大学物理答案--海交通大学下册(11-19)

习题11

?911-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q1?1.8?10C，B点上有电荷

q2??4.8?10?9C，试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。

?E1?q14??0rACq22?i解：q1在C点产生的场强：

，

?j∴C点的电场强度：

C24??0rBq2在C点产生的场强：C?????E?E1?E2?2.7?104i?1.8?104j?E2?，

?；

?i?j点的合场强：

E?E?E2122?3.24?10V4??m，

方向如图：

3.12?10?9??arctan1.82.7?33.7?3342'。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为

C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为l?2?r?d?3.12m，

??q?1.0?10?9Ol∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段

C?m?1R??x2cm空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：

dEOx?EO?14??0??Rd?R2cos?，

??2sin??4??0R4??0R∴

解法2：直接利用点电荷场强公式：

????cos?d????2???d4??0R2?0.72V?m?11?1；

由于d??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10EO?q?2C，

4??0R(0.5)则圆心处场强：。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为

?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。

?9.0?10?92.0?10?112?0.72V?m?1解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：

???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0????E?(sin?sin?)Ay?4??R20有：?

x②对于半无限长导线B?在O点的场强：

???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0????E?(cos?cos?)By?4??0R2有：?

?Ey③对于AB圆弧在O点的场强：有：

??EABx????E??ABy???20?4??0Rcos?d???4??0R(sin?2?sin?)??20?4??0Rsin?d????4??0R(cos?2?cos?)

?EO?∴总场强：

EOx??4??0R，

EOy??4??0R?4??0R??(i?j)，得：。

或写成场强：

E?22EO?EO?xy2?4??0R，方向45?。

11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，

求环心处O点的场强E。

dE?dq4??0R2Y解：电荷元dq产生的场为：根据对称性有：?E?；

?dq?d?dEy?0?0，则：

?Rsin?d?4??0R2o?dEX?dEx??dEsin?????2??0RR，

2??0R方向沿x轴正向。即：。

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度

0为，式中0为一常数，?为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

?E???i???sin??dE??dl4??0R2??0sin?d?4??0R解：如图，

??dEx?dEcos????dEy?dEsin?，

考虑到对称性，有：Ex?0；

E?∴

方向沿y轴负向。

?dEy??dEsin????0?0sin?d?4??0R2??04??0R??0(1?cos2?)d?2??08?0R，

11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：

dq?2?r?dl。

dE?xdq3???2?rxdl3利用例11-3结论，有：

dE?4??0(x?r)23224??0(x?r)222??2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)?(Rcos?)]?222 r?∴，

Ox?E?2?0化简计算得：

?20???1?E?isin2?d??4?0。 24?0，∴

11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。 解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高

斯面， 当

dx?2E?时，由

?x?0；

??S1??E?dS?2E??S和?q?2x??S，

?d2?0?E有：当

dx?2时，由

??S2??E?dS?2E??S和?q?2d??S?d2O?d2?0d2x，

2?0。图像见右。 有：

11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)，

E??d?平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r?球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd?

S?d2?R2，

∴球冠面的面积：

?2?r(1?2??02?rsin??rd??2?rcos?20cos??drr Od??rsin?dr)x】

∵球面面积为：

?球冠?球面?S球面S球冠S球面?4?r2，通过闭合球面的电通量为：

12(1?dr)?q?闭合球面?q?0，

R?d。 由：，∴

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。

?球冠??0?q2?0(1?d22)解：由高斯定律高斯面。

???S??1E?dS??0?qS内i，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的

22?rl?E???rl?0E??r2?0（1）当r?R时，

2?rl?E?，有

2；

2??Rl?0E??R（2）当r?R时，

??r?2?(r?R)?0E??2??R(r?R)?2?0r?，则：

2?0rE?R； 2?0o；

Rr即：

图见右。

11-10．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：

??1E?dS????S?0?qS内i。

?l?2??0r（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：

??E?0?????E??E?r2??r0???E?0?即：

2?rlE2??0，则：

E2?；

（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；

r?R1R1?r?R2r?R2。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；

（2）在球体内P点处的电场强度E，设O?、O、P三点在同一直径上，且

OP?d。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为?的大球和带有电荷体密度为??的小球的合成。

