【数学】2024年高考真题湖北卷(理)解析版

11Sn?1??an?1?()n?2?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?122当n?2时，， 1?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?12.

又

bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.

bn?1?(n?1)?1?n?2nan,?an?n2n.

于是

(II)由（I）得

cn?n?11an?(n?1)()nn2，所以

1111Tn?2??3?()2?4?()3?K?(n?1)()n2222

11111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?K?(n?1)()n?122222

11111Tn?1?()2?()3?K?()n?(n?1)()n?12222 由①-②得211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?112221?2n?3?Tn?3?n2

5nn?35n(n?3)(2n?2n?1)Tn??3?n??2n?122n?12n(2n?1)

Tn与5nn2n?1的大小关系等价于比较2与2n?1的大小

于是确定

23452?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;K 由

2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时2k?1n?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1

所以当n?k?1时猜想也成立

11

综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证法2：当n?3时

012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1

n综上所述，当n?1,2时Tn?5n5nTn?2n?1，当n?3时2n?1

20、（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）

2y?2px(p?0)的对称轴上一点A?a,0??a?0?的直线与抛物线相交于M、过抛物线N两

点，自M、N向直线l:x??a作垂线，垂足分别为

M1、N1。

a?（Ⅰ）当（Ⅱ）记

p2时，求证：AM1⊥AN1；

?AMM1、?AM1N1 、?ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在?，使

2S??S1S2成立。若存在，求出?的值；若不存在，说明理由。 a?02得对任意的，都有

20题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运

用数学知识进行推理运算的能力。（14分） 解：依题意，可设直线MN的方程为

x?my?a,M(x1,y1),N(x2,y2)，则有

M(?a,y1),N(?a,y2)

?x?my?a?22y?2pxy?由消去x可得?2mpy?2ap?0

?y1?y2?2mp?yy??2ap从而有?12 ①

2x?x?m(y?y)?2a?2(mp?a) ② 1212于是

(y1y2)2(?2ap)2x1x2???a22222y?2px1，y1?2px2可得4p4p又由1 ③

a?（Ⅰ）如图1，当

pppA(,0)x??2 2时，点2即为抛物线的焦点，l为其准线

此时

M1(?PP,y1),N1(?,y2),并由2yy??p2212 ①可得

12

uuuuvuuuvQAM?(?p,y),11AN1?(?p,y2) 证法1：

uuuuvuuuv?AM1?AN1?p2?y1y2?p2?p2?0,即AM1?AN1

QKAM1??证法2：

y1y,KAN1??2,pp

?KAM1?KAN1

y1y2p2?2??2??1,即AM1?AN1.pp

2S?4S1S3成立，证明如下： ??4a?02(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有

证法1：记直线l与x轴的交点为

A1,则OA?OA1?a。于是有

11S1??MM1?A1M1?（x1?a)y1221S2??M1N1?AA1?ay1?y2211S3??NN1?A1N1?（x2?a)y222

2?S2?4S1S3?(ay1?y2)2?(x1?a)y1?(x2?a)y2?a2[(y1?y2)2?4y1y2]?[x1x2?a(x1?x2)?a2]y1y2将①、②、③代入上式化简可得

a2(4m2p2?8ap)?2ap(2am2p?4a2)?4a2p(m2p?2a)

2a?0,S?4S1S3成立 2上式恒成立，即对任意

2MN,NMyy??2ap,y?2px1可得 11121证法2：如图2，连接,则由

13

KOM?y12p2py22py2y2?????KON1MN1经过原点O， x1y1y1y2?2ap?a,所以直线

同理可证直线又

NM1也经过原点O

设

OA?OA1?aM1A1?h1,N1A1?h2,MM1?d1,NN1?d2,则

S1?111d1h1,S2??2a(h1?h2)?a(h1?h2),S3?d2h2.222

21.(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效）

?:p?q?? 在R上定义运算

1?p?c??q?b??4bc3（b、c为实常数）。记

f1?????2?2c，

f2??????2b，??R.令

f????f1????f2???.

4???如果函数f???在??1处有极什3,试确定b、c的值；

?????求曲线y?f???上斜率为c的切线与该曲线的公共点； ?????记g?x??的最大值。 21题 当

f??x?|??1?x?1?的最大值为M.若M?k对任意的b、c恒成立，试示kb?1时，函数y?f?(x)得对称轴x=b位于区间[?1,1]之外

此时M?max{g(?1),g(1),g(b)}

2????f(1)?f(?1)?4b,有f(b)?f(?1)?(bm1)?0 由

?g(-1)?max{g(?1),g(b)} 若?1?b?0,则f(1)?f(-1)?f(b),M?max{f?(?1),f?(b)}?于是

???111(f?(1)?f?(b))?(f?(1)?f?(b))?(b?1)2222

若0?b?1，则f?(=1)?f?(1)?f?(b)，?g(1)?max{g(?1),g(b)} 于是

1111M?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(?1)?f?(b))?(f?(?1)?f?(b))?(b?1)2?2222 1M?2 综上，对任意的b、c都有

14

1112g(x)??x?b?0,c?M?2在区间[?1,1]上的最大值2时，2 而当，

1故M?K对任意的b，c恒成立的k的最大值为2

15

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学（理工农医类）

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 祝考试顺利 注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1、已知P?{a|a?(1,0)?m(0,1),m?R},Q?{b|b?(1,1)?n(?1,1),n?R}是两个向量集合，则PIQ?

