参考答案
810
1.{－1} ； 2. －4； 3.； 4.100； 5. ； 6. y＝±3x； 7. 1；
9118. ??25??7?； 9.1； 10. 20； 11. 22?1； 12. 8-45； 13. ?,2?； 14.[,4] 6?4? 3(x?y)214.解：因为x,y?0，所以?x2?y2?(x?y)2 ，令t?x?y，则0?t?1 ．
24x2?4y2?(1?x?y)2?4t2?(1?t)2?5t2?2t?1?4．
当xy?0且t?1，即x?0,y?1或x?1,y?0时取等号；
222222另一方面，4x?4y?(1?x?y)?2t?(1?t)?3t?2t?1?当x2 3?y?12时取等号．所以4x2?4y2?(1?x?y)2?[,4]．
36A15.解：(1)由题意得m?n?cos2A?2cos2?2cos2A?1?cosA?1?2cos2A?cosA
2
1?又因为m?n?1，所以2cos2A?cosA?1，解得cosA?或cosA??1 0?A??,?A? ……7分 231 (2)在?ABC中，由余弦定理得(3)2?b2?c2?2bc??b2?c2?bc①
2 2又b?c?23，∴b?23?c，代入①整理得c?23c?3?0，解得c?3，∴b?3， 于是a?b?c?3 即△ABC为等边三角形，?B??3
6?2 ……14分
4344?FG//PE,FG?平面PBD，PE?平面PBD，? 16．证明：（Ⅰ）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
FG//PE， ……3分
又FG?平面PBD，PE?平面PBD，所以FG平面PBD ……7分
（II）因为菱形ABCD，所以BD?AC，又PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD?PA， 因为PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA?AC?A，?BD?平面PAC， FG?平面PAC，BD⊥FG ……14分
x2y2??1 （过程略） ……6分 17. 解（1）42?sin(B?)?sin(?)??（2）方法1：“点参”
设P(x0，y0)，则直线MP的方程为y????y06y0(x?2)，所以Q(4,) x0+2x0+26y02(x0+2)2?6y02所以MPNQ?(x0+2，y0)(2， ……8分 )?x0+2x0+212?x02?8x0?20由P(x0，y0)在椭圆上得y0?2?x0，所以MPNQ? ……10分
2x0+226?x02?8x0?20所以，所以P(1,) ……14分 ?9，解得x0?1或x0??2（舍）
2x0+2方法2：“k参”
?x2y2?1??设直线MP的方程为y?k(x?2),(k?0)，由?4得(1?2k2)x2?8k2x?8k2?4?0 2?y?k(x?2)?2?4k22?4k24kP(,), ……10分 因为xM??2，所以xP?，所以2221?2k1?2k1?2k44k,),NQ?(2,6k)， 又Q(4,6k)，所以MP?(1?2k21?2k216624k2?82k?所以MPNQ?，解得，故，所以k?P(1,) ……14分 ?9261?2k6218.解：（1）水平方向每根支条长为m?菱形的一条边长为()?()?22所以L?2(15?x)?4(13?)?8?2y30?2x2?15?xcm，竖直方向每根支条长为n?26?y2?13?y2cm，
x2y2x2?y22x2?y22cm．
=82?4x2?y2?2(x?y)cm． ……6分
?15?x≥2,1260130?（2）由题意得xy?130，即y?，由?得≤x≤13． ……8分 y2x1113?≥2,??2所以L?82?4x2?(令t?x?故t?x?260x260260x)2?2(x?260x)．
，其导函数t?(x)?1?260130?0，（， ≤x≤13）2x11372130,13]上单调递减，故t?[33,]． ……10分 在[11x11372] ……12分 所以L?82?4t2?520?2t，其中定义域t?[33,112t?1)?0，所以L?82?4t2?520?2t在t?[33,372]上为增函数， 求导得L?(t)?2(211t?520故当t?33，即x?13,y?20时L有最小值16?4569．
答：做这样一个窗芯至少需要16?4569cm长的条形木料． ……16分
2x?ex?x2?exx(2?x)19.解：（1）f?(x)?， ?x2x(e)e(??,0) (0,2) x 0 2 f?(x) - 0 0 ? f(x) 极小值 极大值 ?2,??? ? 所以单调增区间?0,2?，单调减区间为???,0?、?2,??? ………4分
x2（2）函数g(x)?x?m,(x?0)有2个零点。证明如下： ………5分
e44因为0?m?2时，所以g(2)?2?m?0，
ee由g(2)?0，g(0)??m?0，且g(x)在?0,2?上单调递增且连续
得g(x)在?0,2?上仅有一个零点， ………7分
x24由上面可得x?0时，f?x??f?2?，即x?2?1，故x?0时，ex?x2，
