2024年高二理科数学寒假作业

8、已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为 ． 9、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，求证：OA1⊥AM.

10、如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2, AD = 3, E为CD中点，三棱 锥A1-AB1E的体积是6.

(1) 设P是棱BB1的中点，证明：CP//平面AEB1; (2) 求AB的长；

(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.

26

高二理科数学寒假作业（14）向量在立体几何中的应用（二）

?1、若P是平面?外一点，A为平面?内一点，n为平面?的一个法向量，则点P

到平面?的距离是（ ）

?????PA?nPA?nPA?n?????A．PA?n B．??? D． ? C．PAnPAn2、空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB

与CD的位置关系是（ ）

A．垂直 B．异面 C．平行 D．相交但不垂直

3、已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则 CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )

A. B. C. D.

4、正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1， A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )

5、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱 BC、DD1上的点，如果 B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

6、正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如上图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF

1所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为

2

7、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为 .

27

8、在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E

分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB 上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为______．

CE//BD，?ECB?90?，AC?9、如图，四棱锥A?BCED的底面BCED是直角梯形，

平面BCED，CE?CB?CA?2，BD?1． （1）求直线CA与平面ADE所成角的正弦值； （2）在线段ED上是否存在一点F，使得异面直线

26？若存在，试确定13点F的位置；若不存在，请说明理由．

10、等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥AF； （Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．

CF与AB所成角余 弦值等

28

高二理科数学寒假作业（15）导数的运算

1、若f(x)?x3,f?(x0)?3,则x0的值为（ ） A．1 B．－1 C．1或－1 D．3或－3

2、若f(x)?x???x??lnx，则f'(x)??的解集为 ( ) A. (?,??) B. C. (?,??) D. (-?,?) （-?，?）?（?，+?）

3、已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=( ) A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e

4、函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2013，对任意的x?R，都有f?(x)?2x成立，则不等式f(x)?x2?2009的解集为（ ）

A．（-2，+?） B．（-2，2） C．（-?，-2） D．（-?，+?）

5、函数y?

6、f?x??

7、已知f?x??x3?3x?8，则曲线y?f?x?在点2,f为 ．

8、已知函数f?x?（x?R）满足f?1??1，且f?x?的导数f??x??sinx的导数为_________________ x1???cosx，则f????f???? ． x?2???2??处的切线斜率

1，则不等式2x21f?x???的解集为 ．

222

29

9、已知函数f(x)?xex.

(1)求这个函数的导数;

(2)求这个函数的图象在点x?1处的切线方程.

10、曲线y＝e2x2cos 3x在(0,1)处的切线与直线L的距离为

，求直线L的方程．

30

2015年汨罗四中高二理科数学寒假作业（1）正、余弦定理

o1、在?ABC中，A?60，a?43，b?42，则B等于 ( ) A. 45o B.135o C. 45o或135o D. 以上答案都不对

2、?ABC中，若a?1,c?2,B?30?，则?ABC的面积为（ ）

A．

13 B． C．1 D．3 22

3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（ ） A．

441515B．—C． D．—

5 5 1717

222

4、在△ABC中，sinA≤sinB+sinC﹣sinBsinC，则A的取值范围是( ) A．（0，

] B．[

，π） C．（0，

] D．[

，π）

5、在△ABC中，a?33,c?2,B?150°，则b＝__________.

6、在?ABC中，B?45?,C?60?,c?1,则最短边的边长等于__________.

7、在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=则角A= ．

8、如图，在△ABC中，已知B=AB= ．

c，sinA+sinC=sinB，

，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则

1

9、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA． （1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范围．

??10、设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量m=（cosA，????????cosC），n=（c，a），p=（2b，0），且m2（n-p）=0

（1）求角A的大小；

（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-

?）的值域． 6 2

高二理科数学寒假作业（2）解三角形

1、在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若

a2?b2?3bc,sinC?23sinB，则A=（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2、在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2tanA?a2tanB，则△ABC的形状是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

3、已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且

2S??a?b??c2,则tanC等于（ ）

2A．

3443 B． C．? D．?4334

4、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间相距（ ）

A．a （km） B．3a（km） C．2a（km） D．2a （km）

5、?ABC中，若面积S?

3ab，则角C?___________. 46、在?ABC中，D为BC中点，?BAD?45?,?CAD?30?,AB?2,则

AD=__________. A

DCB

222

7、已知△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，若a=b+c﹣bc，bc=4，△ABC的面积为 ．

8、在△ABC中，

，B=60°，BC边上的高，则BC=

3

9、在△ABC中,已知2 sinB cosA=sin(A+C) (1)求∠A;

(2)若BC=2,△ABC的面积是3,求AB.

10、在锐角?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且3a?2csinA（1）求角C的大小；

（2）若C?7，且?ABC的面积为332，求a?b的值．

4

高二理科数学寒假作业（3）等差数列

1、在等差数列?an?中，a2?2，a3?4,＝（ ）

A．12 B．14 C．16 D．18

2、等差数列?an?中，a1?1,d?3,an?298时，则序号n等于（ ） A．99 B．100 C．96 D．101

23、等差数列?an?中，且b7?a7，则b6b82a3?a7?2a11?0，数列?bn?为等比数列，

的值为（ ）

A．4 B．2 C．16 D．8

4、已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为( ) A．﹣

B．

C．

D．﹣

5、在等差数列中已知d??，a 7=8，则a 1=__________.

