人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题
第二章检测(A)
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+y2 C.(x-1)2+y2=1 答案:C 2.已知抛物线C1:y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是( ) A.x= C.x
解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即y2= 故C2的准线方程为x 答案:C 3.一根竹竿长为2米,竖直放在广场的水平地面上,在t1时刻测得它的影长为4米,在t2时刻测得它的影长为1米.这个广场上有一个球形物体,它在地面上的影子是椭圆,则在t1,t2这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为( ) A.1∶1 C
解析:根据题意,球形物体的高度一定,可设为h.则t1时刻影子椭圆的长轴长2a=2h,短轴长2b=h,∴c=a-b=hb
22
2
2
2
D.x2+(y-1)2=1
B
时刻影子椭圆的长轴长为2a=h,短轴长2b 则c2=a2-
∴e1∶e2=1∶1. 答案:A 1
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4.已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为 ≥1),则点P轨迹的离心率的取值范围为( ) A
,
,
C ,
, 解析:由题意,
∴点P的轨迹是椭圆,其中a ∴e 答案:C 5.若双曲线 A
故选C.
的一条渐近线经过点 则此双曲线的离心率为
解析:∵双曲线的渐近线方程为y= 且过点(3,-4),
∴-4=
∴离心率e
故选D. 答案:D 6.已知P,Q是椭圆9x2+16y2=1上的两个动点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点O到弦PQ的距离必等于( ) A.1
B
解析:考虑弦PQ垂直于x轴时,OP⊥OQ,且|OP|=|OQ|,所以△OPQ为等腰直角三角形.
故有|xP|=|yP|,代入椭圆方程,有
解得 |xP| 即点O到弦PQ的距离为 答案:C 7.已知AB为过椭圆 半焦距) A.ac
B.ab
的中心的弦 为一个焦点 则△ABF1的最大面积是(c为
( )
2
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C.bc
D.b2
解析:△ABF1的面积为c·|yA|,
因此当|yA|最大,即|yA|=b时,面积最大. 答案:C 8.已知点F,A分别为双曲线
C
的左焦点、右顶点 点 满足
则双曲线的离心率为 A C
解析:
∴FB⊥AB.∴b2=ac. 又b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0. 两边同除以a2,得e2-1-e=0?e 答案:D 9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1
B.y 或 C.y 或 D.y
或
答案:C 10.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的标准方程为( ) A.y2=-4x C.x2=4y
B.y2=4x D.x2=-4y
解析:过焦点 , 且斜率为1的直线方程为y=x 与抛物线方程联立,可得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p=4.所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x. 答案:B 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是 . 答案:2 3
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12.已知点P(a,0),若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 . 解析:设Q(x,y),则y2=4x(x≥0).
∴|PQ|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4x=x2+2(2-a)x+a2≥a2. ∴x2+2(2-a)x≥0.
∵x≥0,∴x+2(2-a)≥0,a≤2
又x≥0,∴a≤2. 答案:(-∞,2]
13.在平面直角坐标系中,椭
圆
的焦距为 以 为圆心 为半径作圆 过点
, 所作圆的两条切线互相垂直 则椭圆的离心率 解析:设点
, 两个切点分别为P,Q.
因为|MP|=|MQ|,MP⊥MQ, 所以四边形MPOQ是正方形. 又因为
c=1,所以
整理,得a 故e
答案: 14.过双曲线C
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线 交 于点 若点 的横坐标为 则 的离心率为 解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y
与C交于P(x0,y0).
∵x
0=2a,∴y0 又P(x0,y0)在双曲线C上,
) )
∴整理得a2-4ac+c2=0,
4
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设双曲线C的离心率为e, 故1-4e+e2=0.
