2024年考研数学三真题及解析

2008年考研数学（三）真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

?（1）设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数g(x)?

x0f(t)dtx的（ ）

?A?跳跃间断点. ?C?无穷间断点.

?B?可去间断点. ?D?振荡间断点.

（2）曲线段方程为y?f(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分

?a0 aft(x)dx等于（ ）

?A?曲边梯形ABCD面积.

?B?梯形ABCD面积.

?C?曲边三角形ACD面积.

x2?y4?D?三角形ACD面积.

（3）已知f(x,y)?e，则

（A）fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在 （B）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 （C）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)不存在 （D）fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在 （4）设函数f连续，若f(u,v)?Duv??f(x2?y2)x2?y2dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则

?F?（ ） ?u（A）vf(u) （B）

2vvf(u2) （C）vf(u) （D）f(u)

uu3（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若A?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

?B?E?A不可逆，E?A可逆.

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

（6）设A???12??则在实数域上域与A合同矩阵为（ ） ?21???21??.

?1?2?

?A??

?B???2?1??.

??12??21??C???.

12???1?2? ?D???.

?21??（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ）

- 1 -

?A? F2?x?.

2 .

?B? F?x?F?y?.

?C? 1???1?F?x????D? ??1?F?x?????1?F?y???.

（8）随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）

?A? P?Y??2X?1??1. ?C?P?Y??2X?1??1.

?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?x2?1,x?c?（9）设函数f(x)??2在(??,??)内连续，则c? .

,x?c?x?21x?x3（10）设f(x?)?，则?2x1?x42f(x)dx?______.

22（11）设D?{(x,y)x?y?1}，则

??(xD2?y)dxdy??????????????????.

（12）微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解y??????????????????.

?1（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A?E?_____.

2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX??????????????????.

??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分）

求极限limx?01sinxln. 2xx22(16) （本题满分10分）

设z?z(x,y)是由方程x?y?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时. （1）求dz （2）记u?x,y???u1??z?z?，求. ????xx?y??x?y?(17) （本题满分11分）

计算

??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}.

D(18) （本题满分10分）

设f?x?是周期为2的连续函数，

- 2 -

（1）证明对任意实数t，有（2）证明G?x???t?2tf?x?dx??f?x?dx；

02?x0?2f?t??t?2f?s?ds?dt是周期为2的周期函数．

?t????(19) （本题满分10分）

设银行存款的年利率为r?0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

(20) （本题满分12分）

?2a1??2?a2a??，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,?,x?T，设矩阵A??1n???1???2a2a??n?nB??1,0,?,0?，

（1）求证A??n?1?a;

n（2）a为何值，方程组有唯一解;

（3）a为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量a3满足Aa3?a2?a3， 证明（1）a1,a2,a3线性无关；

（2）令P??a1,a2,a3?，求PAP.

?1（22）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概率密度为3?10?y?1，记Z?X?Y fY?y????0其它（1）求P?Z???1?X?0?； 2?（2）求Z的概率密度．

（23） （本题满分11分）

1n1n2(Xi?X)2，X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记X??Xi，S??ni?1n?1i?12T?X?212S. n2（1）证 T是?的无偏估计量.

- 3 -

（2）当??0,??1时 ，求DT.

- 4 -

2008年考研数学（三）真题解析

一、选择题 (1)【答案】B

?【详解】 limg(x)?limx?0x?0x0f(t)dtx?limf?x??f?0?，

x?0所以x?0是函数g(x)的可去间断点． (2)【答案】C 【详解】

?a0axf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)0??f(x)dx?af(a)??f(x)dx

000aaa其中af(a)是矩形ABOC面积，积．

(3)【答案】B

?a0f(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以?xf?(x)dx为曲边三角形的面

0af(x,0)?f(0,0)e?f(0,0)?lim?lim【详解】xx?0x?0x?0xxx2?04?1xe?1?lim x?0xxe?1ex?1e?1e?x?1lim?lim?1，lim?lim??1 ???x?0?x?0x?0x?0xxxx故fx?(0,0)不存在．

f(0,y)?f(0,0)efy?(0,0)?lim?limy?0y?0y?0所以fy?(0,0)存在．故选B. (4)【答案】A

【详解】用极坐标得 F?u,v??02?y4?1ye?1y2?lim?lim?0 y?0y?0yyy2??Df?u2?v2?u2?v2dudv??dv?0vuf(r2)r1rdr?v?f(r2)dr

1u?F?vf?u2?. ?u(5)【答案】C

所以

【详解】(E?A)(E?A?A)?E?A?E，(E?A)(E?A?A)?E?A?E. 故E?A,E?A均可逆． (6)【答案】D

2323??12?1?2?2【详解】记D??，则?E?D????1?4， ???2??1??21? - 5 -

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