6、在等差数列?an?中，a3?a9?4, 则前11项的和S11＝ ．

7、在等差数列?an?中，若a3和a9是方程x2?4x?3?0的两根，则a6的值是

8、数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________．

5

13

高二理科数学寒假作业（11）抛物线

1、抛物线x2?y的准线方程是（ ） A．x?

2、顶点为原点，焦点为F(0,?1)的抛物线方程是（ ）

A．y2??2x B． y2??4x C． x2??2y D． x2??4y

3、已知F是抛物线y2?x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，AF?BF?3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A．

4、过点A(?2,3)作直线与抛物线y2?8x在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）

1111 B．y? C．x?? D．y??244 2357 B．1 C． D．444

2334 B． C． D．A．3243

5、抛物线y2?8x的焦点到准线的距离是__________.

6、抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为______．

7、已知点P为抛物线y?12x上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是2(6,

17)，则PA?PM的最小值是______________． 221

8、已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，过点F倾斜角为60o的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则

9、求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y?2x仅有一个交点.

10、如图，已知直线l：y?2x?4交抛物线y2?4x于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△ABP的面积最大，并求这个最大面积．

22

2AF的值等于 ． BF高二理科数学寒假作业（12）空间向量及其运算 ????????1、已知AB?(?1,2,0),CD?(x,?2,3)，若AB?CD，则x?（ ）

A．1 B．4 C．-1 D．-4

2、下列命题中正确的是（ ）

A．若a//b ，b//c，则a与c所在直线平行 B．向量a、b、c共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面

D．若a//b，则存在唯一的实数?，使a??b

3、已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且AB?26,则实数x的值是（ ） A．?3或4 B．?6或2 C．3或?4 D．6或?2

4、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5、在空间直角坐标系中,已知点A在z轴上,点B的坐标是(2,1,-3),且|AB|?3,则点A的坐标是 ______.

6、若A(m?1,n?1,3)，B(2m,n,m?2n)，C(m?3,n?3,9)(m,n?R)三点共线，则m?n=

????7、若a?(1,1,0),b?(?1,0,2),则与a?b同方向的单位向量是________________

8、如图，点M为OA的中点，以{则实数对(x，y，z)＝________.

23

，，}为基底，＝x＋y＋z，

9、如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?5，AD?3，AA1?4，

?，E是CC1的中点，设AB?a，AD?b，?DAB?90?，?BAA1??DAA1?60AA1?c．

???????（1）用a,b,c表示AE；

（2）求AE的长．

A1D1C1B1EDCABN分别是A1B、B1C1上的点，且BM?2A1M，10、三棱柱ABC?A1B1C1中，M、????????????C1N?2B1N．设AB?a，AC?b，AA1?c. ?????（1）试用a,b,c表示向量MN；

?（2）若?BAC?90?，?BAA1??CAA1?60，

AB?AC?AA1?1，求MN的长.

24

高二理科数学寒假作业（13）向量在立体几何中的应用（一）

1、正四棱柱??CD??1?1C1D1中，??1?2??，则CD与平面?DC1所成角的正弦值等于（ ） A．

1223 B． C． D．

33332、如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ） A．C．

1015 B． 5542 D．53

3、已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为( ) A． B．

C．

D．

4、长方体ABCD?A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得?C1EB?90?,则侧棱AA1的长的最小值为（）

A．a B．2a C．3a D．4a

5、已知点A、B、C的坐标分别是(0，1，0)、(－1，0，1)、(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若

⊥

，

⊥

，则点P的坐标为________．

6、如图所示，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝__________．

7、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC?AA1，

?ABC?90?，则直线AB1和BC1所成的角是 ．

25

高二理科数学寒假作业（6）不等式（一）

1、下列不等式结论成立的是（ ）

A．a?b?c?d?a?c且b?d B．ac2?bc2?a?b C．

cb??ab?cd D．a?b?a?b ad

2、如果a、b、c满足c?b?a，且ac?0，那么下列选项不恒成立的是（ ） A．ab?ac B．cb2?ab2 C．c?b?a??0 D．ac?a?c??0

3、不等式(x?1)2?4的解集是（ ）

A．x<3 B．x>-1 C．x<-1或x>3 D．-1

4、若不等式(a?3)x2?2(a?3)x?4?0 对一切x?R恒成立，则实数a取值的集合为（ ）

A．(??,3) B．(?1,3) C．[?1,3] D．(?1,3]

5、若实数?,?满足?

6、已知ab?0，则

7、不等式|x|(1?x2)?0的解集是 ．

8、已知关于x的不等式mx2?nx?1?0的解集为{x|x?,或x?}，则m?n等于 ．

?2????2,0????,则2???的取值范围是___________.

abab＝ . ??|a||b||ab|13129、已知不等式ax2?3x?6?4的解集为xx?1或x?b．

?? 11

（1）求a,b；

（2）解不等式?x?c??ax?b??0．

10、设A??x|x2?5x?4?0?,B??x|x2?2ax?a?2?0? （1）用区间表示A；

（2）若B?A，求实数a的取值范围．

高二理科数学寒假作业（7）不等式（二）

12

1、不等式组??x?y?2表示的平面区域是（ ）

?y?x y y y y x x o o o x o A B C D ?x?0,

2、已知x,y满A.1

3、已知x?0，函数y???y?0,?2x?y?2?0.?x 足则z?x?y的最大值是（ ）

B. 1 C. 2 D.3

4?x的最小值是（ ） xA． 4 B．5 C． 6 D．8

4、已知x?0,y?0，且范围是（ ）

A．(2,4) B．(1,2) C．(?2,1) D．(?2,4)

5、若点(?2,t)在直线2x?y?6?0的下方，则t的取值范围是__________.

