2024年中考数学汇编专题43平行四边形

专题43：平行四边形

一、选择题

1. 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】 A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．梯形

2. 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=【 】 A．18° B．36° C．72° D．144°

3.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F， 若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】

3113113113113113 B．11－C．11＋或11－ D．11－或1＋

222 2224.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长

A．11＋为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【 】 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

5.若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【 】

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，过口ABCD的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与GH ，那么图中的口AEMG的面积S1 与口HCFG的面积S2的大小关系是【 】

A .S1 > S2 B.S1 < S2 C .S1 = S2 D.2S1 = S2 7.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【 】

A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等

8. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为【 】

A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4

9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF?1AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是【 】 4A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8 10.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【 】 A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE ABCAC CBBDC BC

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11.如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为【 】

A．53° B．37° C．47° D．123°

12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是【 】

A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm 二、填空题

1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长 为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．

A

D1C

B1题

2题 3题 2. 如图，将?ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为 。 4.

?ABCD中，已知点A（﹣1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ▲ ．

5. 如图，?ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为 .

5题 6题

6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件 使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）。

1、20。 2、70°。 4、（3，1）。 5、3。 6、AF=CE（答案不唯一）。

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三、解答题

1.已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED.

3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO． 求证：四边形ABCD是平行四边形．

4.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF． 求证：（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形BFDE是平行四边形．

5.已知：如图，在

ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．

（1）说明△DCE≌△FBE的理由； （2）若EC=3，求AD的长．

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6.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

8. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD 于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

9. （2012江苏无锡8分）如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。∴∠B=∠DCF。

∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF， ∴△ABE≌△DCF（SAS）。∴∠BAE=∠CDF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可由SAS证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。

10. （2012江苏徐州6分）如图，C为AB的中点。四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F。

求证：EF=BF。

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【答案】证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴ED=AC，ED∥AC。∴∠D=∠FCB，∠DEF=∠B。 又∵C为AB的中点，∴AC=BC。∴ED=BC。

在△DEF和△CBF中，∵∠D=∠FCB，ED=BC，∠DEF=∠B， ∴△DEF≌△CBF（SAS）。∴EF=BF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，易用SAS证明△DEF≌△CBF，从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF。 11. （2012福建厦门10分）已知

ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分

别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF． （1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．

【答案】解：（1）连接PO ,

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。 ∴∠EPO＝∠FPO。 在Rt△PEO中， tan∠EPO＝

EO3

＝， PE3

∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。 （2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。

又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。 ∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。

∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。

∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。 ∴ BD＝2BC。

332∵ BF＝BD，∴BC＋32－4＝BC，解得，BC＝4。

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【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

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【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。

（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

12. （2012福建莆田8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．

(1)(4分)请根据以下语句画图，并标上相应的字母(用黑色字迹的钢笔或签字笔画)． ①过点A画AE⊥BC于点E； ②过点C画CF∥AE，交AD于点F；

(2)(4分)在完成(1)后的图形中(不再添加其它线段和字母)，请你找出一对全等三角形，并予以证明．

【答案】解：(1)画图如下：

(2)△ABC≌△CDA 。证明如下：

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，BC＝DA。

又∵ AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）。

【考点】作图（复杂作图），平行四边形的性质，全等三角形的判定。 【分析】（1）根据语句要求画图即可。

（2）首先根据平行四边形的性质和AE∥CF，可得①△ABC≌△CDA，②△AEC≌△CFA，③△ABE≌△CDF。

下面给出其它两个的证明：

②△AEC≌△CFA。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC。∴ ∠DAC＝∠ACE。 ∵AE∥CF，∴ ∠EAC＝∠ACF。 ∵AC=CA，∴ △AEC≌△CFA（ASA）。 ③△ABE≌△CDF。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∠B＝∠D，AB＝CD 。 又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形。

∴∠AEC＝∠AFC。∴∠AEB＝∠CFD。∴△ABE≌△CDF（AAS）。

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13. （2012福建南平8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明， 备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD， 我选择添加的条件是：

（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）

【答案】解：添加的条件可以是BE=DF（答案不唯一）。证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。 ∵BE=DF，∴AF=CE，即AF=CE，AF∥CE。 ∴四边形AECF是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。

【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出AF∥CE，AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可。 当AE=CF时，四边形AECF可能是平行四边形，也可能是等腰梯形。 当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF也是平行四边形，证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D。 ∵∠AEB=∠CFD，∴△AEB≌△CFD（AAS）。∴AE=CF。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠AEB=∠EAF。∴∠CFD=∠EAF。 ∴AE∥FC。∴四边形AECF是平行四边形。

14. （2012福建泉州9分）如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证∠DAE=∠BCF.

【答案】证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC（平行四边形对边平行且相等） ∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°（垂直的定义）。 在△ADE和△CBF中，∵∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CFB，AD=CB， ∴△ADE≌S△CBF（AAS）。

∴∠DAE=∠BCF（全等三角形的对应角相等）。

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【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等得到AD=BC，AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AE⊥BD，CF⊥BD得到一对直角相等，利用AAS可得出三角形ADE与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应角相等可得出∠DAE=∠BCF，得证。 15. （2012湖北黄石7分）如图，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF.

求证：∠DAE=∠BCF.

