第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设F?x???0t2x2x2edt，则F??x???2xe.
2.曲面z?sinx?cosy在点????1??4,4,2??处
的切平面方程是x?y?2z?1?0.
3.交换累次积分的次序：
?120dy?0f?x,y?dx??33?x1dy?0f?x,y?dx
??230dx?x?xf?x,y?dy.
24.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则：
使得格林公式： ???D??Q??x??P??y??dxdy???Pdx?Qdy L 成立的充分条件是：
P?x,y?和Q?x,y?在D上具有一阶连续偏导数.
其中L是D的取正向曲线;
?5.级数
?1?n,3?.
n???13n?1n的收敛域是??3二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.当x?0，y?0时,函数x2y3x4?y2的极限是?D?
A.等于0; B. 等于13;
C. 等于14; D. 不存在.
2.函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数fx??x0,y0?，
fy??x0,y0?是函数在该点可微分的?C?
A.充分必要条件; B.充分但非必要条件; C.必要但非充分条件; D. 既非充分又非必要条件.
1
3.设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1??B?
y?0 A.e; B. C.
e?dx?dy?;
e?1?dx?dy?; D. ex?dx?dy?.
n?14.若级数
?an?x?1??n在x??1处收敛,
则此级数在x?2处?A?
A.绝对收敛; B.条件收敛; C.发散; D.收敛性不确定. 5.微分方程 A. C.
y???6y??9y??x?1?e3x的特解y?应设为?D?
ae3x; B. ?ax?b?e3x;
x?ax?b?e3x; D. x2?ax?b?e3x.
三.（8分）设一平面通过点
?3,1,?2?,而且通过
x?4y?3z??,求该平面方程. 直线
521解：?A?3,1,?2?,B?4,?3,0?
?????AB??1,?4,2?平行该平面
?n?该平面的法向量??5,2,1???1,?4,2???8,?9,?22?
?所求的平面方程为：8?x?3??9?y?1??22?z?2??0
即：8x?9y?22z?59?0
四（.8分）设z?fxy,ey??,其中
?z?2zf?u,v?具有二阶连续偏导数,试求和.
?x?x?y解：令u?xy，v?ey
?z?yfu ?x 2
?2z???yfu??fu?yxfuu?eyfuv?x?y?y??
五.（8分）计算对弧长的曲线积分
2?eLx2?y2ds
其中L是圆周x?y2?R2与直线x?0,y?0
在第一象限所围区域的边界.
解：L?L1?L2?L3
其中：
L1：x2?y2?R2?x?0,y?0? L2：x?0?0?y?R? L3： y?0?0?x?R?
??eLx2?y2ds??eL1x2?y2ds??eL2x2?y2ds??eL3x2?y2ds
而
L1?ex2?y2?20ds??eRdt?RR?2ReR
L2?ex2?y2ds??0eydy?eR?1 ds??0exdx?eR?1
R
L3?ex2?y2 故：
?eLx2?y2ds??2ReR?2eR?1??
4??六、（8分）计算对面积的曲面积分???z?2x?y?dS,
3???xyz???1在第一卦限中的部分. 其中?为平面
234?0?x?261?22解：?Dxy：? 3 1?zx?zy?30?y?3?x??2
3
?????z?2x?4y??dS?61??3???4dxdy?
Dxy3??2?3?340dx02x361dy?461, 七.（8分）将函数f?x??1x2?4x?3,展开成x的幂级数.
解：?f?x??1?11?11112??1?x?3?x???2?1?x?6?, 1?x3 而 12?11?x?12????1?nxn, ??1,1?
n?0?n
1??1?n6?1?n??03nx, ??3,3? 1?x3?f?x??????1?n1?n?02??1?1?n3n?1??x, ??1,1?
八.（8分）求微分方程：
?5x4?3xy2?y3?dx??3x2y?3xy2?y2?dy?0的通解.
解：??Py??Q?x?6xy?3y2?,
?原方程为：
5x4dx?y2dy???(3xy2?y3)dx??3x2y?3xy2?dy????dx5?d13?32233y?d??2xy?yx????
?d??51?x?y3?32x2y2?y3?3x???0
通解为：x5?13y3?32x2y2?y3x?C
4
x2x4x6x2n九.幂级数：y?x??1?2!?4!?6!??????2n?!???? ?x????,???
1.试写出
y?x??y??x?的和函数;（4分）
?x2n2.利用第1问的结果求幂级数?n?!的和函数.（8分）
n?0?2解：1、y??x??x?x3x5x2n?13!?5!??????2n?1?!???? ???,?? 于是y?x??y??x??1?x?x2x32!?3!?????ex ???,????x2n2、令：Sx???2n?!
n?0?由1知：S??x??S?x??ex 且满足：S?0??1
通解：S?x??e?x?C??exexdx??Ce?x?1x2e 由S?0??1，得：C?12；故：S?x??12?ex?e?x?
十.设函数
f?t?在?0,???上连续,且满足条件
f?t??11t1?t2?????f??x2?y2?dv
t???z?ty2其中t是由曲线?0,绕z轴旋转一周而成的曲面
?x与平面z?t(参数t?0)所围成的空间区域。
5
1、将三重积分
???fy2dv??x2??写成累次积分的形式;
t（3分）
2、试求函数
f?t?的表达式.（7分）
解：1、旋转曲面方程为：z?t?x2?y2?
? 由??z?t?x2?y2?，得：x2?y2?1
??z?t 故?2t在xoy面的投影区域为：Dxy：x?y2?1
????f?x2?y2?dv??2???1t0d0?d??t?2f???dz
?t2、由1得：
f?t??1t1?t2?1?2??10?t?1??2?f???d??
?11t1?t2?2t?0??1??2?f???d?
记：A??10??1??2?f???d? 则：
f?t??1t1?t2?2tA
两边乘以：t?1?t2?，再在?0,1? 上积分得：
A??1101?t2dt?2A?0t2?1?t2?dt??4415?A 解得：A?1544? 故：f?t??1t1?t2?1522?t
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2
三、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
6
1.
?z??y2曲线?x?0，绕z轴旋转一周所得到的
?旋转曲面的方程是
z???x2?y2??1.
?1?x?2.曲线??y在点?1??1??2,2,1??处
?z???y?1?2的法平面方程是2x?8y?16z?1?0.
3. 设z?f?x2?y2?,其中f?u?具有二阶连续导数,
2且
f??1??3，
f???1??2,则?z?x2x?1?14.
y?0?4. 级数
n?n?2?n?11?1n?，当?满足不等式??2时收敛.
?n5.级数
n???x?1?12n?n的收敛域是
??1,3?.
四、 单项选择题 (每小题3分,共1.设a??与b为非零向量,则a??b???15分)
0是?A?
?//b? A. a的充要条件; B. a??b?的充要条件;
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