21??1，若x?2y?m2?2m恒成立，则实数m的取值xy?2x?y?0y?1?6、若变量x,y满足?x?2y?3?0，则的取值范围是 ．

x?2?x?0?

7、已知a?0,b?0，且a?4b?ab,则ab的最小值为 ．

8、函数y?loga?x?1??1（a?0，且a?1）的图象恒过定点?，若点?在一次函数y?mx?n的图象上，其中m，n?0，则

12?的最小值为 ． mn 13

?x?y?2?09、已知?， ?x?y?4?0?2x?y?5?0?求（Ⅰ）z?y?2的取值范围; x?1（Ⅱ）z?x2?y2?10y?25的最小值．

10、某单位计划建一长方体状的仓库，底面如图，高度为定值．仓库的后墙和底部不花钱，正面的造价为40元/m，两侧的造价为45元/m，顶部的造价为20元/m2．设仓库正面的长为x?m?，两侧的长各为y?m?． （1）用x,y表示这个仓库的总造价t（元）;

（2）若仓库底面面积S?100m2时，仓库的总造价t最少是多少元,此时正面的长应设计为多少m?

14

高二理科数学寒假作业（8）简易逻辑

1、命题“若x＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是( ) A．若x≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x＜1 C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1

2、已知条件p：|x?4| ?6；条件q：(x?1)2?m2?0 (m?0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A．[21，＋∞） B．[9，＋∞） C．[19，＋∞） D．（0，＋∞）

3、命题p：若sinx?siny，则x?y；命题q：x2?y2?2xy，下列命题为假命题的是（ ）

A．q B．?p C．p或q D．p且q 4、下列说法正确的是( )

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”

B．若命题p：? x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题?p：?x?R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

2

D．“x=﹣1”是“x﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

5、给出下列命题：⑴ y?1是幂函数； ⑵“x?1”是“x?2”的充分不必要条件；

?⑶ x?1(x?2)?0的解集是?2,???；⑷ 函数y?tanx的图象关于点?k??,0?(k?Z)成2??2

2

2

中心对称； ⑸ 命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题． 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）

6、已知p：

，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，

则实数a的取值范围是 ．

7、命题p：将函数y=sin2x的图像向右平移个单位得到函数y=sin(2x-)的图像； 命题q：函数y=sin(x+)cos(-x)的最小正周期是π，则复合命题“p或q”“p且q”“非p”为真命题的是 .

15

8、若命题“存在x?R，使得2x2?3ax?9?0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．

29、已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x0＋2ax0＋2－a＝0．若

命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

10、设命题p：a?yy??x2+2x?8，命题q关于x的方程x2?x?a?0的一根大于1，另一根小于1，命题“p?q”为假命题，命题“p?q”为真命题，求实数a的取值范围

16

??高二理科数学寒假作业（9）椭圆

1、已知椭圆的两个焦点是(?3，0)，(3，0)，且点(0，2)在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ）

x2y2??1 A.

134x2y2??1 C.

413

x2y2??1 B. 94x2y2??1 D.

1342、椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长、离心率分别是（ ）

3A．10，8，

5

443，

B．5，4，C．10，8，5 D．5，4，5

5

1x2y2??1的离心率为，则m=（ ） 3、已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆

22mA．

382338 B． C．或 D．或233823

x2y24、已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1，F2，点?在椭圆上，若F1，F2，?169是一个直角三角形的三个顶点，则点?到x轴的距离为（ ） A．

9997 B．3 C． D． 547x2y2??1的四个顶点，得到的四边形面积等于__________. 5、顺次连接椭圆

2516

x2y26、若椭圆??1的焦点在x轴上，则k的取值范围为__________.

1?k2?k

x2y27、若椭圆2?2?1(a?b?0)经过点P(0,3)，且椭圆的长轴长是焦距的两

ab倍，则a? ．

17

x2y28、如图，设椭圆??1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于

167A、B两点，若?ABF2的内切圆的面积为?，设A、B两点的坐标分别为

A(x1,y1)、B(x2,y2)，则|y1?y2|值为 ．

5??9、求过点??15,?且与椭圆9x2?4y2?36有相同焦点的椭圆方程. 2??

x2y210、椭圆C：2?2?1(a?b?0)的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB．

18

高二理科数学寒假作业（10）双曲线

x2y2??1的渐近线方程为（ ） 1、双曲线

44A．y??4x B．y??22x C．y??2x D．y??x

2、双曲线2x2?y2?8的实轴长是（ ） A．2 B．22 C．4 D．42

4x2y23、已知双曲线2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?x，则双曲

3ab线的离心率为（ ） A．

5453 B． C． D．3342

x2y24、设F1，F2是双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的两个焦点，?是C上一点，

ab?C的离心率为（ ） 若?F12的最小内角为30，则1??F2?6a，且??FFA．2 B．22 C．3 D．

43 3y2x2??1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的5、双曲线

169距离是__________．

x2y26、设m为常数，若点F(5,0)是双曲线-?1的一个焦点，则m=__________.

