历年广东数列高考题汇编

历年广东高考数列题汇编 一 选择或填空题

（2011年）11．已知{an}是递增的等比数列，若a2?2，a4?a3?4，则此数列的公比

q? ．

４．巳知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时，

2log2a1?log2a3??log2a2n?1?

Ａ．n(2n?1) Ｂ．(n?1)2 Ｃ．n Ｄ．(n?1)2

４．巳知数列{an}是等比数列，Sn 是它的前n项和，若a2?a3?2a1且a4与2a7的等差中项 为

5，则S5? 4A 35 B 33 C 31 D 29

6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5 B.4 C. 3 D. 2

13．已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足

5?ak?8，则k? ．

14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)?_____；f(n)?_____（答案用n表示）.

二．解答题

图4

…

1．(2007广东文20)已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数，设a1?1，an?1?an?(1)求?、?的值；

(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?ln前n项和Sn．

f(an)，(n?1,2,). f?(an)an??,(n?1,2,).求数列{bn}的

an???1?5 2?1?5?1?5 ??? ??

2220解:(1) 由 x?x?1?0 得x?222an?an?1an?1 (2) f??x??2x?1 an?1?an? ?2an?12an?1

an2?11?53?5?an2?1?5an?an?1??2an?122?2?an?1??an?11?53?5?an2?1?5an?2an?122?????1?5??an???a???22??n????1?5??an?????an???2? ? bn?1?2bn 又 b1?ln2

a1??3?5?ln?a1??3?51?5 4ln2?数列?bn?是一个首项为 4ln1?5,公比为2的等比数列; 24ln? Sn?

1?51?2n??1?52?4?2n?1?ln 1?221(an?1?2an?2)（n=3,4,…）,数列?bn?满32. (2008广东文)设数列?an?满足a1?1,a2?2,an?足b1?1,bn(n?2,3,?)是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k，都有

?1?bm?bm?1???bm?k?1

(1)求数列?an?和?bn?的通项公式；

(2)若cn?nanbn(n?1,2,?)，求数列?cn?的前n项和.

12解：（1）由an?(an?1?2an?2)得an?an?1??(an?1?an?2)(n?3)

332又a2?a1?1?0，所以数列{an?1?an}是以1为首项，公比为?的等比数列，

3?2?∴an?1?an????，

?3?而an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)?n?1?(an?an?1)

n?1?2?1????2n?2n?183?2?3??2??2??2???1?1??????????????1??????；

255?3??3??3??3?1?3??1?b1?b2?1??1?b2?b3?1??由??1?b2?1 得b2??1,由??1?b3?1，得b3?1,…， ?b?Z,b?0?b?Z,b?023?2?3

同理可得当n为偶数时，bn??1；当n为奇数时，bn?1，因此bn???1,??1,当n为奇数时当n为偶数时

?83?2?n?1??????55?3?（2）cn?nanbn??n?1?83?2?????5?5??3??当n为奇数时，

8888Sn?(?2??3??4??55550当n为奇数时，则Sn?c1?c2??cn，

当n为偶数时n?101283??2??2??2??n)??1????2????3????55??3??3???3?12?2??n????3?????4(n?1)3??2??2??2????1????2????3????55??3??3???3?当n为偶数时，

?2??n????3?n?1?????2??n????3?n?1

8888Sn?(?2??3??4??55550101283??2??2??2??n)??1????2????3????55??3??3???3?2??????4n3??2??2??2???1????2????3????55??3??3???3?012?2??n????3?n?1n?1????

?2??2??2??2?令Tn?1????2????3?????n???…………………………①

?3??3??3??3?123n22?2??2??2??2?①?得Tn?1????2????3?????n???…………………②

33?3??3??3??3?①?②，得

n?2?1???123n?1nnn122222223??????????????Tn?1??????????????n??????n???3?(3?n)??∴

23?3??3??3??3??3??3??3?1?3?4n?239(n?3)?2?n?当n为奇数时?n??553????2? Tn?9?(9?3n)??，因此Sn??n3???4n?279(n?3)?2?当n为偶数时????5?5?3??3. (2009广东理21)已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

（２）证明：x1?x3?x5?21.

?x2n?1?1?xnx?2sinn 1?xnynln：y?kn(x?1)，联立x2?2nx?y2?0得

n2n?1解：（1）设直线

222222(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，∴kn?

