江苏2024届高三联合考试

开始 2012届高三联合考试

输入n 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝ ▲ ． Y n≤4 N x＋i

2．已知x是实数，是纯虚数，则x的值是 ▲ ．

1－ian← n2 an← 2n

3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n的值为5时， 输出的an的值是 ▲ ．

4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、

输出an 纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率是 ▲ ．

5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分，

结束 则该运动员的平均得分为 ▲ ．

（第3题） 6．不等式lg(－x)＜x＋1的解集为 ▲ ．

7．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 ▲ m2．

0 9

1

8．在等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn．若数列{Sn＋}也是等 1 055 2

2 8 比数列，则Sn等于 ▲ ．

9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1，若f(x)的单调减区间是(0，4)， 3 1

（第5题） 则在曲线y＝f(x)的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ．

π

10．若tan?＝3tan?，且0≤?＜?＜，则?－?的最大值为 ▲ ．

2

22xy

11．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交

ab

→1→

A 点分别为B，C，若AB＝BC，则双曲线的离心率是 ▲ ．

2

12．△ABC的面积为1，点D在AC上，DE∥AB，连结BD， D

设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为y，则y的 最小值为 ▲ ．

B 13．在△ABC中，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面积为3，则 C E

（第12题） →→AB·AC＝ ▲ ．

14．当a在[0，M0]取值时，函数f(x)＝x3－ax2－1整数零点恰有3个，则M0的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

xxx2π

15．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝3sincos＋cos2．（1）若f(x)＝1，求cos(－x)的值；

4443

1

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．

2

16．（本小题满分14分）如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F⌒为AC的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：

E （1）平面ABE⊥平面ACDE；（2）平面OFD∥平面BAE．

D

A

F

1

C

O B

π

17．（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转? (0＜?＜)得到正方形

2

π

A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE＝?；②对任意? (0＜?＜)，△EAL，△EA′F，

2

△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形． （1）设A′E＝x，将x表示为?的函数；

（2）试确定?，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积． A' FAEB

G LB'

D'O HK

DCJI C'

x2y23

18．（本小题满分16分）已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，

ab2

25

A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．

5

1

（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直

2

角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值. y A1 T P G

F1 F2 M N

BBx 1 2 O A2 19．（本小题满分16分）设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a5＝6． （1）当a3＝3时，请在数列{an}中找一项am(m＞5)，使a3，a5，am成等比数列；

（2）当a3＞1时，如果存在自然数m1，m2，?，mt，?，满足5＜m1＜m2＜?＜mt＜?，且a3，a5，am1，am2，?，amt，?构成一个等比数列，求a3的一切可能值；

n

3t+11

（3）在（2）中的a3取最小正整数值时，求证：? ＜．

22t=1mtmt＋1

2

20．（本小题满分16分）设f(x)是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a＝x0＜x1＜?＜xi－1＜xi ＜?＜xn＝b，将区间[a，b]任意划分成n个小区间，若存在常数M，使?|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，则称f(x)为[a，b]上的

i=1n

有界变差函数．（1）判断函数f(x)＝x＋cosx在[－?，?]上是否为有界变差函数，并说明理由；

（2）定义在[a，b]上的单调函数f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （3）若定义在[a，b]上的函数f(x)满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2?[a，b]， | f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．

3

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．选修4—2：矩阵与变换

1 2??0 －1??已知矩阵M＝??，N＝??． ?3 4??1 3?

