2?3?4?4?43． ?? 6分

（方法2）依题意，a?b?0， ?? 2分

?? 则x?y??a?1?3b????4a?2b???4a2?2?1?3b2

2?2????????? ??4?2?1?32????4?4?4 ．3 ?? 6分

（2）依题意，x??1，2?2cos??，y??k，2， sin? 因为x//y，

所以2??k(2?2cos?)，

sin? 整理得，1?sin??cos??1?， ?? 9分

k 令f(?)?sin??cos??1?，

则f?(?)?cos??cos??1??sin?(?sin?)

??? ?2co2sc?o?s 1- 9 -

??2cos??1??cos??1?. ?? 11分

令f?(?)?0，得cos???1或cos??1，

2 又0???π，故??2π.

3 列表：

? f?(?) f(?) 2π? ?0，3? 2π 3 π? ?23π，

0 极小值?33 4? ↗ ↘

故当??2π时，f(?)min??33，此时实数k取最大值?43. ?? 14分

349（注：第（2）小问中，得到x??1，） 2?2cos??，y??k，2，及k与?的等式，各1分．

sin???

第39课复数

2．设复数z?m?3i（m?0，i为虚数单位），若z?z，则m的值为 ▲ ．3 1?mi1．若复数z1?a?2i,z2?1?i,且z1z2为纯虚数,则实数a的值为 ▲ ? 2 122．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝ ▲ ． 21＋i3．如果x?1?yi，与i?3x 是共轭复数（x、y是实数），则x?y??3． 44．已知z?(a?i)(1?2i)(a?R,i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则

1a? .

25．已知复数z?i(1?i)(i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．一

6．复数z满足iz?3?4i（i是虚数单位），则z? ▲ ．答案：4?3i；

5?m（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m? ．?1 1?2i已知复数z满足(1-i)z=1+i，则z的模为 .1 若复数

（南通调研一）已知复数z满足?3?4i?z?1(i为虚数单位)，则z的模为 .

（南京盐城模拟一）若复数z?答案：?1

a?i（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a? ▲ . i15

- 10 -

2?3i?a?bi(a，b?R，i为虚数单位)，则a?b? . 1 i11－i?（扬州期末）已知i是虚数单位，则的实部为＿＿＿＿＿. 2(1?i)2（镇江期末）记复数z?a?bi（i为虚数单位）的共轭复数为z?a?bi（a，b?R），已知z?2?i，

（苏州期末）已知则z? ▲ . 3?4i

（苏北四市期末）设复数z满足i(z?4)=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为 ▲ ．?3

21?ai为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是 ▲ ．1 1?i（南京盐城二模）已知复数z?(2?i)(1?3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于

（淮安宿迁摸底）若复数第象限。一

（泰州二模）若复数(a?2)?i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a= ▲ ．2

（南通调研二）设1?i?a?bi(i为虚数单位，a，b?R)，则ab的值为 ▲ ．

1?i【答案】0

（南通调研三）已知复数z?(1?i)(1?2i)(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．【答案】3

（苏北三市调研三）已知复数z?i(3?4i) (i为虚数单位)，则z的模为 ▲ ．5

（南京三模）已知复数z＝－1，其中i为虚数单位，则z的模为 ▲ ．5

1－i

（盐城三模）若复数z?(x?i)(1?i)是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数z? ▲ . ?2i

（苏锡常镇二模）设1?2i=2i(a+bi)(i为虚数单位，a,b?R），则a?b的值是 ▲ 1 2（南师附中四校联考）设i是虚数单位，则复数

i5的模为 ▲ ． 2?i5(前黄姜堰四校联考)复数z?i2(i为虚数单位),则复数z的模为 ▲ . 1?i2（金海南三校联考）已知复数z1=1－2i，z2=a＋2i(其中i为虚数单位，a∈R).若z1·z2是纯虚数，则a的值为 .－4

a+2i

(南通四模)设 a? R，复数(i是虚数单位)是纯虚数，则 a 的值为 1+2i解析－3＋i－1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝25. 答案 25

▲ ．-4

(南师附中) 在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为 ▲ ．

- 11 -