ee44161616?mem?em2所以g(4)?m?m?m?m4， 44mememmem244164)?0 由ex?x2得em?，平方得em?2，所以g(mmm44??g()?0g(x)g(x)g(2)?02,0,2由，，且在?在?上仅有一个零点， ?上单调递增且连续得?mm??x2综上得：函数g(x)??m,(x?0)有2个零点 ………10分 xe1x21（3）记函数F(x)?f(x)?(x?)?x?x?,x?0，下面考察F(x)的符号．
xexx(2?x)1?1?,x?0． 求导得F?(x)?exx2当x?2时F?(x)?0恒成立．
x?(2?x)2]?1， 当0?x?2时，x(2?x)?[2x(2?x)11111?1???1??1?1????0． 从而F?(x)?exx2exx2x2x2∴F?(x)?0在(0,??)上恒成立，故F(x)在(0,??)上单调递减．
143∵F(1)??0,F(2)?2??0，∴F(1)?F(2)?0，又因为F(x)在[1,2]上连续，
ee2所以由函数的零点存在性定理得?惟一的x0?(1,2)，使F(x0)?0 ………12分
∴x?(0,x0),F(x)?0;x?(x0,??),F(x)?0．
1?1?2x?-cx，0?x?x1??2cx，0?x?x00????x2x∴h(x)?? ∴h?(x)?? 2?x?cx2,x?x?x(2?x)?2cx,x?x00???ex?ex因为h(x)在(0,??)上增且连续，所以h?(x)?0在(0,x0)，(x0,??)上恒成立．
x(2?x)2?x(x,??)?2cx?02c?①当x?x0时，在上恒成立，即在(x0,??)上恒成立． 0exex2?xx?3记u(x)?x,x?x0，则u?(x)?x,x?x0，
ee当x变化时，u?(x)，u(x)变化情况如下表：
x u?(x) (x0,3) ? 3 0 极小值 (3,??) ? u(x) ∴u(x)min?u(x)极小?u(3)??1． e311c??，即．
e32e31②当0?x?x0时，h?(x)?1?2?2cx，当c?0时，h?(x)?0在(0,x0)上恒成立．
x1综合（1）（2）知， 实数c的取值范围是c??3． ………16分
2e20. （1）因为数列{an}为“H(1)数列”，所以Sn?an?1?1，故Sn?1?an?1(n?2) 两式相减得an?1?2an,(n?2)
在Sn?an?1?1中令n?1，则可得a2?2，故a2?2a1
故2c?u(x)min??所以
an?1?2,(n?N*,n?1)，所以数列{an}为等比数列， ann?1所以an?2，所以Sn?2?1 ………6分
n（2）由题意得Sn?an?2?2，故Sn?1?an?1?2(n?2)，
两式相减得an?2?an?1?an,(n?2) ………8分
222所以，当n?2时，an?1?anan?2?an?1?an(an?1?an)?an?1(an?1?an)?an
又因为an?1?an?an?1,(n?3)
222所以an?1?anan?2?an?1(an?1?an)?an?an?1an?1?an
所以an?12?anan?2?an2?an?1an?1,(n?3)
所以当n?3时，数列an2?an?1an?1是常数列， ………11分 所以an2?an?1an?1?a32?a2a4,(n?3) ………12分 所以an2?an?1an?1?a32?a2a4,(n?3) 因为a4?a3?a2
所以an2?an?1an?1?a32?a2a3?a22,(n?3) 在Sn?an?2?2中令n?1，则可得a3?3， 所以9?3a2?a22?40
又n?2时a22?a1a3?a22?3?40 且a2为整数
所以可解得a2?0,?1,?2,?3,?4,?5,?6 ………16分
??附加题答案
21.A．选修4-1：几何证明选讲
证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC． B．选修4-2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为
，
令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2， ………4分 将λ1=1代入二元一次方程组
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为C．选修4-4：坐标系与参数方程
解得x=0， ；
………10分
???R?，所以直线l的普通方程为y?3x， 3?x?2cos?又因为曲线C的参数方程为?（?为参数），
y?1?cos2??12所以曲线C的直角坐标方程为y?x?x???2,2??，
2?x?0??x?23联立解方程组得?或?．
y?0y?6???解：因为直线l的极坐标方程为??根据x的范围应舍去????x?23,故P点的直角坐标为(0,0) ………10分
??y?6注：多一解扣2分
D．选修4-5：不等式选讲
22222222222222222
证明：∵（a+b）（c+d）﹣（ac+bd）=（ ac+ad+bc+bd）﹣（ac+2abcd+bd） =（ad﹣bc）2≥0，
22222
∴（a+b）（c+d）≥（ac+bd）成立，又a，b，c，d都是正数，