（1）以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

???4?d3E?dS???dE?0??S1?033?0????4?d3E?dS???dE?P1??S1?033?0?，方向从O指向O?；

（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：

，方向从O指向P，

过P点以O?为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有：

??∴

S23???r?43EP2??E?dS????r23?0d?03?，

E?EP1?EP2??3?0(d?r324d)，方向从O指向P。

???E?cxi11-12．设真空中静电场E的分布为，式中c为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，

??S有：???E?dS?cx0??Sz

?0由高斯定理：

???S??1E?dS??S内qo，

cx0??S??Syx0x?x00?(x)?Sdx?0设空间电荷的密度为?(x)，有：∴?

x00

?(x)dx??x00?0cdx，可见?(x)为常数????0c。

11-13．如图所示，一锥顶角为?的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为?，求顶点O的电势．(以无穷远处为电势零点)

解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧面上取

环面元，如图示，易知，环面圆半径为：

dl?dxcosdS?2?r?dl?2??xtanr?xtan?2，环面圆宽：

?2?

dx?2cos?2，

利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式：

U环?14??0?qr?x0，

22dl?dxcos?2?2??xtandU?14??0?(xtan?22?dxcos2?2???tan?dx2?02r?2x，

有：

)?x考虑到圆台上底的坐标为：

x1?R1cot?2?，

?2x2?R2cot?2，

2?02∴U?。

11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处（r?R）P点的电势。

x1?x2?2?0?tan?2dx??2?0?tan?2?R2cotR1cotdx??(R2?R1)解：利用高斯定律：

2???S??1E?dS?Qr33?0?qS内可求电场的分布。 E内?Qr4??0RQ4??0r23?orPRP（1）r?R时，（2）r?R时，

4?rE内??0R；有：

Q?； 4?rE外?2?0；有：

Ur?E外?Rr；

E外?dr离球心r处（r?R）的电势：

Ur??E内?dr????R2，即：

?RrQr4??0R3?dr???RQ4??0r2?dr?3Q8??0RQr8??0R3。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，

外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当

r?R1时，因高斯面内不包围电荷，有：

?43E1?033，

?(r?R1)4??0r233当

R1?r?R2时，有：

33E2???(r?R1)3?0r2，

?r?R243?(R2?R1)4??0r2当时，有：

以无穷远处为电势零点，有：

E3???(R2?R1)3?0r233，

U??R2R1??E2?dr???R2??E3?dr??R2R1?(r?R1)3?0r233dr????(R2?R1)3?0r233R2dr??2?0(R2?R1)22。

11-16．电荷以相同的面密度?分布在半径为

r1?10cm和

r2?20cm的两个同心

球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0?300V。 （1）求电荷面密度?；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度??为多少？

（

?0?8.85?10r?r1?12C?N2?1m?2）

E1?0解：（1）当当当

r1?r?r2时，因高斯面内不包围电荷，有：

E2?，

Or1?r122时，利用高斯定理可求得：

E3??0r，

r2?(r1?r2)?0r222r?r2时，可求得：

r2r1，

2∴

U0????E2?dr???r2??E3?dr??12??3r2r1?r1?0rdr?2??r2?(r1?r2)?0r?9222dr???0(r1?r2)

r1?r230?10那么：

（2）设外球面上放电后电荷密度?'，则有：

U0'?(?r1??'r2)/?0?0???0U0?8.85?10?300?8.85?10Cm2

?2?'???r1r2??，∴

则应放掉电荷为：

?q?4?r22(???')?3??4?r22?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C2。

11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线

在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。

解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，

E?q4??0r2均匀带电球面在球面外的场强分布为：

（r?R）。

??dF?Edqdq??dl??dr取细线上的微元：，有：

???r0?lq?qlr?F???dr?2??r04??0x4??0r0(r0?l)?rr，

∴（为方向上的单位矢量）

U?q4??0r（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：点）。 对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：

W?q4??0（r?R，?为电势零

q??drdW?4??0r，

r4??0r0。 ∴

11-18. 一电偶极子的电矩为p，放在场强为E的匀强电场中，p与E之间夹角

r0?r0?l?dr?q?lnr0?l为?，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p、E平面的轴转180，

外力需作功多少？

?解：由功的表示式：dA?Md?