【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC。∴∠ADE=∠BCF。 又∵BE=DF， ∴BF=DE。

∴△ADE≌△CBF（SAS）。∴∠DAE=∠BCF 。

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，由SAS证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可。

16. （2012湖南郴州8分）已知：点P是?ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F．求证：AE=CF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PAE=∠PCF。

∵点P是ABCD的对角线AC的中点，∴PA=PC。

在△PAE和△PCE中，∵∠PAE=∠PCF，PA=PC，∠APE=∠CPF， ∴△PAE≌△PCE（ASA）。∴AE=CF。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠PAE=∠PCF，由点P是?ABCD的对角线AC的中点，可得PA=PC，又由对顶角相等，可得∠APE=∠CPF，即可利用ASA证得△PAE≌△PCF，即可证得AE=CF。

17. （2012四川广安6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．

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【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。 ∴∠D=∠EAF。

∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD﹣AF=BE﹣AB，即DF=AE。 在△AEF和△DFC中，∵AE=DF，∠EAF=∠D，AF=DC， ∴△AEF≌△DFC（SAS），

【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，从而由SAS证得。

18. （2012辽宁鞍山8分）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP． 求证：FP=EP．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠DGC=∠GCB，

∵DG=DC，∴∠DGC=∠DCG。∴∠DCG=∠GCB。

∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，∴∠DCP=∠FCP。 ∵在△PCF和△PCE中，CE=CF，∠FCP=∠ECP，CP=CP， ∴△PCF≌△PCE（SAS）。∴PF=PE。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可。

19. （2012辽宁大连9分）如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED＝BF，EF与AC相交于点O.求证：OA＝OC.

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【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC。 ∵ED＝BF，∴AE=CF。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。 在△AOE 和△COF中，∵∠OAE=∠OCF，AE=CF，∠OEA=∠OFC， ∴△AOE ≌△COF（ASA）。∴OA＝OC。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】根据平行四边形的性质可得AD

BC。由等量减等量差相等得AE=CF；由两直线平行内错角相等得

∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。由ASA证得△AOE ≌△COF，从而根据全等三角形对应边相等的性质得OA＝OC。 20. （2012辽宁沈阳10分）已知，如图，在荀ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.

（1）求证：△AEM≌△CFN；21世纪教育网 （2）求证：四边形BMDN是平行四边形.

【答案】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC。

∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD。 ∴∠EAM=∠FCN。 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）。

（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN， ∴AM=CN。

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴四边形BMDN是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明。

（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM

行四边形即可证明。

21. （2012贵州六盘水12分）如图，已知E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△FCE．

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CD 。∴BMDN。

DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平

（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC。∴∠ABE=∠ECF。

又∵E为BC的中点，∴BE=CE。

在△ABE和△FCE中，∵∠ABE=∠FCE，BE=CE，∠AEB=∠FEC， ∴△ABE≌△FCE（ASA）。 （2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF。

又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形。∴BE=EC，AE=EF。

又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB。 ∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE。∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC。 ∴四边形ABFC为矩形。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和判定，矩形的判定。 【分析】（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等。

（2）由△ABE≌△FCE，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边

平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形。

22. （2012山东济南7分）（1）如图1，在?ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF． （2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．

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【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，

在△ADE和△CBF中，AD=CB ，∠A=∠C ，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）。∴DE=BF；

（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=

1（180°－40°）=70°， 21又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°。

2∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等， 在加上已知的一对边的相等，由“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得 证。

（2）根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知

的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数。

23. （2012山东潍坊10分）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。 又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD。 ∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN。∴AE∥CF。

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等）。 在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF=90 ，AD=CB，∠ADE=∠FBC， ∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。 ∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 （2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，

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则AC与EF互相垂直平分。

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分）， ∴AC与BD互相垂直平分。

∴ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形）。 ∴AB=BC（菱形的邻边相等）。

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM。 ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。∴△ABC为等边三角形。 ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°。 在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=3。 3又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=3。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形 【分析】（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出结论。

（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的邻边

相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF= 3，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=3。 324. （2012山东淄博6分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE．

求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴AF∥CE。

又∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形。

【考点】平行四边形的判定和性质。

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AF∥CE，又AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形。 25. （2012广西贵港8分）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交 AC于点G。

（1）求证：AF＝DF；

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（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。

【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。

∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。

∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。 （2）如图2，在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，

∵∠ABC＝60°，∴△ANB是等边三角形。 ∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°。 ∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。 1

∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°。

2∴∠BAC＝90°。

由勾股定理得：AC＝2－1＝3。 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。

BGABAG1AG3

∴△AGB∽△CGE。∴＝＝。∴＝，解得AG＝。

GECECG1＋1 3－AG3

2

2

在△BGA中，由勾股定理得：BG＝BG1

＝， GE2

1＋?

2

?3?223

?＝。

3?3?

∵

434323

∴GE＝，BE＝＋＝23。

333

1233

∵四边形ABDE是平行四边形，∴BF＝BE＝3。∴FG＝3－＝。

233

【考点】平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形中位线定理，勾股定理。

【分析】（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案。

（2）在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN＝1＝AN，根据

BGABAG

三角形的内角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，

GECECG

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在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根据□BDEA求出BF，即可求出答案。

3、依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。

如图1，由AB＝5，BE=x，得AE?AB2?BE2?25?x2。 由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得625?x2=15， 解得x=?532（负数舍去）。 由BC＝6，DF=y，得AF?AD2?DF2?36?y2。

由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得536?y2=15，

解得y=?33（负数舍去）。

∴CE＋CF=（6－532）＋（5－33）=11－1132。 如图2，同理可得BE= 532，DF=33。

∴CE＋CF=（6＋532）＋（5＋33）=11＋1132。

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