9m

7、已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则

m= ．

19

x2y28、如图，F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1的直线l与

ab双曲线的左右两支分别交于点A,B．若?ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_____________

x2y2??1表示焦点在x轴的双曲线，命题9、已知命题p:m?37m?3q:f(x)?(5?2m)x是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.

10、在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1(-6，0)，F2(6，0)，点P位于第一象限，且tan∠PF1F2=

，tan∠PF2F1=2.

(1)求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程. (2)求以F1，F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程.

20

高二理科数学寒假作业（16）导数的应用

1、f'(x0)?0是函数f(x)在点x0处取极值的（ ） A．充分不必要条件 B 必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、曲线y?x2?2x?1在点（1,0）处的切线方程为( ) （A）y?x?1 （B）y??x?1 （C）y?2x?2 （D）y??2x?2

3、函数f(x)?(1?cosx)sinx在[??,?]的图像大致为（ ）

4、已知函数f?x??x2?数，则实数a的取值范围是（ ） A．??

13lnx?在其定义域内的一个子区间?a?1,a?1?内不是单调函22?3??3??13??35?,? B．??,? C．?1,? D．?1,?

?2??2??22??44?5、一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s?为零的时刻是________．

6、函数f（x）=x-lnx的单调减区间为 ．

1453t?t?2t2，那么速度433227、已知函数f?x??x?ax?bx?a?在x?1处取得极大值10，则a?b的值7a为 ．

31

8、已知函数f?x???x3?ax在区间（－1,1）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

9、已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．

10、如图所示，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

32

高二理科数学寒假作业（17）微积分

?1、

??(1?cosx)dx?（ ）

2?2A. ??2 B. 2 C. ??2 D. ?

2、设f(x)是连续函数，且为偶函数，则在区间[?a,a]上的定积分?a f(x)dx?（ ）

?aA．0 B．?0aa?af(x)dx C．?0f(x)dx D． 2?0f(x)dx

3、若f(x)?x2?2?110f(x)dx，则?0f(x)dx＝（ ）

A．－1 B．－13 C．13 D．1 4、定积分dx的值为( ) A． B．

C．π D．2π

5、定积分?e11xdx的值为____________________.

6、已知?a?a?sinx?3x2?dx?16，则正实数a的值为 ．

7、已知?（203x2?k）dx?16，则k?________

?8、?22sin(x??04)dx= _______．

33

9、求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积(如图)．

10、已知f(x)为二次函数，且

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

34

高二理科数学寒假作业（18）推理与证明

1、已知整数的数对列:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），??，则第60个数对是（ ） A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）

2、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

3、老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，

四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中 两人说对了．（ ） A．甲 丙 B．乙 丁 C．丙 丁 D．乙 丙

4、利用数学归纳法证明“1?a?a2???an?1?1?a,(a?1,n?N)”时，在验证n?11?a成立时，左边应该是（ ）

A．1 B．1?a C．1?a?a2 D．1?a?a2?a3

5、36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36?22?32，所以36的所有正约数之和(1?3?32)?(2?2?3?2?32)?(22?22?3?22?32)?(1?2?22)(1?3?32)?91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ．

6、已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为 ．

7、观察下列等式：

n?2

根据以上规律可得1+2+3++n= ．

8、观察下列式子：1?2

2

2

2

131151117?1???1????，，，，根据上述222222234223234规律，第n个不等式应该为 ．

35

9、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，，第n个三角形数为

n?n?1?121?n?n．记第n个k边形数为N?n,k??k?3?，以下列出了222部分k边形数中第n个数的表达式：

11三角形数 N?n,3??n2?n

22正方形数 N?n,4??n2 五边形数 N?n,5??321n?n 22六边形数 N?n,6??2n2?n

可以推测N?n,k?的表达式，由此计算N?20,32?? ．

10、将正偶数排列如图，其中第i行第j列的数表示为aij(i,j?N*)，例如a43?18，若

aij?2014，则i?j? ．

11、设{an}是集合{2t＋2s|0≤s

(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数； (2)求a100.

36

高二理科数学寒假作业参考答案

（1）正、余弦定理

1、A由正弦定理

ab43422代入得???sinB??B?45? ?sinAsinBsin60sinB2222b?c?a1122?sinA?2，然后2、A 3、D 将s?bcsinA代入S+a=（b+c），得bc22cosA?由余弦定理得

所以cosA??11(sinA?2)，即sinA?4cosA?4．又因sin2A?cos2A?1，224、C 解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2

1515或cosA??1．又因A为三角形的内角，所以cosA??． 1717∴cosA=≥ ∴A≤ ∵A＞0 ∴A的取值范围是（0，]

5、【答案】7 6、【答案】

6 3sinB，即为

7、 解：由正弦定理，sinA+sinC=a+c=

b，又b=

c， 即有a=2c﹣c=c，

由余弦定理可得cosA===． 即有A=．

8、 解：∵AD=10，AC=14，DC=6， ∴由余弦定理得cosC=∴sinC=

=

=

，由正弦定理得

=

， ，即AB=

=5

，

9、解析：（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA， 即sin(A＋C)＝2sinBcosA．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB．从而sinB＝2sinBcosA． 因为sinB≠0，所以cosA＝．因为0＜A＜π，所以A＝（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(＝sinB＋因为0＜B＜

cosB＝，所以

sin(B＋＜B＋

－B)＝sinB＋sin)． ＜

．所以sinB＋sinC的取值范围为(

，

]．

．

sinB

cosB－cos

?????10、解析：（1）因为m2（n-p）=0，

37

所以m??n?p???cos?,cosC???c?2b,a???c?2b?cos??acosC?0 所以?sinC?2sin??cos??sin?cosC?0，即?2sin?cos??sin??0

