2024年北京市中考数学试卷(解析版)

2017年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.如图所示，点P到直线l的距离是（ ）

A．线段PA的长度 B． 线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度 2.若代数式

x有意义，则实数x的取值范围是（ ） x?4A．x?0 B．x?4 C．x?0 D．x?4 3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）

A． 三棱柱 B． 圆锥 C．四棱柱 D． 圆柱 4. 实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a??4 B．bd?0 C. a?b D．b?c?0 5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C. D．

6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）

A． 6 B． 12 C. 16 D．18

- 1 -

4?a2?7. 如果a?2a?1?0，那么代数式?a???的值是（ ）

a?a?2?2A． -3 B． -1 C. 1 D．3 8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）

A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B．2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长

C. 2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元 D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多

9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（ ）

- 2 -

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次

10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断：

① 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖

向上”的概率是0.618；

③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620. 其中合理的是（ ）

A．① B．② C. ①② D．①③

二、填空题（本题共18分，每题3分）

11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．

12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为____________．

- 3 -

13.如图，在?ABC中，M、N分别为AC,BC的中点.若S?CMN?1，则S四边形ABNM? ．

0AD? ．14.如图，AB为?O的直径，C、D为?O上的点，AD?CD.若?CAB?40，则?C

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，?AOB可以看作是?OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由?OCD得到?AOB的过程： ．

16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt?ABC,?C?90，求作Rt?ABC的外接圆.

0

作法：如图．

（1）分别以点A和点B为圆心，大于

1AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点； 2 - 4 -

（2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作?O.

?O即为所求作的圆.

请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题 （本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算：4cos30?1?20??0?12??2.

?2?x?1??5x?7?18. 解不等式组：?x?10

?2x?3?19.如图，在?ABC中，AB?AC,?A?36，BD平分?ABC交AC于点D. 求证：AD?BC.

0

20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.

- 5 -

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．

证明：S矩形NFGD?S?ADC??S?ANF?S?FGC?，S矩形EBMF?S?ABC?（____________+____________）． 易知，S?ADC?S?ABC，_____________=______________，______________=_____________． 可得S矩形NFGD?S矩形EBMF．

21.关于x的一元二次方程x2??k?3?x?2k?2?0. （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围.

22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD//BC,AD?2BC,?ABD?900，E为AD的中点，连接BE.

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分?BAD,BC?1，求AC的长. 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y?（1）求k、m的值；

（2）已知点P?n,n??n?0?，过点P作平行于x轴的直线，交直线y?x?2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y?k?x?0?的图象与直线y?x?2交于点A?3,m?. xk?x?0?的图象于点N. x - 6 -

①当n?1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN?PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

24.如图，AB是?O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC?OA于点C，过点B作?O的切线交CE的延长线于点D.

（1）求证：DB?DE；

（2）若AB?12,BD?5，求?O的半径.

25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整. 收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

- 7 -

成绩x 人数 部门 甲 乙 40?x?49 50?x?59 60?x?69 70?x?79 80?x?89 90?x?100 0 0 1 11 7 1 （说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格） 分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门 平均数 中位数 众数 甲 乙 得出结论：

78.3 78 77.5 80.5 75 81 a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；

b.可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.（至少从两个不同的角

度说明推断的合理性）

26.如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM?AB交AB于点M，连接MB，过点P作

PN?MB于点N.已知AB?6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm（.当点P与点A或点B重合时，y的值为0）

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm 0 1 2 3 4 5 6 - 8 -

y/cm 0 2.0 2.3 2.1 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

0.9 0 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当?PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm. 27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x2?4x?3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求直线BC的表达式；

（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P?x1,y1?,Q?x2,y2?，与直线BC交于点N?x3,y3?，若

x1?x2?x3，结合函数的图象，求x1?x2?x3的取值范围.

28.在等腰直角?ABC中，?ACB?90，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ?CP，过点Q作QH?AP于点H，交AB于点M. （1）若?PAC??，求?AMQ的大小（用含?的式子表示）. （2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

0

- 9 -

29．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得

P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．

（1）当?O的半径为2时， ①在点P1??1??13??5?,0?,P2?,,P3?,0?中，?O的关联点是_______________． ????2??22??2?②点P在直线y??x上，若P为?O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

?C的圆心在x轴上，半径为2，直线y??x?1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点（2）

都是?C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.如图所示，点P到直线l的距离是（ ）

A．线段PA的长度 B． 线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度 【答案】B. 【解析】

试题分析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果故选B. 考点：点到直线的距离定义 2.若代数式

x有意义，则实数x的取值范围是（ ） x?4 - 10 -

A．x?0 B．x?4 C．x?0 D．x?4 【答案】D.

考点：分式有意义的条件

3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）

A． 三棱柱 B． 圆锥 C．四棱柱 D． 圆柱 【答案】A. 【解析】

试题分析：根据三棱柱的概念，将该展开图翻折起来正好是一个三棱柱.故选A. 考点：三视图

4. 实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A．a??4 B．bd?0 C. a?b D．b?c?0 【答案】C.

考点：实数与数轴

5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

- 11 -

A． 【答案】A. 【解析】

B． C. D．

试题分析：A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误.故选A。 考点：轴对称图形和中心对称图形的识别

6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A． 6 B． 12 C. 16 D．18 【答案】B. 【解析】

试题分析：设多边形的边数为n,则有（n-2）×180°=n×150°,解得：n=12.故选B. 考点：多边形的内角与外角

4?a2?7. 如果a?2a?1?0，那么代数式?a???的值是（ ）

aa?2??2A． -3 B． -1 C. 1 D．3 【答案】C.

考

点：代数式求值

8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

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