（1）求矩阵MN；

（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设O为极点，点P为直线?cos?＝1与圆?＝2sin?的切点，求OP的长．

【必做题】每题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2

22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为，本场比赛采用五局

3

三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望．

23．设P1，P2，?，Pj为集合P＝{1，2，?，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩?∩Pj＝?的有序子集组(P1，P2，?，Pj)的个数． （1）求a22的值；（2）求aij的表达式．

1

2012届高三联合考试

数学Ⅰ参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1

1．{x|0≤x＜1} 2．1 3． 32 4．

6

3n－1

5．18 6．{x|－1＜x＜0} 7．33 8．

23－5π

9．12x＋y－8＝0 10． 11．5 12．

62

13266313． 14．[，) 4916

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．

xxx3x1x1xπ1

解：（1）f(x)＝3sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋．??????? 3分

44422222262

xπ1

由f(x)＝1，可得sin(＋)＝，

262xππ

解法一：令?＝＋，则x＝2?－．

263

2π1

cos(－x)＝cos(?－2?)＝－cos2?＝2sin2?－1＝－． ??????? 6分

32

xππxπ5π

解法二：＋＝2k?＋，或＋＝2k?＋，k?Z．

266266

4π

所以x＝4k?，或x＝4k?＋，k?Z．

32π2π1

当x＝4k?，k?Z时，cos(－x)＝cos＝－；

332

4π2π2π1

当x＝4k?＋，k?Z时，cos(－x)＝cos(－)＝－；

33322π1

所以cos(－x)＝－． ??????? 6分

32

1

（2）解法一：由acosC＋c＝b，得

2

222

a＋b－c1a·＋c＝b, 即b2＋c2－a2＝bc，

2ab2b2＋c2－a21

所以cosA＝＝．

2bc2

π2π

因为A?(0，?)，所以A＝，B＋C＝． ??????? 10分

33

2ππBππ

所以0＜B＜，所以＜＋＜，

36262Bπ13

所以f(x)＝sin(＋)＋?(1，2)． ??????? 14分

262

1

解法二：由acosC＋c＝b，得

21

sinAcosC＋sinC＝sinB．

2

因为在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，

11

所以sinAcosC＋sinC＝sin(A＋C)，sinAcosC＋sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，

22

1

所以sinC＝cosAsinC，

2

1

1

又因为sinC≠0，所以cosA＝．

2π2π

因为A?(0，?)，所以A＝，B＋C＝． ??????? 10分

33

2ππBππ

所以0＜B＜，所以＜＋＜，

36262Bπ13

所以f(x)＝sin(＋)＋?(1，2)． ??????? 14分

262

16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间 想象能力和

推理论证能力．满分14分． 证明：（1）因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB?平面ABC，

又在半圆O中，AB⊥AC．

所以AB⊥平面ACDE．

因为AB?平面ABE，

所以平面ABE⊥平面ACDE． ??????? 6分

E

（2）设线段AC与OF交于点M，连结MD．

D ⌒因为F为AC的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点． 因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB． 又OF?平面BAE，AB?平面ABE，

所以OF∥平面BAE． ??????? 8分 因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC＝2DE， A 所以DE∥AM，且DE＝AM． F 所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE．

M B 又DM?平面BAE，AE?平面ABE， C O 所以DM∥平面BAE． ??????? 11分 又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MD?平面OFD，OF?平面OFD，

所以平面OFD∥平面BAE． ??????? 14分

17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．

解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝?，A′E＝x， A'xxFAEB所以EF＝，A′F＝ ． sin?tan?GxLB'由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，

tan?D'OHxx

K所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．

sin?tan?DCJI3sin?π

C'所以x＝，??(0，) ??????? 6分

21＋sin?＋cos?11xx2

（2）S△A′EF＝?A′E?A′F＝?x?＝

22tan?2tan?3sin?cos?9sin?cos?