?≥ac+bd＞0，① ∴同理
?
≥ad+bc＞0，∴xy≥
．
22. 解：（1）P(A)?(?22222116?)?(??)? ………4分 333332243（2）随机变量X的取值为0，10，20，30.
所以期望E(X)?L?20 ………10分 23. 解：（1）f1?x??f0??x??aeaxsin?bx??beaxcos?bx?
??ab?a2?b2eax?sin?bx??cos?bx???a2?b2eaxsin?bx??? 22a2?b2?a?b?1ba222axsin??cos?? ………1分 ，??a?b?esin?bx???，其中2222a?ba?baxaxf2?x??f1??x??a2?b2??aesin?bx????becos?bx????? ?a2?b2eax??asin?bx????bcos?bx????? ??a2?b2?eaxsin?bx?2??，其中sin??ba?b22，cos??aa?b22 ………3分
（2）猜想f?x???na22n?b?2eaxsin?bx?n??，n?N* 下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，f?x???a2?b21?12sin?bx???成立，
②假设n?k时，猜想成立 即f?x???ka22k?b?2eaxsin?bx?k??
当n?k?1时，fk?1?x??fk??x?
??a2?b?k22??aeaxsin?bx?k???beaxcos?bx?k???? k?1??a2?b2?2eax??asin?a2?b2?bx?k???b?a2?b2cos?bx?k??? ??1??a2?b2?k2eaxsin?bx?k?k?1??? ?当n?k?1时，猜想成立 由①②f?x????na2?b2n2eaxsin?bx?n??对n?N*成立 ………4分
0分
………1
江苏省扬州中学2018届高三年级第四次模拟考试
数学试卷
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1、已知集合A?{?1,0,2},B?{xx?2n?1,n?Z},则A?B? ▲ ．
2、 已知复数z1?1?2i,z2?a?2i（其中i是虚数单位，a?R），若z1?z2是纯虚数，则a的值为 ▲ ．3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为b，则a?b的概率为 ▲ ．
4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度 在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25) 和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．
5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．
S?0 x2y26、若双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为10，
abForiFrom1To10Step11S?S?i(i?1)则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．
EndFor7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，PrintS则三棱锥A-B1DC1的体积为 ▲ ．
8、函数y?cos(2x??)(??????)的图象向右平移
则?? ▲ ．
9、若函数f(x)?xln(x?a?x2)为偶函数，则a= ▲ ．
?? 个单位后，与函数y?sin(2x?)的图象重合，
23?an2?10、已知数列?an?与?，且a1?2，则a10= ▲ ． ?均为等差数列（n?N?）
n??11、若直线kx?y?k?2?0与直线x?ky?2k?3?0交于点P，则OP长度的最大值为 ▲ ．
12、如图，已知AC?BC?4，?ACB?90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点， 则AM?DC的最小值是 ▲ ．
A (第12题图)
B D M C
??2?x,x?213、已知函数f?x??? ，函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R，若函数 2???x?2?,x?2y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则实数b的取值范围是 ▲ ．
14、已知x,y均为非负实数，且x?y?1，则4x2?4y2?(1?x?y)2的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．过程或演算步骤．
15、已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m?(1,2)，n?(cos2A,cos2(1)求角A的大小；
(2)若b?c?2a?23，求sin(B?