A．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 1．【答案】A 【解析】因为a?(1,m) b?(1?n,1?n)代入选项可得

P?Q???1,1??故选A.

y?2.设a为非零实数，函数

1?ax1(x?R,且x??)的反函数是1?axa

y?A、

1?ax11?ax1(x?R,且x??)y?(x?R,且x??)1?axa B、1?axa

y?C、

1?x1?x(x?R,且x?1)y?(x?R,且x??1)a(1?x)a(1?x) D、

1?ax1(x?R,且x??)1?axa，从中解得

2．【答案】D

y?【解析】由原函数是

x?1?y1?y(y?R,且y??1)x?(y?R,且y??1)a(1?y)a(1?y)即原函数的反函数是，故选择

D

3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为

1

11A、3 B、4 11C、6 D、12

3．【答案】C

22(m?ni)(n?mi)?2mn?(n?m)i为实数 【解析】因为

22所以n?m故m?n则可以取1、2???6，共6种可能，所以

P?61?11C6?C66

y?cos(2x?4.函数

?6)?2''的图象F按向量a平移到F,F的函数解析式为y?f(x),当

y?f(x)为奇函数时，向量a可以等于 A.(??6,?2)B.(??6,2)

4．【答案】B

D.(,2)C.(?,2)66

??v??【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设a?(x,y)，根据定义

y?y??cos[2(x?x?)?]?2?6，根据y是奇函数，对应求出x?，y。

5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名

学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

?A.18 B.24 C.30 D.36

5．【答案】C

23CA43【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而3233甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C4A3?A3?30

（6.设

n??2?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n2，则

lim[(a0?a2?a4?...?a2n)2?(a1?a3?a5?...?a2n?1)2]?D.22

A.?1 B.0 C.1

6．【答案】B

a0?(22n1)?n22

2

【解析】令x?0得

2?1)2n?a0?a1?a2?????a2n令x?1时2

(2?1)2n?a0?a1?a2?????a2n令x??1时2

((两式相加得：

a0?a2?????a2n?(22?1)2n?(?1)2n222 22?1)2n?(?1)2n222

两式相减得：

代入极限式可得，故选B

a1?a3?????a2n?1?x2y2x2y2??1?2?127.已知双曲线2的准线过椭圆4b的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多

有一个交点的充要条件是

1??11??K???,?K????,??2??22? B. ?A.

??22?2?K???,K??????,?2?22?? D. ??C.

7．【答案】A

?1?,????2?? ?2?,?????2??

a22x??????1b2【解析】易得准线方程是

x2y2??122222c?a?b?4?b?1b?343所以 即所以方程是

22联立y?kx?2 可得 3x+(4k+16k)x?4?0由??0可解得A

8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 8．【答案】B

【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则可求出最优解为（4，2）故

?0?x?4??0?y?8?20?10y?100?,求Z=400x+300y最小值.

?min?2200故选B.

3

9.设球的半径为时间t的函数

R?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速

度与球半径

A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 9.【答案】D

4V(t)??R3(t)'2'c?V(t)?4?R(t)R(t)，由此可得3【解析】由题意可知球的体积为，则

c?4?R(t)2'S(t)?4?R(t)， R(t)R(t)，而球的表面积为

所以

v表＝S'(t)?4?R2(t)?8?R(t)R'(t)，

v表＝8?R(t)R'(t)＝2?4?R(t)R'(t)＝即

2c2c'R(t)＝R(t)R'(t)R(t)，故选D

10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378 10.【答案】C

an?【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项

n(n?1)2，同理可得正方形数

an?n(n?1)a2知n必

22(n?N?)可排除A、D，又由b?nb?nnn构成的数列通项，则由

为奇数，故选C.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置

4

上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

ax?11(??,?1)(?,??)211.已知关于x的不等式x?1＜0的解集是.则a? .

11.【答案】-2

1a(x?1)(x?)?0a【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于

a?0且由解集特点可得

11???a??2a2

12.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ，数据落在[2,10)内的概率约为 . 12.【答案】64 0.4

【解析】由于在[6,10)范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64

同样在[2,6)范围内的频数为16，所以在[2,10)范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4

13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这

个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号). 13.