＝()2?＝． ??????? 9分 1＋sin?＋cos?2sin?2(1＋sin?＋cos?)2t2－1

令t＝sin?＋cos?，则sin?cos?＝．

2

πππ3ππ

因为??(0，)，所以?＋?(，)，所以t＝2sin(?＋)?(1，2]．

244442

9(t－1)9292

S△A′EF＝)≤(1－)． 2＝(1－4(1＋t)4t＋142＋1

正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积

2

S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－)＝18(2－1)．

2＋1

2

π

当t＝2，即?＝时等号成立． ??????? 14分

4

π

答：当?＝时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18(2－1)．

4

18．本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．

3

（1）因为椭圆C的离心率e＝，

2

y 故设a＝2m，c＝3m，则b＝m．

A1 T 直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，

P G 即mx－2my－2m2＝0．

F1 F2 M 2m225N 所以 ＝，解得m＝1． BBx 221 2 5O m＋4m

x22

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y＝1． ??????? 5分

4A2 2x

＋y2＝1，422（2）由得E(2，)，F(－2，－)． 122y＝x，2

22→→

又F2(3，0)，所以F2E＝(2－3，)，F2F＝(－2－3，－)，

22

221→→

所以F2E·F2F＝(2－3)×(－2－3)＋×(－)＝＞0．

222

所以∠EF2F是锐角． ??????? 10分 （3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),

y0－1x0 直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；

x0y0－1y0＋1x0 直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；

x0y0＋1

1x0x0解法一:设圆G的圆心为((－)，h),

2y0＋1y0－1

1x0x0x0221x0x02

则r2＝[(－)－]＋h＝(＋)＋h2．

2y0＋1y0－1y0＋14y0＋1y0－11x0x022

OG2＝(－)＋h．

4y0＋1y0－1

x0x0221x0x02x0222212

OT＝OG－r＝(－)＋h－(＋)－h＝．

4y0＋1y0－14y0＋1y0－11－y02x02

而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4， 4

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ??????? 16分

x0x0x02

解法二:OM·ON＝|(－)·|＝, y0－1y0＋11－y02x02

而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4． 4

由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ??????? 16分

19．本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力．满分16分．

a522

（1）因为a5＝a3am，所以am＝＝12．

a3

设数列{an}的公差为d．

???

3

3

则am＝a3＋(m－3)d＝3＋(m－3)×＝12，

2

所以m＝9． ??????? 5分 （2）因为数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a5＝6，

6－a3 所以amt＝a3＋(mt－3)×( mt＞5，mt?N*)

2

6＋

又 amt＝a3()t1，

a3

6－a36＋

故 a3()t1＝a3＋(mt－3)×，

a32＋＋6t1－a3t16－a3

即 ＝(mt－3)×， ta32

－－

(6－a3)(6t＋6t1a3＋?＋6a3t1＋a3t)6－a3

故 ＝(mt－3)×． ta32

由a3≠a5，所以a3≠6．

66－6

mt＝5＋2[()t＋()t1＋?＋()]，t?N*．

a3a3a3

612

当t＝1时，m1＝5＋2×＝5＋．

a3a3

由m1?N*，且a3＞1， 12

则＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11． a3

66

当t＝2时，m2＝5＋2×[()2＋]，

a3a3

12

所以为奇数时，m2不为整数，不符合．

a31236所以，＝2，4，6，8，10．从而a3＝6，3，2，，，

a325

又因为数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a3≠6．

36

所以a3＝3，2，，．经检验均满足题意． ??????? 12分

25

（3）由（2）以及a3取最小整数，可得a3＝2，

＋

(3t1－3)t＋1tt－1

mt＝5＋2(3＋3＋?＋3)＝5＋2×＝3＋2．

2

＋3t13t+1111

＝t＋1＝(t＋1－t＋2)， t＋2mtmt＋1( 3＋2)( 3＋2)23＋23＋2nn13t+111? mm＋＝? 2(3t＋1＋2－3t＋2＋2) tt1t=1t=1

111111

＝(1＋1－n＋2)＜×1＋1＝． ??????? 16分 23＋23＋223＋222

20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归 与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．