16、PA⊥平面ABCD，如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点． （1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG．
A)，且m?n?1. 2?)的值 4x2y217、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线x?y?32?0垂
ab直，垂足为B，且点A是线段BF的中点. （1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点， 直线MP与直线x?4交于点Q，且MPNQ?9，求点P的坐标.
18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L． （1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
2
x219、已知函数f(x)?x ，
e（1）求函数f?x?的单调区间；
4（2）当0?m?2ex2时，判断函数g(x)??m,(x?0)有几个零点，并证明你的结论； xe1?11?12x?+f(x)?x??f(x)?cx，若函数h(x)在?0,???为增函数，求实数c??2?xx?2（3）设函数h(x)?的取值范围．
20、已知数列{an}中，前n项和为Sn，若对任意的n?N*，均有Sn?an?k?k（k是常数，且k?N*）a1?1，成立，则称数列{an}为“H(k)数列”.
（1）若数列{an}为“H(1)数列”，求数列{an}的前n项和Sn；
2（2）若数列{an}为“H(2)数列”，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得|an?an?1an?1|?40对任
意n?2，n?N*成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所有可能值，如果不存在，请说明理由。
附加题
21A．选修4-1：几何证明选讲
E为⊙O上一点，AE=AC，如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
21B．选修4-2：矩阵与变换
?20?已知矩阵M???，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．
11??
21C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为???3???R?，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面
直角坐标系，曲线C的参数方程为??x?2cos?,（?为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标。
y?1?cos2??
21D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d都是正数，且x?a2?b2,y?c2?d2．求证：xy?(ac?bd)(ad?bc)．
22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A，求事件A发生的概率； （2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23、已知函数f0?x??esin?bx?，设fn?x?为fn?1?x?的导数，n?N*．
ax2221，乙班三名同学答对的概率分别是,,，且这六名同学答题正确与否相互3332（1）求f1?x?，f2?x?；
（2）猜想fn?x?的表达式，并证明你的结论．
??ab?a2?b2eax?sin?bx??cos?bx???a2?b2eaxsin?bx??? 22a2?b2?a?b?1ba222axsin??cos?? ………1分 ，??a?b?esin?bx???，其中2222a?ba?baxaxf2?x??f1??x??a2?b2??aesin?bx????becos?bx????? ?a2?b2eax??asin?bx????bcos?bx????? ??a2?b2?eaxsin?bx?2??，其中sin??ba?b22，cos??aa?b22 ………3分
（2）猜想f?x???na22n?b?2eaxsin?bx?n??，n?N* 下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，f?x???a2?b21?12sin?bx???成立，
②假设n?k时，猜想成立 即f?x???ka22k?b?2eaxsin?bx?k??
当n?k?1时，fk?1?x??fk??x?
??a2?b?k22??aeaxsin?bx?k???beaxcos?bx?k???? k?1??a2?b2?2eax??asin?a2?b2?bx?k???b?a2?b2cos?bx?k??? ??1??a2?b2?k2eaxsin?bx?k?k?1??? ?当n?k?1时，猜想成立 由①②f?x????na2?b2n2eaxsin?bx?n??对n?N*成立 ………4分
0分
………1
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