8【答案】12800arccos

53

【解析】如图所示，可得AO=42400，则在

8Rt△ABO中可得cos∠AOB=53

8l???R?2?AOB?R?12800arccos53 所以

5

A B O C

f(x)?f'()cosx?sinx,f()4的值为 . 414.已知函数则

14.【答案】1

??f'(x)??f'()?sinx?cosxf'()??f'()?sin?cos44444 【解析】因为所以?f'()?2?1f()?f'()cos?sin?f()?1444444故

????????????an?,当an为偶数时，an?1??2?3an?1,当an为奇数时。a＝1an?a1＝m??15．已知数列满足：（m为正整数），若6，

则m所有可能的取值为__________。

15.【答案】4 5 32

a1amma2? a3?2?a?m为偶数，则2为偶, 故224 【解析】（1）若1mmmma4???????a6??1?m?32832 故32①当4仍为偶数时，

3m?1m3a4?3a3?1?m?1??????a6?444 ②当4为奇数时，3m?14?14故得m=4。

（2）若

a1?m为奇数，则a2?3a1?1?3m?1为偶数，故

3m?13m?116，所以16=1可得m=5

a3?3m?12必为偶数

??????a6?

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量?＝x＋y，求?的分布列和数学期望。

6

16.解析：依题意，可分别取??5、6、????11取，则有

p(??5)?14?4?116,p(??6)?216,p(??7)?316p(??8)?416,p(??9)?316,p(??10)?2116,p(??11)?16 ??的分布列为

?5 6 7 8 9 10 p

12343216 16 16 16 16 16E??5?116?6?216?7?316?8?416?9?316?10?2116?11?16?8.

17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知向量a?(cosa,sina),b?(cos?,sin?),c?(?1,0) （Ⅰ）求向量b?c的长度的最大值；

?（Ⅱ）设a?4，且a?(b?c)，求cos?的值。

17.解析：（1）解法1：b?c=(cos??1,sin?),则

|b?c|2?(cos??1)2?sin2??2(1?cos?).

?1?cos??1,?0?|b?c|2?4，即0?|b?c|?2.

当cos???1时，有|b?c|?2,所以向量b?c的长度的最大值为2. 解法2：|b|=1，|c|?1，|b?c|?|b|+|c|?2 当cos???1时，有|b?c|=(?2,0)，即|b?c|=2，

b?c的长度的最大值为2.

（2）解法1：由已知可得b?c=(cos??1,sin?),

a(b?c)?cos?cos??sin?sin??cos??cos(???)?cos?。 a⊥(b+c)，?a?(b?c)?0，即cos(???)?cos?。

7

11611

??由

?4，得

cos(?4??)?cos?4，即

???4?2k???4(k?z)。

???2k???4或??2k?，(k?z),于是cos??0或cos??1。

??解法2：若

?4，则

a?(22,)22，又由b?(cos?,sin?)，c?(?1,0)得

?a?(b?c)?(22222,)?(cos??1,sin?)?cos??sin??22222

a⊥(b+c)，?a?(b?c)?0，即cos?(cos??1)?0

?sin??1?cos?，平方后化简得cos?(cos??1)?0

解得cos??0或cos??1，经检验，cos??0或cos??1即为所求

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD，SD=2a，AD?2a点E是SD上的点，且DE??a(0???2)

（Ⅰ）求证：对任意的??(0,2]，都有AC?BE （Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为?，直线BE与平面ABCD所

成的角为?，若tan?gtan??1，求?的值

18.（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD，?BD是BE在平面ABCD上的射影，?AC⊥BE

8

（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=

?,

SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD, ?SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形，? CD⊥AD，而SD? AD=D，CD⊥平面SAD. 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=?。

在Rt△BDE中，在Rt△ADE中,

BD=2a，DE=?a?tan??DE??BD2

AD?2a,DE??a,?AE?a?2?2

DF?从而

AD?DE2?a?AE?2?2

CD?2?2tan???Rt?CDFDF?. 在中，

由tan??tan??1，得

?2?2?.?1??2?2?2??2?2?2.

由??(0,2]，解得??2，即为所求.

证法2：以D为原点，DA,DC,DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0?a），

?AC?(?2a,2a,0)B,E??(a2?,?a2 ,a9

)

?AC?BE?2a?2a?0??a?0， 即AC?BE。 解法2：

由（I）得EA?(2a,0,??a),EC?(0,2a,??a),BE?(?2a,?2a,?a).

22，n?EC得 设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由n?EA??n?EA?0,??2x??z?0,即取z?2，得n(?,?,2)????n?EC?0,??2y??z?0,。

易知平面

ABCD

与平面

ADE

的一个法向量分别为

DS?(0,0,2a)与DC?（0，2a,0）.

?sin??

DS?BEDS?BE????42,cos??DC?nDC?n??2?2?2.

0

???2,??0，

?tan??tan???????2?sin??cos????2?4??2?2?2??2?2.

由于??(0,2]，解得??2，即为所求。 19、（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）

1n?1S??a?()?2nnan??2已知数列的前n项和（n为正整数）。

nb?2an，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式； n（Ⅰ）令

（Ⅱ）令

cn?n?15nanT?c1?c2?........?cn试比较Tn与2n?1的大小，并予以证明。 n，n11Sn??an?()n?1?2a1?S??an?1?2?a1，即22 19.解析：（I）在中，令n=1，可得1 10

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