????sin??0，?cos??1???? 23（2）函数解析式可化为f?x??sinxcosx?sinxsin?x?????132?sinxcosx?sinx ?6?22131?cos2x31331????sin2x????sin2x?cos2x??sin?2x?? 42244442?3??x??，???3，???3?x??3????2x??3??3

??33?231???3? ?1?sin?2x?????sin?2x????3244232?????3?23?,?函数f?x?的值域为?? 42??（2）解三角形

1、【答案】A 【解析】由sinC?23sinB得c?23b代入a2?b2?3bc得a?7b，

b2?c2?a23由余弦定理得cosA???A?30?

2bc2sinAtanAa2sin2AcosBsinAcosA2、【答案】D ?，∴?2，??，??2sinBtanBbsinBcosAsinBcosBsin2A?sin2B，?A、B?（0，?），?2A、2B?（0，2?）,?2A?2B或2A???2B，

?所以A=B或A?B?，∴△ABC是等腰或直角三角形．故选D．

23、【答案】C

?2S??a?b??c2?absinC?a2?b2?c2?2ab??sinC?2?ab?a2?b2?c2

2?sinC?2434?cosC?sin2C?cos2C?1?sinC?,cosC???tanC?? 25534、【答案】C 【解析】由题意可知A,B,C三点构成直角三角形，其中

C??2,AB?AC?a?BC?2a

5、【答案】

?3或3?12? 6、【答案】 3238

7、【答案】 【解析】试题分析：利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代

入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

试题解析：解：∵△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA=

=，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA=

，

8、【答案】1或2 解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3

在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB？BCcosB， 把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2﹣2333BC3，

2

整理可得，BC﹣3BC+2=0，∴BC=1或2.

9、【答案】(1)60?或10、解：?3 (2)2

33a3sinA?C?60? ?sinA ∴?sinA ∴sinC?22c2sinC∵S?133absin60???ab?6 又C=7 221 7=(a+b)2-2ab-ab 2∴c2=a2+b2-2abcos60° 7=a2+b2-2ab2∴(a+b)2=7+3ab=25 ∴a+b=5

（3）等差数列

1、【答案】D【解析】由题易知公差d=2，所以

=2+16=18，故选D

2、【答案】B 3、【答案】C 【解析】∵数列?an?为等差数列，∴2a7?a3?a11，∵2a3?a72?2a11?0，∴4a7?a72?0∵a7?0∴a7?4∵数列?bn?是等比数列，∴

b6b8?b72?a72?16，故

4、【答案】A 试题解析：解：∵a1+a7+a13=4π， 则a7=，∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan5、【答案】10 6、【答案】22

=﹣

，

7、2 由方程根与系数的关系可知a3?a9?4，由等差数列性质可得2a6?4?a6?2 8、【解析】当n?2时，an?sn?sn?1?2n?3．当n?1a1?s1?1,所以数列的通项公

39

?1(n?1)an???式为?2n?3(n?1,n?N)

9、解：（1）?等差数列?an?中a1?1，公差d?1

n?n?1?n2?n2?Sn?na1?d??bn?222 n?n

(2)bn?22 ?n2?nn(n?1)?1111???b1?b2?b3???bn?2???????1?22?33?4???nn?1??

1?11???11111?21??2?1????????????nn?1? ?n?1? ?22334?Tn?1001?2(1?) ?n?50 51n?1n(n?1)d． 210、解析：（1）设?an?的公差为d，则Sn?na1?由已知可得??3a1?3d?0,?a1?1,解得?，故?an?的通项公式为an?2?n．

5a?10d??5,?1?d??1,11111??(?)，

a2n?1a2n?1(3?2n)(1?2n)22n?32n?1（2）由（1）知

从而数列?

??11111111n． ?)??的前n项和为(????…?2?11132n?32n?11?2n?a2n?1a2n?1?（4）等比数列

1、【答案】C 2、【答案】C

3、【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q，由a4是2a2与3a3的等差中项得2a2+3a3=2a4

1．又因数列各项为正，所以q=2.于是，数列?an?是以1为首项2为公21?(1?25)?31．故选B． 比的等比数列，则s5?1?2，解得q=2或q??4、【答案】B 解析：解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，

所以q3==，∴q=，

40

5、【答案】63 6、【答案】?3

7、45 数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则可以证明：sk,s2k?sk,s3k?s2k,?也成等比数列，所以该等比数列依次为：3，6，12，24，，故S12?3+6+12+24=45. 8、【答案】5

9、解：（1）∵an＝p＋q，又a1＝－

n

13，a2＝－， 241?1p?q????p???2∴?解得?2

3?p2?q????q??1??4因此{an}的通项公式是an＝（（2）令an＝－

1n

）－1. 22551255，即（）n－1＝－，

225625611255所以（）n＝，n＝8.故－是{an}中的第8项．

22562561n1n

（3）由于an＝（）－1，且（）随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减

22小，故{an}是递减数列

10、解：（1）∵ a1?1,a2?a6?2a4?14?a1?1,a4?7?d?a4?a1?2,?an?2n-1; 4?1??2b3?q??4n又∵b1?2,b3?8????q?2,?b?2; bn1??q?0?因此数列{an}，{bn}的通项公式an?2n?1,bn?2n． （2）由（1）

an?bn?(2n?1)?2n,Tn ?1?21?3?22?5?23?7?24?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n,2Tn?1?2?3?2?5?2?7?2?????(2n?3)?2 ?(2n?1)?2两式相减，得