???考虑到：M?p?E，有：

A??????pEsin?d??2pEcos?。

11-19．如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为?(＞0)今有一质量为m，电荷为?q的粒子(q＞0)沿圆板轴线(x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O（也是x轴原点）为b的位置上时，粒子的速度为v0，求粒子击中圆

板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上x0处产生的电势为：

U??2?0(R?x0?x0)R?b)2222，那么，

UOb?UO?Ub??2?0(R?b?12，

mv?21由能量守恒定律，2v?v0?2mv0?(?qUOb)?212mv0?2q?2?0(R?b?R?b)22，

q?m?0(R?b?R?b)22有：

思考题11

11-1．两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

qQ答：由

l(4??0x2?2qQ4??0(l?x)2，解得：x?l(2?1)，即离点电荷q的距离为

2?1)。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力； （D）以上说法都不正确。 答：（C）

11-3．真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积?S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去?S后球心处的电场强度大小和方向.

??q4??0R2答：题意可知：

荷，

E?，利用补偿法，将挖去部分看成点电

??S4??0R2有：

，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷q1、q2和?q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求：

(1)通过该球面的电通量??(2)A点的场强EA。

E?dS；

解

EA?q14πε0(3R)2：

q22(1)

q32???S?q?q?2E?dS?1?0；

?(2)

4πε0R?4πε0R。

11-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，

有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：

???闭合?q/?0，那么，

q6?0通过该平面的电场强度通量为：。

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；

(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)

11-7．由真空中静电场的高斯定理

??S??1E?dS??0?q可知

(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C)

11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A)半径为R的均匀带电球面； (B)半径为R的均匀带电球体；

(C)半径为R、电荷体密度??Ar(A为常数）的非均匀带电球体； (D)半径为R、电荷体密度??A/r(A为常数)的非均匀带电球体。 答：(D)

11-9．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为

1??1???4??rR4??r?? 00(A) (B)

qq1??1???(C)4??0?r?R? (D)4??0?Rr?

qq答：(B)

11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12．当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

U12解：dq?ρ?43πrg34U12┄①，dq??ρ?43π(2r)g3┄②

∴①②联立有：q??2q?4e。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)：

答：(C)

11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。

大学物理第12章课后习题

12-1．一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：

U?Q4??0R??R?0?，

?12则：???0UR8.85?10?1000.1?8.85?10?9Cm。

2

12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为r1?6.0cm，r2?12.0cm，都带有

?83?10C的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。 解：半径分别为r1的电量为q1，r2电量为q2， 由题意，有：

q14??0r1?q24??0r2┄①，q1?q2?6?10?8┄②，

①②联立，有：q1?2?10?8C，q2?4?10?8C。

12-3．有一外半径为R1，内半径R2的金属球壳，在壳内有一半径为R3的金属球，球壳和内球均带电量q，求球心的电势． 解：由高斯定理，可求出场强分布：

?E1??E2???E?3??E4???0?q4??0r2r?R3R3?r?R2R2?r?R12q2R3?0?

?R2R14??0rR3??∴U0??E1?dr?0r?R1?R2R3??E2?dr??R1R2??E3?dr?q??R1??E4?dr?1R2

?2R1)。

??R2R3q4??0r2dr???R12q4??0rdr?24??0R3(1

12-4．一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E~r和V~r曲线.

