第二章、宏观电磁现象的基本规律
2.3、半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。当球以角速度?绕某一直径(z轴)旋转时，求其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为
?s?Q24?R0
?R0面电流密度为
js??s?v??s?R0sin??Q4?R02?R0sin?
?Q?sin?4?R0
???Js0。已知导线的直径为d，导线中2.4、均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流Js?e电流为I0，求Js0。
解：每根导线的体电流密度为
j?I04I0?(d/2)2??d2
由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为
js?jd?4I0?d
因此，等效面电流密度为
?4I0?? js?e?d
2.6、两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间，为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为?q0时，结果又如何？
解：设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d?x。由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为
F1?14??2q0x2
实验电荷受q0的排斥力为
F2?1q04??(d?x)21q0
要使实验电荷保持平衡，F1?F2，那么
14??2q0x2?4??(d?x)2
即得到
1
x?22?1d?0.585d
如果实验电荷为?q0，那么平衡位置仍然为
x?22?1d?0.585d
只是这时实验电荷与q0和2q0不是排斥力，而是吸引力。
2.9、半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为?s0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。
解：面电荷密度产生的电场强度为
??E(r)?14??0???(r?r?)?s0dS? ??S?|r?r?|3?根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。
2由于dS??R0sin??d??d??，那么
???s0?zE(r)??e4??0?z ??e?02?d???0?/2sin2??d???s04?0
如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为
??Q32?R0?/32?R0?s032?R02?3?s0R0
/3把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr?的球壳产生的电场强度为
???zdE(r)??e?4?0dr?
那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为
???zE(r)??e?z ??e?z ??e?4?0?0R0dr??4?03?s04?0R0
2.11、求下列情况下，空间任一处的电场强度
(1) 相距为d的两个无限大导电平板。均匀分布着面电荷，密度分别为??s0；
(2) 无限长的两个同轴圆柱面，均匀分布着面电荷。半径分别为a和b(b?a)，单位长度的
内柱电荷为?l，外柱电荷为??l； (3) 半径分别为R1和R2(R1?R2)的两个同心球面，带有均匀分布的面电荷，总量分别为
q0(内球面)和?q0(外球面)。 解：(1) 首先根据电场强度特点构造一个圆柱，柱面侧面电场强度与其法向方向垂直，上端面法向方向与电场强度平行。然后利用高斯定理
2
?S可以得到
??D?dS?Q
D?S??s0S
因此
??s0?x E?e?
dabR2R1(1)(2)(3)
(2) 在半径为a和b之间构成圆柱，长度为l，那么圆柱上下端电场强度通量为零，测量通量为
?S利用高斯定理
??E?dS?2?rl
2?rlEr??ll/?
因此
Er??l2??r
如果构成圆柱的半径r?b，那么
Er?0
因此
?0 r?b??E???l
?e b?r?a???2??r
(3) 在半径为R1和R2之间构成球，，那么球面电场强度通量为
?S由高斯定理
??2E?dS?4?rEr
4?rEr?q0/?
2因此
E?1q04??r2
因此空间电场强度为
?0 r?R1??E??1q0
?e R?r?R12?2r?4??r
3
2.14、如图所示，两个半径分别为a和b(b?a)的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为?0。两球面的球心相距为
d，且d?a。试求空腔内的电场。
解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为?0和??0，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?0、半径为b的圆柱产生的场和电荷密度为??0、半径为a的圆柱叠加。 由高斯定理，大圆柱产生的电场为
?Eb?Q4??2rbbrbraad?b?r?0?4?rb
小圆柱产生的电场为
?Ea?Q23?rb?a??r?0?3?ra
因此合成场为
??0??0??0?Ea?rb?ra?d
3?3?3?
?2.16、求半径为a、长度为L的圆柱面轴线上的磁感应强度B。柱面
????Js0。 ?zJs0；(2) Js?e上的面电流密度为：(1) Js?e?解：(1) 由比-沙定律，我们首先求出长度为L的线电流产生的磁感应强度为
??I0B?4????dl??(r?r?)??3 |r?r?| ?LL因此
B???0I4??2dz?(z?z?)??22cos?]30L[(z?z?)??dz?(z?z?)[(z?z?)??222
??0I4???0]3如果把圆柱面划分为很多细线，那么在轴线的磁感应强度B?0。
(2) 由比-沙定律，我们首先求出圆环细电流线在轴线上产生的磁感应强度为
??I0B?4????dl??(r?r?) ??3|r?r?|??L
4
第三章、静电场及其边值问题的解法习题
3.1、对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度。 (1) ?(x,y,z)?Ax2?Bx?C (2) ?(x,y,z)?Axyz
(3) ?(?,?,z)?A?2sin??B?z (4) ?(r,?,?)?Ar2sin?cos?
解：已知空间的电位分布，由E????和?2????/?0可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
?x (1) E??????(2Ax?B)e2????0????2A?0
?x?xze?y?xye?z) (2) E??????A(yze????0???0
???A?cos?e???B?e?z] (3) E??????[(2A?sin??Bz)eBzBz2????0?????0(4Asin??2??Asin?)???0(3Asin???)
?r?Arcos?cos?e???Arsin?e??) (4) E??????(2Arsin?cos?e????0?????0(6Asin?cos??2Acos2?cos?sin??Acos?sin?)
3.5、如图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为?s0的面电荷，试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为
?1?R2R1d1?s02?0(d1?R1?d1)?22?s02?0(R?d1)
d2下顶面在球心产生的电位为
?2??s02?0(d2?R2?d2)?22?s02?01(R?d2)
2R2侧面在球心产生的电位为
?3?4??0 ?S?s0R??s0S4??0R
式中S?4?R2?2?R(R?d1)?2?R(R?d2)?2?R(d1?d2)。因此球心总电位为
???1??2??3??s0?0R
3.10、位于x?0和x?d处的两个无限大导电平板间充满了???0(1?x/d)的体电荷。若将x?0处的导电平板接触，而将x?d处的导电平板加上电压U0，试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。
解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x有关，因此空间电位分布也只与x有关。由泊松方程可以利用直接积分法求出电位分布。一维泊松方程为
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