2345nn?1,

41

-Tn?1?21?2 (22?23?24?????2n)?(2n?1)?2n?122(1?2n?1)?1?2?2??(2n?1)?2n?1?-6?(3?2n)2n?1

1?21?Tn?6??2n?3??2n?1．

（5）数列综合

1、【答案】B 2、【答案】C 3、【答案】C 4、【答案】B 【解析】a1?2，an?1??113?a2??,a3??,a4?2，所以数列an?132具有周期性，周期为3，?a2015?a2??

5、4950 6、an=（﹣1）n（2n+1）【解析】解：设此数列为{an}，其符号为（﹣1）n，

其绝对值为2n+1，可得通项公式an=（﹣1）n（2n+1）．故答案为：an=（﹣1）n（2n+1）． 7、【解析】∵an?1?an?n?1，

∴a2?a1?2，a3?a2?3，a4?a3?4，?，an?an?1?n， ∴an?a1?2?3?4???n?13(n?1)(2?n)(n?1)(2?n)121， ∴an?2? ?n?n?1．

22228、【解析】an?2an?1?1?an?1?2?an?1?1??an?1?2,?n?2?，

an?1?1所以数列

?an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列．

所以an?1?2?2n?1?2n，所以an?2n?1．

9、【答案】（1）证明：由题设?an?，得a1?2，． a?4a?3n?1n?1n又n?N*，所以数列?an?n?是首项为n，且公比为Sn的等比数列． （2）解：由（1）可知Sn?1≤4Sn，于是数列?an?的通项公式为an?4n?1?n．

n所以数列?an?的前n项和Sn?4?1?n(n?1)．

32 （3）证明：对任意的an?1?4an?3n?1，

?4n?1n(n?1)???1(3n2?n?4)≤0． 4n?1?1(n?1)(n?2)Sn?1?4Sn???4???2322??3所以，不等式Sn?1≤4Sn，对任意an?1?4an?3n?1皆成立． 10、（1）由题意，an?11Sn?1（n?N?），∴ an?1?Sn?1?1（n?2，n?N?） 22 42

两式相减：an?an?1?又a1?1an，即an?2an?1（n?2，n?N?） 21S1?1， ∴ a1?2 2∴ 数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列，∴ an?2n

（2）由（1）可得，bn?log2an?log22n?n ∴ cn?11111??(?)

bn?bn?2n?(n?2)2nn?2Tn?c1?c2?c3???cn?1?cn1111111111 ?(1???????????)232435n?1n?1nn?211113111?(1???)??(?) 22n?1n?242n?1n?231313∴T1?Tn?， 即?Tn? 所以，Tn的取值范围为：[,)

43434（6）不等式（一）

1、【答案】B【解析】如1+5?2?3,1?2，所以A不成立；ac2?bc2?c2?0,a?b，所以B成立；当ad?0时

cb因此C不成立；a?b?a?b,a?b推??ab?cd，

ad不出a?b，所以D不成立．

2、【答案】B【解析】依题意可得，c?0,a?0．不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，所以选项A正确；b?a?0,c?0,所以c?b?a??0，故选项C正确；

a?c?0,ac?0,所以ac?a?c??0，故选项D正确；当b?0时，选项B错误．故选B．

3、【答案】D 4、【答案】D【解析】当a?3时，-4?0恒成立；当

?a?3，解得?1?a?3，所以-1?a?3 ?2???4?a?3??16?a?3??05、[?2?,?) 6、【答案】-1 由已知知a，b异号，所以

abab??0，??1， |a||b||ab|27、【答案】(?1,0)?(0,1)【解析】原不等式整理为x?0,1?x?0?x???1,0???0,1? 8、【答案】-1【解析】由题意，得出不等式对应的方程的两个实数根x1,x2；再由根与系数的关系，求出m、n的值即可．

∵x不等式mx2?nx?1?0的解集为{x|x?,或x?}，∴m?0，且方程

131211mx2?nx?1?0的解为x1?，x2?32，∴由根与系数的关系

43

11n111???，???，?m??6，n?5，?m?n??1. 32m32m9、解：（1）由已知1是方程ax2?3x?2?0的根，则a=1，

?a?1∴方程为x?3x?2?0?b?2 解得?

b?2?2（2）原不等式为?x?c??x?2??0

c?2时解集为?xx?c或x?2? c?2时解集为?xx?2或x?c? c?2时解集为?xx?2?

10、解：（1）A??x|(x?1)(x?4)?0???1,4? （2）设f(x)?x2?2ax?a?2，

若B??,则??4a2?4(a?2)?0?a2?a?2?0??1?a?2

???0?1?a?418??18?若B??，则??2?a? 综上所述，a???1,?