解：由高斯定理，可求出场强分布：

?qE??124??0r???E2?0?q?E?32?4??r0?0?r?R1R1?r?R2r?R2ER1

O?qR2r∴电势的分布为： 当0?r?R1时，U1??(??)4??0rR1R2q111?R1rq4??0rdr?2??R2q4??0r2dr

OUOR1R2r；

当R1?r?R2时，U2?当r?R2时，U3???R2q4??0r22dr?qq4??0R2rR1R2；

??rq4??0rdr?4??0r。

12-5．半径R1?0.05m,，带电量q?3?10?8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2?0.07m，外半径R3?0.09m，带电量Q??2?10?8C。试求距球心

r处的P点的场强与电势。（1）r?E1??E2???E?3??E4???0?q4??0r2?0.10m（2）r?0.06m（3）r?0.03m。

解：由高斯定理，可求出场强分布：

r?R1R1?r?R2R2?r?R3Q?q4??0r2?0?

QqR1r?R3?R2R3∴电势的分布为： 当r?R1时，U1??R2q4??0r2R1dr?q??R3Q?q4??0r2dr?q4??0R1(1?1R2(1)?1Q?q4??0R3)?，

，

当R1?r?R2时，U2?当R2?r?R3时，U3?当r?R3时，U4???Rr?24??0rQ?q4??0r222dr???R3Q?q4??0r2dr?q4??0r?Q?q4??0R3R2R3dr?Q?q4??0R3，

??rQ?q4??0rdr?Q?q4??0r，

∴（1）r?0.10m，适用于r?R3情况，有：

E4?Q?qQ?q3?9?10NU??900V； ，44??0r24??0r（2）r?0.06m，适用于R1?r?R2情况，有：

E2?q4??0r2?7.5?104N，U2?q4??0(Q?q11?)??1.64?103VrR24??0R3；

（3）r?0.03m，适用于r?R1情况，有：

E1?0，U1?q4??0(Q?q11?)??2.54?103VR1R24??0R3。

12-6．两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm2，电量分别为?2.66?10?8C，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离A板1.0mm处的电势。 解：（1）由E?则：UAB?Ed?∴UB????0有：E?q?0S，

A1mmqd?0S?8?12，而UA?0，

?5?10?3?25mm?PB2.66?108.85?10?1.5?10??1000V，

15?(?10)??200V3离A板1.0mm处的电势：UP?

12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t

?0?0(d?t)?E0有金属板时电势差为：U2?E0?(d?t)??0?0?0?0d?，

??0d??电势差比为：

U1U2?dd?t；

E0t(d?t)（2）设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为?0， 有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为?。 由于U1?U2，有E0?d?E?(d?t)，即∴

Q0Q???dE??t?0?0?d???0(d?t)

?0??d?td。

U解法二：

无金属板时的电容为：C0??0Sd，有金属板时的电容为：C0?QU?0Sd?t。那么：

（1）当极板电荷保持不变时，利用C?知：

U1U2?dd?t；

（2）当极板电压保持不变时，利用C?QU知：

Q0Q?d?td。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场强也是垂直向下，大小约为25V/m. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度．

解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用E0???0考

察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0??130V，所以：E '??25???0E?8.85?10?12?(?130)??1.15?10?9Cm2； （2）如图，由高斯定理???E'?S?E0(??S)?S??1E?dS??S?0?q，有：

iS内?h?S?0，则：?25?(?130)???1.5?108.85?103h?1.5km?12，

E0??130得：??6.2?10?13Cm3。

地面

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1

?2??0?(V1?V2)ln(R2R1)?2??0r，

?2??0lnR2R1??R2R1?2??0rdr?

