高一物理力学专题提升专题09牛顿运动定律的应用之临界极值问题

专题09 牛顿运动定律的应用之临界极值问题

【专题概述】

临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变.

临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。 (2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。 绳、轻杆、接触面形成的临界与极值情况 1. 轻绳形成的临界与极值

由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到能够承受的最大值.

2. 轻杆形成的临界与极值

与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最大拉力或最大压力所形成的临界状态.

3. 接触面形成的临界与极值 由接触面形成的临界状态相对较多:

①接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零

②接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩擦力达到最大值

③接触面间翻转、滚动形成的状态，力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴重合．或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴．

处理临界问题的三种方法

把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以极限法 达到正确解决问题的目的 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可假设法 能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法

解决临界问题的基本思路

(1) 认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2) 寻找过程中变化的物理量； (3) 探索物理量的变化规律；

(4) 确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。

挖掘临界条件是解题的关键。如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a。

【典例精讲】

【典例1】如图所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为α的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时，为使球相对于车仍保持静止，小车加速度的允许范围为多大？

将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件

【答案】 【解析】如图,对小车受力分析有:

名师点睛

解决临界问题，关键在于找到物体处于临界状态时的受力情况和运动情况，看临界状态时哪个力会为零，物体的加速度方向如何，然后应用牛顿第二定律求解.

【典例2】如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板， 其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是

诱导启思：??临界状态前后两物体受力有何变化？?临界状态前后两物体受力有何特点？

【答案】A

【解析】当F比较小时，两个物体相对静止，加速度相同，根据牛顿第二定律得：

a==，a∝t；

当F比较大时，m2相对于m1运动，根据牛顿第二定律得：

对m1：a1=，μ、m1、m2都一定，则a1一定．

对m2：a2===t﹣μg，a2是t的线性函数，t增大，a2增大．

由于确．

，则两木板相对滑动后a2图象大于两者相对静止时图象的斜率．故A正

【典例3】一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度．如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动．求经过多长时间木板开始与物体分离．

【答案】

本题关键分析物体刚分离时临界条件：弹力为零．牛顿第二定律研究某一状态时物体的合力与加速度的关系，加速度是联系合力和运动的桥梁.

【总结提升】：

当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件、用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。临界或极值条件的标志：一般题目中会出现刚好、正好、恰好、取值范围、最大、最小、至多、至少、出现这些词语表示存在临界情况 【专练提升】

1. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为

m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然

后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v。

(1)求箱子加速阶段的加速度大小a′；

(2)若a＞gtan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。 av2a

【答案】(1)2as－v2 (2)0 m(tan θ－g)

【解析】(1)由匀变速直线运动的公式有v＝2a′x1，v＝2ax2，且x1＋x2＝s av2

解得：a′＝2as－v2

2

2

2. 如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数速度g取10 m/s.

2

。重力加

（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？ 【答案】（1）3m/s2 8m/s (2)

平行斜面方向:垂直斜面方向:其中:

联立计算得出:

故当时,拉力F有最小值,为;

3. 如图，质量的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L=20m。用大小为30N，

拉至B处。(已知

，

。取

沿水平方向的外力拉此物体，经

)

(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ；

(2)用大小为30N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。

【答案】⑴0.5 ⑵1.03s 【解析】(1)物体做匀加速运动

由 可得

由牛顿第二定律有

故

∴

设F作用的最短时间为t，小车先以大小为a的加速度匀加速t秒，撤去外力后，以大小为a'的加速度匀减速t'秒到达B处，速度恰为0，由牛顿定律

由牛顿定律

∴

∵

4. 如图所示，将质量m＝1.24 kg的圆环套在固定的水平直杆上，环的直径略大于杆的截面直径，环与杆的动摩擦因数为μ＝0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角θ＝53°的恒定拉力F，使圆环从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内前进了2 m。(取g＝10 m/s，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：

2

(1) 圆环加速度a的大小； (2) 拉力F的大小。

【答案】(1)4 m/s (2)12 N或124 N

2

计算得出:

5如图所示,小车内有一光滑的斜面,当小车在水平轨道上向左做匀变速直线运动时,质量为m小物块恰好能与斜面保持静止,斜面的倾角为 的( )

,重力加速度为g,则下列说法正确

A 小车的加速度B小车的加速度C 斜面对物块的支持力D斜面对物块的支持力

【答案】AD

6、如图所示，小车内有一质量为的物块，一轻弹簧与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内。弹簧的劲度系数为，形变量为，物块和车之间动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力、运动过程中，物块和小车始终保持相对静止。下列说法正确的是（ ）。

A: 若B: 若C: 若D: 若

小于小于

，则车的加速度方向一定向左 ，则车的加速度的最小值为

，且车只能向左加速运动

大于大于

，则车的加速度方向可以向左也可以向右 ，则加速度的最大值为

，加速度的最小值为

【答案】AC 【解析】: A项，若左

、

向

小于右

，对物块受力分析可知，无论物块所受的摩擦力向

或

是

为

零

，

7 倾角物块,劲度系数

的光滑斜面上并排放着质量分别是和的A、B两

的轻弹簧一端与物块B相连,另一端与固定挡板相连,整个系

统处于静止状态,现对A施加一沿斜面向上的力F,使物块A沿斜面向上作匀加速运动,已知力F在前

内为变力,

后为恒力,g取

,求F的最大值和最小值.

【答案】F的最大值为,最小值为

,则

①

时,B对A的作用力

【解析】设刚开始时弹簧压缩量为因为在前为0,

由牛顿第二定律知:

时间内,F为变力,

以后,F为恒力,所以在

②

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