7?7??f(1)?0??f(4)?0（7）不等式（二）

1、C 2、C 3、A 4、D 因为x?0,y?0，且

21??1，所以xy21x4yx4yx?2y?(x?2y)(?)?4???4?2??8．要使不等式x?2y?m2?2m恒

xyyxyx22?2?m?4． 成立，则（x?2y）min?m?2m，所以m?2m?8，解得

5、t??2 6、由x,y满足的约束条件画出其可行域，目标函数表示的是可行域的点与点D?2,?1?的连线的斜率，所以其取值范围为?kAD,kCD?，所以其范围为??3,??．

2??1??7、【答案】16【解析】根据基本不等式ab?a?4b?24ab?4ab?ab?4?ab?16 8、【解析】易得，A（2，1）则2m+n=1.又因m，n?0，所以

1212n4m?=（?）(2m+n）=4+??4?24?8． mnmnmn

44

9、解析：（Ⅰ）三条直线的交点分别是A(3,1),B(7,9),C(1,3)，Qz?y?(?2)，表示点

x?(?1)35QKNA?,KNC?N(?1,?2)到A,C两点斜率的取值范围．42,?Z?35?,??42? ?的取值范围是

（Ⅱ）QZ表示到可行域中的点的距离的平方最小值，Q(0,5)到直线x?y?2?0的

9距离的平方为2是最小的．

10、解析：（1）由题意得仓库的总造价为：t?40x?45?2y?20xy

（2）仓库底面面积S?xy?100m2时，t?40x?45?2y?20xy?40x?90y?2000

≥240x?90y?2000?1200?2000?32005分当且仅当40x?90y时，等号成立，

又∵xy?100，∴x?15(m)．

答：仓库底面面积S?100m2时，仓库的总造价最少是3200元，此时正面的长应设计为

15m．

（8）简易逻辑

1、【答案】D 解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，

则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1. 2、【答案】B【解析】由已知，p：?2?x?10，

q：1?m?x?1?m．因为p是q的充分不必要条件，则

?1?m??2??2,10???1?m,1?m?，即??1?m?10?m?9，故选B．

?m?0?3、【答案】D【解析】对于命题p：若sinx?sin于是令x?y，

?3,y?2???6，则x?y，

所以命题p为假命题；对于命题q：由重要不等式可知x2?y2?2xy是正确的，即命题

q为真命题．由命题间的逻辑连接词可知，p或q为真命题，?p为真命题，p且q为假命题，故应选D． 4、【答案】C 解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；

45

对于B，命题p的否定￢p：?x∈R，x﹣2x﹣1≤0，∴B错误；

对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；

2

对于D，“x=﹣1”时，“x﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误； 5、【答案】（2）（4）（5）【解析】形如y?xa的函数叫幂函数，如果a?0，则y?x0x(?0)，（1）错；x?1时一定有x?2，但x?2时，不一定有x?1，故（2）正确；x?1(x?2)?0的解集是{x|x?2或x?1}，（3）错；正切函数y?tanx的对称中心是(2

k?,0)(k?Z)，2（4）正确；命题“若x?y，则sinx?siny”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，（5）正确，所以填空（2）（4）（5）． 6、【答案】

解：∵p：

，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，

∴q：x＜a，或x＞a+1 ∴？q：a≤x≤a+1 又∵p是？q的充分不必要条件，∴则实数a的取值范围是

解得：

7、【答案】“p或q”，“非p” 【解析】∵命题p是假命题，命题q是真命题，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“p”为真. 8、【答案】?22?a?22【解析】原命题为假命题，则其否定“?x?R，使得

2x2?3ax?9?0成立为真命题???0??22?a?22 9、【答案】∵p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，∴x2≥a．∴a≤1．

∵q：?x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0．∴a≤－2或a≥1． ∵“p∧q”是真命题，∴p和q都是真命题．∴p和q的解集取交集得a≤－2或a＝1． 10、【答案】?y??x2?2x?8???x?1??9??0,3?，∴命题P：0?a?3． 令f(x）=x２＋x?a，由题知f(1)?0，∴a?2，∴命题q:a?2．

又因为命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p与q有且只有一个真命题． 当p真q假时有0?a?2； 当p 假q真时有a?3； ∴a的取值范围为?0,2???3,???

2（9）椭圆

1、A 2、A 3、B 【解析】由题意m?218?，解得m?．

32m4、D【解析】可以证明，焦点三角形中，当点P在椭圆短轴端点时，?F1PF2最大．在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点?到x轴

46

的距离为点P的纵坐标y的绝对值y．将x?c(或?c)代入椭圆方程得，y??y?9．故选D． 49,所以412?a?2c?7、【答案】2 【解析】由已知?b?3，解得a?2．

?a2?b2?c2?5、【答案】40 6、【答案】(?2,?)

x2y2??1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交8、根据题意，由于设椭圆

167椭圆于A、B两点，若?ABF2的内切圆的面积为?，则内切圆的半径为1，设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则利用内切圆的性质可知 ，|y1?y2|值为

8 3x2y29、设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则a2?b2?5，将点的坐标带入方程有：

ba25x2y215224??1 ??1,b?20,a?252025b2b2?5

10、【答案】解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上，

可得b=1，c=1所以a2=2，所以椭圆C的方程；；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），

由消去y得：（1+2k）x﹣8kx+8k﹣2=0，

2222

所以，

因为OA⊥OB，所以而

，即x1x2+y1y2=0，

，所以

，

所以解得：

，

，此时△＞0，所以

．

47

（10）双曲线

b4b251、D 2、C 3、A由渐近线方程得，?e?1?2?．故选A．

a3a34、【答案】C【解析】不妨设PF1?PF2，由双曲线的定义得，?F1-?F2?2a．又因

?F1F2最小，由余弦定1F2?2c,显然?PF1=4a,?F2?2a,而F1??F2?6a，所以?F22理得，4a2?16a2?4c2?2?4a?2c?cos30?,即c?23ac?3a?0，所以