R1R2

同理，r处的电势为：Ur?V2?∴Ur?V2??2??0lnR2r?(V1?V2)?R2r?2??0rdr??2??0lnR2r（*）

V1V2ln(R2r)ln(R2R1)?V2。

ln(rR1)ln(R2R1)【注：上式也可以变形为：Ur??V1?(V1?V2)将（*）式用：V1?Ur?，与书后答案相同，或

?rR1?2??0rdr??2??0lnrR1计算，结果如上】

12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：

（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：

qa4??0ra?qb4??0rb┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄②

QaQb，qb?； a?ba?bQQQQ（2）根据电容的定义：C??（或C??），将（1）结论代

UqaUqb4??0a4??0b两式联立得：qa?入，

有：C?4??0(a?b)。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。

解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：E?而电势差：U?∴

Q4??0?Uabb?aQ4??0r2，

?ba??E?dr??baQ4??0r2dr?Q4??0?b?aab，

?U2，那么，场强表达式可写为：E?abb?ar。

因为要考察内球表面附近的场强，可令r?a，有：

Ea?bU(b?a)a，

dEada?04Ub将a看成自变量，若有得：a?b2时，出现极值，那么：?。

bU(ab?a)22(b?2a)?0

，此时：Eamin?

12-12．一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d．接上电源后，A板电势UA?V，B板电势UB?0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。 解：由题意，V?EAB?且??qSd2?EBC?d2，而：EAB??A?0qd，EBC?)?A???0

，∴V??Ad?0?qd2?0S，则：?A?(V?d2??0d2?0S?d2。

导体片C的电势：UC?UCB?ECB?∴UC?12(V?q2?0Sd)。

?A???0，

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球r1?R，大球r2?4R，两球各自带有电量为q，有：

接触之前的电势能：W0?q24??0R?q24??04R；

（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1，大金属球带电为

q2，

有：q14??0R1?q24??0R2┄①和q1?q2?2q┄②，①②联立解得：q1?q212q5，q2?8q5。

那么，电势能为：W?

4??0R?16?25?25?W0。

4??04R4??0R4??04R25q224q264q2思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有?q和?q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的

错误，你认为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为??，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：?1???2，?2??2。

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的电压U之间的关系是怎样的？

答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的 距离为d处(d

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一 带有电荷为?Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的 电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？ 答：UA和UB都是等势体，UA?Q4??0R3；

UB?Q4??0R3?Q4??0?11??? ??RR2??1?习题13

13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。 （1）P?P0；（2）解：可利用公式

P?P0xR。

??P?dS?????Pcos?dSSq'?????yS算出极化电荷。

R首先考虑一个球的环形面元，有：dS?2?Rsin?(Rd?)， （1）P?P0时，由?'?Pcos?知?1'?P0cos?，

q1'???P0cos??2?Rsin?d???0O?x?dSR?2?RP022??0sin2?d2??0；

2y（2）

P?P0?xR2时，

?2'?P02xRcos??P02Rcos?R?20cos??P0cos?，

O??Pr?Rsin?q2'???P0cos??2?Rsin?d??2?RP0?cos?dcos?0?

x?2?RP032cos?3?0??4?RP032。

x?Rcos?

2?713-2．平行板电容器，板面积为100cm，带电量?8.9?10C，在两板间充满电6介质后，其场强为1.4?10V/m，试求：（1）介质的相对介电常数?r；(2)介质表面上的极化电荷密度。

E???0?r，有：

解：（1）由

?r?Q?0ES?8.9?108.85?10?12?76?4?1.4?10?100?10?7.18

?52（2）?'?P??0(?r?1)E?7.66?10Cm

d13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为3，相对

d介电常数为?r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：而电介质内的场强为：

Er?E0???0，

d3??0?r，

?2?rU?所以，两板间电势差为：

?03?d???0?r?d3，

C?QU??SUd?3?0?rS(2?r?1)d那么，，而

C0??0SdC，∴C0?3?r2?r?1；

（2）插入厚度为3的导电板，可看成是两个电容的串联， 有：

C1?C2??0Sd/3?3?0Sdd，

32C0C?C03C?C1C2C1?C2?3?0S2d??32d3∴。

13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为?0与??(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E；（2）相对介电常数?r。 解：（1）由：