（?n2n?1舍去）

2knnn2n?1n2x?，即，∴ y?k(x?1)?x??nnnn22n?1n?11?kn(n?1)2nn1?xnn?1??（2）证明：∵

n1?xn1?n?11?1 2n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?1132n?11 ??????????????242n352n?12n?1∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn

1?xn由于

xn?yn1?xn1，可令函数f(x)?x?2sinx，则f'(x)?1?2cosx，令?2n?11?xnf'(x)?0，得cosx???2，给定区间(0,)，则有f'(x)?0，则函数f(x)在(0,)上单调递

442减，∴f(x)?f(0)?0，即x??2sinx在(0,)恒成立，又0?411???，

2n?134则有

1?xnx11，即?2sin?2sinn.

2n?12n?11?xnyn.w.k.s.

13前n项和为f(n)?c数列?bn?(bn?0)的首项为c，且前n项和sn满足

x4．(2009广东文)已知点(1,)是函数f(x)?a(a?0,且a?1)的图像上一点。等比数列?an?的

Sn?Sn?1?Sn?Sn?1(n?2)。

（1） 求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）若数列?

x20.解：∵ 点(1,)是函数f(x)?a(a?0,且a?1)的图像上一点，

?1?1000的最小正整数n是多少？ ?的前n项和为Tn，问满足Tn?2009?bnbn?1?131?1?∴ f(1)?a?， 即f(x)???

3?3?x

n?1?设等比数列?an?的前n项和为An，依题意，得An=f(n)?c=???c，

?3?1 所以，当n=1 时， a1??c，

32?1??1??1?当n≥2 时， an?An?An?1??????????，

3?3??3??3?1?112?1?由数列?an?为等比数列，可知a1??c=???，解得c=1,

33?3?2?1?所以数列?an?的通项公式为an????3?3?数列?bn?(bn?0)的首项为b1?c?1，

前n项和sn满足Sn?Sn?1?n?1nn?1n?1?1???2?? n?N*。

?3?nSn?Sn?1(n?2)。

整理，得(Sn?Sn?1)(Sn?Sn?1?1)?0

由bn?0可知Sn?0，所以Sn?所以

Sn?1?0，Sn?Sn?1?1?0

Sn?Sn?1?1， 又S1?b1?1，即S1?1

∴数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，Sn?1?(n?1)?1?n

∴Sn?n2

当n≥2 时， bn?Sn?Sn?1?n2??n?1??2n?1，

2又当n=1 时，2n-1=1=b1,符合以上公式，

所以，数列?bn?的通项公式为bn?2n?1(n?N)。

*（2）由（1）知

111?11??????

bnbn?1(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?所以，数列??1??的前n项和为

?bnbn?1?1??11??11??11?1??11???1Tn=???????????????????????

2??13??35??57?2n?32n?12n?12n?1?????1?1?n =?1? ??2?2n?1?2n?1n100010001??111 令Tn=，解得n?2n?12009991000所以，满足Tn?的最小正整数n是112.

20095．(2010广东文)已知曲线Cn:y?nx2,点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点

(n?1,2,...，)

20．（本小题满分14分）

设b?0，数列{an}满足a1?b，an?（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，2an≤b20．（1）解：∵an?n?1nban?1(n≥2)．

an?1?n?1?1．

nban?1

an?1?n?1aban?1∴n? nan?1?n?1n1n?11∴??? anban?1bnn?1n① 当b?1时，??1，则{}是以1为首项，1为公差的等差数列

anan?1ann∴?1?(n?1)?1?n，即an?1 ann11n?11② 当b?0且b?1时，??(?)

an1?bban?11?bn11??当n?1时， an1?bb(1?b)11n1∴{?为首项，为公比的等比数列 }是以

bb(1?b)an1?b

∴

n111???()n an1?b1?bbn111?bn∴ ???nnan(1?b)b1?b(1?b)bn(1?b)bn∴an?

1?bn?n(1?b)bn,　b?0且b?1?综上所述an??1?bn

?1，　 　b?1　　　?（2）证明：① 当b?1时，2an?bn?1?1?2；

② 当b?0且b?1时，1?bn?(1?b)(1?b?n?1?bn?2?bn?1)

2n(1?b)bnn?1?b?1， 要证2an?b?1，只需证n1?b2n(1?b)1?b?即证

1?bnbn2n1?b?即证

1?b??bn?2?bn?1bn1n?2n?1即证(b?n)(1?b??b?b)?2n

b11112n?1n即证(b?b??b?b)?(n?n?1??2?)?2n

bbbb11112n?1n∵(b?b??b?b)?(n?n?1??2?)

bbbb1111?(b?)?(b2?2)??(bn?1?n?1)?(bn?n)

bbbb1111?2b??2b2?2??2bn?1?n?1?2bn?n?2n，∴原不等式成立

bbbbn?1∴对于一切正整数n，2an≤b?1．

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