(c?3a)2?0?c?3a，则e?c?3．故选C． a+y2=1的离心率为，

5、2或18 6、16 7、 解：焦点在x轴上的椭圆方程

则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．

8、【解析】设正三角形的边长为m，即AB?AF2?BF2?m，结合双曲线的定义，可知BF根据等边三角形，可知?F1BF2?120?,应用余弦1?2a,BF2?4a,F1F2?2c，定理，可知4a2?16a2?2?2a?4a?c1?4c2，整理得?7，

a2?m??3?m?3?0x2y2???1表示焦点在x轴的双曲线得?9、解析：由即?3得m?37m?3?7m?3?0?m?7??3?m?3f(x)?(5?2m)x是增函数，须5?2m?1即m?2 7由于p或q为真命题，p且q为假命题故p,q中一个真，另一个为假命题 若p真q假，此时m的解集为空集 若p假q真，则m??3或因此，m??3或

3?m?2 73?m?2. 710、【答案】(1)如图，过P点作PH⊥x轴，由题意可设所求椭圆的标准方程为+

=1(a>b>0)，其半焦距c=6，

=

=

， ①

设P(x，y)， tan∠PF1F2=tan∠PF2F1=

=

=2， ②

由①②得x=5，y=2，故P(5，2).

48

2a=|PF1|+|PF2|=

所以所求椭圆的标准方程为

++

=1.

=6. ∴a=3，b=a-c=9.

222

(2)点P(5，2)，F1(-6，0)，F2(6，0)，设所求双曲线的标准方程为-由题意知，半焦距c1=6，2a1=||PF1|-|PF2|| =|

-|=4

-，a1=2=1.

，

=

-

=1(a1>0，b1>0).

=36-20=16.

所以所求双曲线的标准方程为

（11）抛物线

1、D 【解析】由抛物线方程x2?y可知,准线方程为y??2、D 3、C 【解析】设A,B,M在准线l上的射影 分别为C,D,N，则AC?AF，BD?BF，

1. 4113(AC?BD)?(AF?BF)?， 222315所以M到y轴距离为d???，故选C．

244MN?m2,m)，故过B点的4、D．【解析】设B点的坐标为(8m2m2)，又∵切线过点A(?2,3)，∴3m?4(?2?)，∴抛物线切线方程为my?4(x?88m?8或?2（舍去），∴B(8,8)，而焦点F(2,0)，∴kBF?8?04? 8?235、4 6、2 【解析】由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝43且AB⊥x轴，得

y2AyA2?3，∴点F到直线x＝3的距离为2． ?(23)?12，∴xA?427、【答案】

1119【解析】抛物线y?x2的标准方程为x2?2y，焦点为F(0,)，由抛

222物线的定义知PA?PM?PA?PF?11711191?AF??(6?0)2?(?)2??22222219． 2（当且仅当A,P,F三点共线时等号成立）．故最小值为

8、【答案】3【解析】设AF=m，BF=n，则BC=n，AD=m，AE=m-n，AF+BF=m+n．

49

mm?n，解得?3．

nm?n9、【解析】当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x轴,因为过点(0,1),所以x?0,即y

在直角三角形ABE中，由于?BAE?60?，所以cos60??轴,它正好与抛物线y?2x相切.

当所求直线斜率为零时,直线为y?1,平行x轴,它正好与抛物线y?2x只有一个交点.

设所求的过点(0,1)的直线为y?kx?1(k?0)则

22?y?kx?1122,? kx?(2k?2)x?1?0.令??0,解得k?.? ?22?y?2x11x?1.综上,满足条件的直线为：y?1,x?0,y?x?1. 22?y?2x?410、【答案】?2得：A(4,4)、B(1,?2)．故|AB|?35．

y?4x?所求直线为y?设点P(t2,2t)(?1?t?2)，则P到直线l的距离为：

|2t2?2t?4||2(t?1)(t?2)|1d??，所以S△ABP??|AB|?d?3|(t?1)(t?2)|．

2551271故当t?，即点P(,1)时，△ABP的面积最大为．

244（12）空间向量及其运算

1、D 2、C 3、D【解析】由空间两点间距离公式得，

2（x?2）?(1?3)2?(2?4)2?26,解得x?6或x??2．故选D．

4、【答案】B 5、【答案】(0,0,-1)或(0,0,-5)

????????6、【答案】0【解析】AB=(m-1,1,m-2n-3)，AC=(2,-2,6)，两个向量平行的条件，

????????ì?m-1=-1可知AC=-2AB,故知í，解得m=0,n=0，故m+n=0.

??m-2n-3=-37、【解析】，与a?b同方向的单位向量是

【解析】8、

＝

－

＝

＋0

－

1525(0,1,2)?(0,,)

555，所以实数对(x，y，z)＝(

，0，－1)．

9、【答案】解：（1）AE?AB?BC?CE?a?b?（2）AE21c 2221212?(a?b?c) ?a?b?c?2a?b?a?c?b?c

24?25?9?4?0?(20?12)?cos60??54

?AE?36，即AE的长为36．

50

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