??1E?dS????S?0?(q?q')，有：

?????'E?0?0（∵?'给出的是绝对值） ?0???0?0E??r?0?0???0?r，有：?0E?0?0??'?0??'。 （2）又由

?r??13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面

的自由电荷面密度为?，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为?r) 解：由

q'?????S??P?dS，考虑到

q'??P??0(?r?1)E，

有：与

???SS??E?dS???0(?r?1)，

????q?q'?E?dS??0联立，有：?0(?r?1)?'???r?1?r??q'?q?q'?0，

q'??(?r?1)q得：

?r，∴。

13-6．如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为?r，求：介质内、外的电场强度大

小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理

???S??D?dS??qS内i。

2（1）导体内外的电位移为：r?R0，

E?DD?Q4?r；r?R0，D?0。

（2）由于

?0?r，所以介质内外的电场强度为：

r?R0R?r?R0时，E1?0；1时，

E2?D?0?Q4??0r2；

DR2?r?R1时，

E3?D?r?0?Q4??r?0r2；

r?R2时，

E4??0?Q4??0r2。

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为E0?200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。

E??2??0?rr解：由介质中的高斯定理，有：∴

Ur?，

r?Rr??E?dr??Rr?2??0?rrdr??2??0?rlnRr?R，

Rr?∵击穿场强为E0，∴2??0?rdUr?rE0，则

Ur?rE0ln，

r0?Re令dr∴

r?r0?0，有：

Rr0?E0lnRr0?E0?0lnRr0?1?，∴，

Umax?r0E0lnRE0e?147KV。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为?r1和?r2，极板面积为S，求电容量。

解：∵D1?D2??，∴而：

U?E1d1?E2d2?E1???0?r1，?d2E2???0?r2，

?d1?0?r1???0?r2，

C?QU??0Sd1?0?r1?r2S?r2d1??r1d2?r1?r2有：

?r1?d2?r2we?12。

?E213-9．利用电场能量密度

R计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为

，带电量为Q。

r?RORQr?E??14??R3?0E??Q?E?22?4??r0?解：首先求出场强分布：

?r?R

2W?∴

????02EdV?2?02?R0(Qr4??0R)4?rdr?32?02??R(Q4??0r2)4?rdr22

?3Q220??0R。

13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0?10C时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：

?E1?0?q?E?224??0r?E???E3?0?q?E3?24??0r?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3R1?8?R2R3

we?RR1212考虑到电场能量密度

W1??Eq2，有：球与球壳之间的电能：

)4?rdr?222???????02EdV?2?02?(q24??0rq4??0r8??0R1q2(1?1R2)?1.01?10?4J

球壳外部空间的电能：

W2??02EdV?2?02??R3(2)4?rdr?228??0R3?8.1?10?5J，

∴系统储存的电能：

W?W1?W2?1.82?10?4J；

?5（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'?0 而外表面所带电荷不变，那么：

W'?W2?8.1?10J。

13-11．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按

We?1Q22C算得的电容器所储电能值相等。

E?Q4??0r2解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：利用电场能量密度

W?we?12R2R1，（R1?r?R2）

?E2，有电容器内电场的能量：

Q2????02EdV?R2R12?02?(4??0r)4?rdr?Q1R1122Q28??0)?(1R1?1R2)?Q(R2?R1)8??0R1R22；

UR1R2?（2）由

?Q4??0rdr?24??0(?Q(R2?R1)4??0R1R2R2，

C?QUR1R2?4??0R1R2R2?R1则球形电容器的电容为：，

?为2.5mm，求入射光波长。（2）若入射光的波长为6000A，求相邻两明纹的间距。 解：（1）由代入，有：

x?Ldk???xdkL，将d?0.2mm，L?1m，x1?2.5mm，k?1?3，有：

?3??2.5?10?0.2?101?5.0?10??7m；即波长为：??500nm；

（2）若入射光的波长为6000A，相邻两明纹的间距：

?x?D?d?1?6?100.2?10?7?3?3mm。

18-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率n的装置。实验前，在长度为l的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。现将上管中的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现

屏上波长为?的干涉条纹移过N条。计算空气的折射

率。 解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以

它将

通过增加路程来弥补，条纹向下移动。

（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条，可列出：l（n?1）?N? 得：

n?N?l?1。

18-3．在图示的光路中，S为光源，透镜L1、L2的焦距都为f， 求（1）图中光线SaF与光线SOF的光程差为多少？（2）若光线SbF路径中有长为l，折射率为n的

