y?0（A）e （B）e(dx?dy) （C）e?1(dx?dy) （D）ex(dx?dy)
?4. 若级数
n处收敛，
n?a?1n?x?1?在x??1则此级数在x?2处（ D ）
（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5. 微分方程
y??xy?x的通解是（ D ）
122（A）
y?e2x?1 （B）y?e?12x?1 y??1122x2（C）
Ce （D）
y?Ce2x?1
三、(本题满分8分) 设平面通过点
?3,1,?2?，而且通过直线
x?4y?3z5?2?1，求该平面方程． 解: 由于平面通过点A?3,1,?2?及直线上的点B?4,?3,0?，
? 因而向量AB??1,?4,2?平行于该平面。
14
?该平面的法向量为: n?(5,2,1)?(1,?4,2)?(8,?9,?22).
则平面方程为: 8(x?4)?9(y?3)?22(z?0)?0. 或： 8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0.
即： 8x?9y?22z?59?0.
四、(本题满分8分) 设z?f?x,yx??y，其中f?u,v?具有二阶连续偏导数，
试求?z?2?x和z?x?y．
解:
?z?x?f1y?f2, ?2z?x?y???y?f1y?f2??
??f11x?f1?2y?f1?f21x?f2 2?
?xyf11??x??y1f2?f1? f2 2 五、(本题满分8分)
计算三重积分
y????zdxdydz，
?其中
??x,y,z?0?x?1,?1?y?1,1?z?2?．
1122解:
???zdxdydz??0dx??1dyzdz?1?2?z??212?3
1六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分?x2?y2Leds，
其中L是圆周x2?y2?R2在第一象限的部分． 解法一:
?2?y2Lexds?
??R0eRRRdx?ReRR2?x2arcsinxR??ReR
02
15
解法二:
?x2?y2Leds?
??RR的弧长）Leds?e?L（L??R2Re
解法三: 令x?Rcos?，y?Rsin?，0????2，
?ex2?y2Lds?
? ??2RR
0eRd???2Re
七、(本题满分9分) 计算曲面积分
???xdyd?zzdz?dx3d，其中xdy?是柱面
?x2?y2?1与平面z?0和z?1所围成的边界曲面外侧．
解:
P?x,Q?z,R?3,
由高斯公式：
???xdyd?zzdzd?x3dx? dy?
???????P??x??Q?y??R??z??dv?dv???????八、(本题满分9分) ?求幂级数
1的收敛域及和函数．
n?nxn??1解: 收敛半径：R?limann??a?1 n?1 易判断当x??1时，原级数发散。
于是收敛域为
??1,1?
16
s?x???nxn?1???n???x??n??1??n?x?1?????1?x???1?1?x?2 九、(本题满分9分) 求微分方程
y???4y?ex的通解．
解:特征方程为：r2?4?0 特征根为：r?2,r??2
y???4y?0的通解为：Y?Cx1e2?C?2x2e
设原方程的一个特解为：
y??Aex,
?A?4A?ex?ex
?3A?1
A??13
?原方程的一个特解为：y???1x3e
故原方程的一个通解为：y?Y?y??C2x1e?C?2x?1x2e3e十、(本题满分11分)
设L是上半平面
?y?0?内的有向分段光滑曲线，
其起点为?1,2?，终点为?2,3?，
记I???21??2xL??xy?y??dx???xy??y2??dy 1．证明曲线积分I与路径L无关； 2．求I的值．
证明1:因为上半平面G是单连通域，在G内： P?x,y??xy2?1y，Q?x,y??x2y?xy2 有连续偏导数，且：
17
?P?y?2xy?1?Q1?Py2，?x?2xy?y2，
?y??Q?x。 所以曲线积分I与路径L无关。 解2: 设A?1,2?，B?2,3?，C?2,2?，由于曲线积分I与
路径L无关，故可取折线路径：A?C?B。
I???21??2x?L??xy?y??dx???xy?y2??dy?
????xy2?1?y??dx????x2y?x?AC?y2?dy?
??????xy2?1?y??dx???2x?CB?xy?y2??dy?
??2?1?3?2?1??4x?2??dx??2??4y?y2??dy?976
东北大学高等数学(下)期末考试试卷
2007.7.
一．选择题(4分?6=24分)
1、设a,b,c为非零向量，则(a?b)?c =[ ]．
(A) a?(b?c) (B) (b?a)?c (C) c?(a?b) (D) c?(b?a) . 2
函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可微分的充分条件是f(x,y)在(x0,y0)处[]．(A)两个偏导数连续 (B)两个偏导数存 (C)存在任何方向的方向导数 (D)函数连续且存在偏 导 18
．
3．设D:x2?y2?2x， f(x,y)在D上连续． (A)
??f(x,y)d?=[ ]．
D??0d??2sin?0f(rcos?,rsin?)rdr (B)
?2?0d??2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr
?(C)
?2sin?0?2??2d??2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr (D)
?2??d??2f(rcos?,rsin?)rdr
??4若级数?un与?vn都发散，则必有[ ]．
n?1n?1 (A)
?(un?1?2n?n?vn) 发散 (B)
?(un?1??n?vn) 发散
(C)
?(un?1?v) 收敛 (D)
2n?(un?1n?vn)收敛
二、填空题(4分?6=24分) 1．直线
____________．
2．用钢板做体积为8m3的有盖长方体水箱．最少用料S=_____m2． 3．二次积分?dx?e?ydy的值是_____________．
0x112x?1y?2z??与平面x?y?2z?6?0的交点是2?134．设?为球面
x2?y2?z2?a2(a?0)，则
2(x?y)dS=__________________． ???335．小山高度为z?5?x2?2y2．在(?,?1,)处登山，最陡方向是
24_____________．
6．设f(x)为周期为2?的周期函数，它在[??,?)的表达式为
??1,???x?0，
f(x)???x,0?x??若
f(x)的傅立叶级数的和函数为s(x)，则
19
s(?)?s()=________________．
2?三、（10分）求过点(?1,2,3)垂直于直线
7x?8y?9z?10?0的平行的直线方程．
xyz??而与平面456四．（10分）将函数f(x)?收敛域。
1展开成(x?1)的幂级数．并给出2x?4x?3五．（10分）计算三重积分???(x2?y2?x)dv? 其中?是由抛物面
?x2?y2?2z及平面z?5所围成的空间闭区域?
六．（10分）设L是由直线x?2y?2上从A(2,0)到B(0,1)一段及圆弧
x??1?y2上从B(0,1)再到C(?1,0)的有向曲线，计算
?L(x2?2y)dx?(3x?yey)dy
七．（10分）计算曲面积分??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中?为球
?面x2?y2?z2?2az(a?0)
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