（1）易得f′(x)＝1－sinx≥0，x?[－?，?]，

所以f(x)＝x＋cosx为区间[－?，?]上的单调增函数， 故当xi－1＜xi时，总有f(xi－1)＜f(xi)，

此时，?|f(xi)－f(xi－1)|＝?[f(xi)－f(xi－1)]＝f(xn)－f(x0)＝f(?)－f(－?)＝2?．

i=1

i=1

n

n

?]上为有界变差函数； ????5分 所以函数f(x)＝x＋cosx在[??， （2）因为函数f(x)为区间[－?，?]上的单调函数，

所以当xi－1＜xi时，总有f(xi－1)＜f(xi)（或f(xi－1)＞f(xi)）， ????7分

故?|f(xi)－f(xi－1)|＝|?[f(xi)－f(xi－1)]|＝|f(xn)－f(x0)|＝| f(b)－f(a)|．

i=1

i=1

nn

4

故存在常数M＝|f(b)－f(a)|，使得?|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，

i=1

n

所以定义在[a，b]上的单调函数f(x)为有界变差函数； ????10分 （3）因为存在常数k，使得对于任意的x1，x2?[a，b]，| f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|． 所以?|f(xi)－f(xi－1)|≤?k|xi－xi－1|＝k(b－a)． ????14分

i=1

i=1

n

n

n

故存在常数M＝k(b－a)，使得?|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，

i=1

所以f(x)为[a，b]上的有界变差函数． ????16分

数学Ⅱ参考答案及评分建议

21．B．选修4—2：矩阵与变换

本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力．满分10分．

?1 2? ?0 －1?＝?2 5?； ????5分

（1）MN＝??????

?3 4??1 3??4 9?

（2）设P(x，y)，则

解法一：

2x＋5y＝0，?2 5? ?x?＝?0?，即?? ? ?????

?4 9??y??1??4x＋9y＝1．

??x＝5，5

解得?2即P(，－1)． ????10分

2

?y＝－1，?

解法二：

?－9 5??－9 5?0? 5?－12 5x??＝?2?＝?2?＝?2?． 2?．所以?2? ? 因为?????????1??4 9??y?????? 2 －1?? 2 －1??－1?

5

即P(，－1)． ????10分

2

C．选修4—4：坐标系与参数方程

本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：将直线?cos?＝1化为直角坐标方程得x＝1， ????3分

将圆?＝2sin?化为直角坐标方程得x2＋(y－1)2＝1， ????7分 易得切点P的坐标为 (1，1)，

所以OP＝2． ????10分

22．本题主要考查概率分布及数学期望等基础知识，考查运算求解及推理论证的能力．满分10分．

221

解：单局比赛甲队胜乙队的概率为，乙队胜甲队的概率为1－＝．

333

比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而

211

P(X＝3)＝()3＋()3＝； ????3分

333

比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而

1221102221

P(X＝4)＝C3()2××＋C3()2××＝； ????6分

33333327

解法一：

比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而

122128222121

P(X＝5)＝C4()2×()2×＋C4()2×()2×＝C4()2×()2＝；

3333333327

所以X的概率分布表为 X 3 4 5 1108P 32727

5

????8分

1108107

E(X)＝3×＋4×＋5×＝． ????10分

3272727

解法二：

8

P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝；

27

所以X的概率分布表为 X 3 4 5 1108P 32727????8分

1108107

E(X)＝3×＋4×＋5×＝． ????10分

3272727

23．本题主要考查两个基本计数原理等基础知识，考查分析探究的能力．满分10分． 解：（1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，

因为P1∩P2＝?，

所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形： 1?P1，且1? P2；1?P1，且1? P2；1?P1，且1?P2； 同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，

根据分步乘法原理得，a22＝3×3＝9； ????4分 （2）考虑P＝{1，2，?，i}中的元素“1”，有如下情形：

0

1不属于P1，P2，?，Pj中的任何一个，共Cj种；

1

1只属于P1，P2，?，Pj中的某一个，共Cj种；

2

1只属于P1，P2，?，Pj中的某两个，共Cj种； ??

1只属于P1，P2，?，Pj中的某(j－1)个，共Cjj1种，

012

根据分类加法原理得，元素“1”共有Cj＋Cj＋Cj＋?＋Cjj1＝2j－1种情形， ????8分 同理可得，集合P＝{1，2，?，i}中其它任一元素均有(2j－1)种情形，

根据分步乘法原理得，aij＝(2j－1)i． ????10分

－

－

6

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