玻璃，那么该光线与SOF的光程差为多少？。

解：（1）图中光线SaF与光线SOF的几何路程相同，介质相同，透镜不改变光程，所以SaF与光线SOF光程差为0。

（2）若光线SbF路径中有长为l，折射率为n的玻璃，那么光程差为几何路程差与介质折射率差的乘积，即：??(n?1)l。

18-4．在玻璃板（折射率为1.50）上有一层油膜（折射率为1.30）。已知对于波长为500nm和700nm的垂直入射光都发生反射相消，而这两波长之间没有别的波长光反射相消，求此油膜的厚度。

n?1.5解：因为油膜（n油?1.3）在玻璃（玻）上，所以不考虑半波损失，由反射

相消条件有：

2n油e?(2k?1)?2，k?1，2，?

?1?2ne?(2k?1)1?油?2???500nm?2k1?1?27?1?2????2n油e?(2k2?1)?2?700nm5???2?2k2?1?1?当时，，

因为

?1??2，所以

k1?k2，又因为

?1与

?2之间不存在?'以满足

k2n油e?(2k?1)k?4?'2式，即不存在

k2?k'?k1的情形，所以

k1、2应为连续整数，可得：1m，

k2?3；

e?2k1?14n油?1?6.73?10?7油膜的厚度为：

。

18-5．一块厚1.2μm的折射率为1.50的透明膜片。设以波长介于400~700nm的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强? 解：本题需考虑半波损失。由反射干涉相长，有：∴

??4ne2k?1?4?1.5?1.2?102k?1?62ne?(2k?1)?2，k?1，2，?

?7.2?10?62k?1；

??800nm当k?5时，5（红外线，舍去）；

??654.5nm当k?6时，6； ??553.8nm当k?7时，7； ??480nm当k?8时，8；

??823.5nm当k?9时，9；

??378.9nm当k?10时，10（紫外线，舍去）；

∴反射光中波长为654.5nm、553.8nm、480nm、823.5nm的光最强。

18-6．用??589.3nm的光垂直入射到楔形薄透明片上，形成等厚条纹，已知膜片的折射率为1.52，等厚条纹相邻纹间距为5.0mm，求楔形面间的夹角。

l??2n?解：等厚条纹相邻纹间距为：

???2nl?589.3?10?9?3，

?5∴

2?1.52?5.0?10?5??3.88?10rad，

??即：

18-7．人造水晶珏钻戒是用玻璃（折射率为1.50）做材料，表面镀上一氧化硅（折

??3.88?10?180?0.00222?8''射率为2.0）以增强反射。要增强??560nm垂直入射光的反射，求镀膜厚度。 解：由于

n硅?n玻，所以要考虑半波损失。

由反射干涉相长公式有：厚度。

e?(2k?1)2n硅e?(2k?1)?2，k?1，2，?。当k?1时，为膜的最小

?4n硅?(2k?1)?70nm得：

2?。 ，k?1，，∴镀膜厚度可为70nm，210nm，350nm，490nm，?。

18-8．由两平玻璃板构成的一密封空气劈尖，在单色光照射下，形成4001条暗纹的等厚干涉，若将劈尖中的空气抽空，则留下4000条暗纹。求空气的折射率。 解：本题需考虑半波损失。由2nd?k??4001?┄①，而2d?k???4000?┄②

由①/②得：

18-9．用钠灯（??589.3nm）观察牛顿环，看到第k条暗环的半径为r?4mm，第k?5条暗环半径r?6mm，求所用平凸透镜的曲率半径R。 解：考虑半波损失，由牛顿环暗环公式：r?3??4?10??36?10??有：?n?40014000?1.00025。

kR?1，，2? ，k?0，kR?2(k?5)R??3(4?10)?32?9?kk?5?k?4，

R?r12∴。

18-10．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图所示。现用波长为?的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度d?2?。