∴e1=2 舍去),e2=2 即双曲线C的离心率为2 答案:2 15.方程
- -
表示曲线 给出以下命题
①曲线C不可能为圆;②若曲线C为椭圆,则1 其中真命题的序号是 .(写出所有正确结论的序号) 解析:当t-1=4-t,即t 时曲线表示圆,故①错; - , 若C为椭圆,则 - , - - ,即1 ③中若曲线为双曲线,则(4-t)(t-1)<0, 即t>4或t<1,故③正确;④显然正确. 答案:③④ 三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)点A,B分别是椭 圆 的长轴的左、右端点 点 是椭圆的右焦点 点 在椭圆上 且位于 轴上方 ⊥PF.求 点P的坐标. 与点P在椭分析由题意可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P的坐标为(x,y),由AP⊥FP,得 圆上联立组成方程组,即可求解x,y的值,即点P的坐标. 解:由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0). 设点P的坐标是(x,y), 则 由已知,得 ) - ) , , 解得x 或x=-6. 5 人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题 因为y>0,所以只能取x 于是y 故点P的坐标是 , 17.(8分)如图,F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点 是椭圆 的顶点 是直线 与椭圆 的另一个交点 ∠ F1AF2=60°. (1)求椭圆C的离心率; (2)已知△AF1B的面积为4 求 的值 解:(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c, 所以e (2)(方法一)a2=4c2,b2=3c2. 直线AB的方程可为y= 将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2, 得 , 所以|AB| - 由 △ ·|AB|sin∠F1AB 解得a=10,b= (方法二)设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t. 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°,可得t 由 △ 知a=10,b= 18. 6 人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题 (9分)如图,已知抛物线C1:x+by=b经过椭圆(1)求椭圆C2的离心率; (2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程. 解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b×0=b2,即c2=b2. 因为a2=b2+c2=2c2, 所以椭圆C2的离心率e (2)由(1)可知a=2b,椭圆C2的方程为联立抛物线C1的方程x2+by=b2,得 2y2-by-b2=0, 解得y= 或y=b(舍去),所以x= 即 2 2 2 2 C2 的两个焦点 , , 所以△QMN的重心坐标为(1,0). 因为重心在C1上, 所以12+b×0=b2,得b=1. 则a2=2. 所以抛物线C1的方程为x2+y=1, 椭圆C2的方程为 19.(10分)(2016·山东高考)已知椭圆C 的长轴长为 焦距为 (1)求椭圆C的方程; 7 人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题 (2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B. ①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明 为定值 ②求直线AB的斜率的最小值. (1)解:设椭圆的半焦距为c. 由题意知2a=4,2c= 所以a=2,b - 所以椭圆C的方程为 (2)①证明设点P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由点M(0,m),可得点P(x0,2m),点Q(x0,-2m). 所以直线PM的斜率k 直线QM的斜率k' - - - 此时 所以 为定值-3. ②解:设点A(x1,y1),点B(x2,y2). 直线PA的方程为y=kx+m, 直线QB的方程为y=-3kx+m. , 联立 , 整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0. 由x0x1 - 可得x1 - ) ) 所以y1=kx1+m 同理x2 - ) ) - - ) ) - ) ) 8 人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题 - ) ) 所以x2-x1 y2-y1 - ) ) - ) ) - - ) ) ) - - ) ) - - - ) - ) ) ) 所以kAB 由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k 等号当且仅当k 时取得. 此时 即m 符合题意. - 所以直线AB的斜率的最小值为 20.(10分) 如图,已知抛物线 C1:y 圆 过点 作不过原点 的直线 分别与抛物线 和圆 相切 为切点 (1)求点A,B的坐标; (2)求△PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由 - ), 消去y,整理得x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为点D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知,点B,O关于直线PD对称, , , 故 解得 , 9 人教A版2018-2019学年高中数学选修1-1习题 因此,点B的坐标为 , (2)由(1)知|AP|=t· 和直线PA的方程tx-y-t2=0. 点B到直线PA的距离是d 设△PAB的面积为S(t), 所以S(t) ·d 10 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024年高中数学人教A版选修1-1第2章 圆锥曲线与方程 检测(A)习题在线全文阅读。
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