d?e（1）求明、暗条纹的位置(用r表示)； （2）共能看到多少条明条纹；

（3）若将玻璃片B向下平移，条纹如何移动？

解：设某条纹处透镜的厚度为e，则对应空气膜厚度为d?e， 那么：

2e?2e?k??4?589.3?10?6.79med?e?r22R，

??1，?2，3，?明纹），（k?，

?2?2k?2?2?(2k?1)?2，1?，2，?暗纹），（k?0?；

r?2R(d?2k?14k2?)（1）明纹位置为：

r?2R(d??2， ，k??1，?)暗纹位置为：

?1，?2； ，k?0，emax?d?2?r?0kmax?4.5?4（2）对中心处，有：，，代入明纹位置表示式，有：，

又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；

（3）玻璃片B向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。

18-11．利用迈克尔孙干涉仪可以测量光的波长。在一次实验中，观察到干涉条纹，当推进可动反射镜时，可看到条纹在视场中移动。当可动反射镜被推进0.187mm时，在视场中某定点共通过了635条暗纹。试由此求所用入射光的波长。

解：由

d?N?2，

??2dN?2?0.187?10635?3?5.89?10(m)?589nm?7。

18-12．在用迈克尔逊干涉仪做实验时，反射镜移动了?l?0.3220mm距离。在此过程中观察到有1024条条纹在视场中移过。求实验所用光的波长。 解：由

?l?N?2，有：

??2?lN?2?0.322?101024?3?6.289?10(m)?628.9nm?7。

思考题18

18-1在劈尖的干涉实验中，相邻明纹的间距__________（填相等或不等），当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小），当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小）。

2?n，条纹间距相等； 答：根据相邻条纹的间距：

当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将减小；

当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将减小。

18-2．图示为一干涉膨胀仪示意图，上下两平行玻璃板用一对热膨胀系数极小的

l??石英柱支撑着，被测样品W在两玻璃板之间, 样品上表面与玻璃板下表面间形成一空气劈尖，在以波长为?的单色光照射下，可以看到平行的等厚干涉条纹。

当W受热膨胀时，条纹将： （A）条纹变密，向右靠拢； （B）条纹变疏，向上展开； (C)条纹疏密不变，向右平移； (D)条纹疏密不变，向左平移。

答：由于W受热膨胀时，虽空气劈尖变小，但劈尖角不变，

2n?根据相邻条纹的间距：，知间距不变；干涉条纹反映了厚度，所以当厚

度向左平移，则相应的条纹也向左平移。 选择（D）。

l??18-3．如图所示，在一块光学平玻璃片B上，端正地放一锥顶角很大的圆锥形平凸透镜A，在A、B间形成劈尖角?很小的空气薄层。当波长为?的单色平行光垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜锥面上出现干涉条纹。

（1）画出于涉条坟的大致分布并说明其主要特征； （2）计算明暗条纹的位置；

（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹有何变化？用图表示。 答：（1）图略，分析：这是一个牛顿环和劈尖的综合体，

所以

它的形状类似于牛顿环，也属于等厚干涉，干涉条纹是中心处 为暗纹，一系列间隔均匀的同心圆环； （2）计算明暗条纹的位置；

2明条纹：，暗条纹：；

（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹将不再是对称的圆环，而是左密右疏的类圆环。

图示略。

2ne????k?2ne????（2k?1）22?18-4．若待测透镜的表面已确定是球面，可用观察等厚条纹半径变化的方法来确定透镜球面半径比标准样规所要求的半径是大还是小。如图，若轻轻地从上面往下按样规，则图__________中的条纹半径将缩小，而图_________中的条纹半径将增大。

答：设工件为L，标准样规为G。若待测工件表面合格，则L与G之间无间隙，也就没有光圈出现。如果L的曲率R太小（如图b），则L与G的光圈很多，轻压后中心仍然为暗斑，但条纹半径要减小；如果L的曲率R太大（如图a），则L与G的光圈除边缘接触，中间部分形成空气膜，轻压后中心斑点明暗交替变化，而且所有光圈向外扩展。 第一空选b，第二空选a。

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